i
PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

§ Lý thuyết
§ Bài tập
§ Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007

TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA

TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
HÀ NỘI 2007

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
P
p

§ Lý thuyết
§ Bài tập
§ Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
i

MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và

1. Giới thiệu chung 1
2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn 1
3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn 1
3.1. Nút hình học 1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 1
4. Các dạng phần tử hữu hạn 2
5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực 3
6. Một số dạng phần tử quy chiếu 3
7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất 5
8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần 6
9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 6

Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1. Đại số ma trận 9
1.1. Véctơ 9
1.2. Ma trận đơn vị 9
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. 10
1.4. Nhân ma trận với hằng số 10
1.5. Nhân hai ma trận 11
1.6. Chuyển vị ma trận 11
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 11
1.8. Định thức của ma trận 12
1.9. Nghịch đảo ma trận 12
1.10. Ma trận đường chéo 14
1.11. Ma trận đối xứng 14
1.12. Ma trận tam giác 14
2. Phép khử Gauss 15
2.1. Mô tả 15
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 16

3. Ma trận độ cứng phần tử 45
4. Ứng suất 46
5. Ví dụ 46
6. Chương trình tính hệ thanh phẳng 48
7. Bài tập 56

Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. Mở đầu 58
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 59
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 60
2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác 60
3. Biểu diễn đẳng tham số 62
4. Thế năng 65
5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác 65
6. Qui đổi lực về nút 66
7. Ví dụ 68
8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng 72
9. Bài tập 82 v

Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG
1. Mở đầu 85
2. Mô tả đối xứng trục 85
3. Phần tử tam giác 86
4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục 94

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. Giới thiệu 148
2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều 148
2.1. Mô tả bài toán 148
vi

2.2. Phần tử một chiều 148
2.3. Ví dụ 149
3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều 151
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 151
3.2. Điều kiện biên 151
3.3. Phần tử tam giác 152
3.4. Xây dựng phiếm hàm 153
3.5. Ví dụ 156
4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt 158
4.1. Ví dụ 10.1 158
4.2. Ví dụ 10.2 162
5. Bài tập 167

Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. Giới thiệu 170
2. Lý thuyết tấm Kirchhof 170
3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn 172
4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn 177
5. Phần tử vỏ 180
6. Chương trình tính tấm chịu uốn 182
7. Bài tập 189


5. Ví dụ 228
6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung 229
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm 229
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung 233
7. Bài tập 238

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp,
đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải
số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết
cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài
toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-
từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức
tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS,
MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương
trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các
bước tính cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng,

có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử v
e
cần
chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa
là các toạ độ nằm trong v
e
hoặc trên biên của nó.
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử v
e
phải thoả mãn hai qui tắc sau:

2
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại
trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường
hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử v
e
phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt.
Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.

4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại
lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây,
chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều

Phần tử hai chiều

Phần tử ba chiều

2

v
1

v
1

v
2

Hình 1.1. Các d
ạng biên chung giữa các phần tử3

5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào
khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v
r
. Phần tử qui chiếu thường là phần
tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần
tử thực v
e
nhờ một phép biến đổi hình học r
e
. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử

v
3

v
2

v
1

1,0

0,0y

xx

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

0,0,0

0,0,1

x

v
r

0,1,0

0,0,1

v
r

z

h

h

1,0,0

z

1,0,0

x



1

x

v
r

1

0,0

1

h

h

h

1
/
2
,1
/
2
1
/
2
1

/
3

0

1

-1

x

0

1

-1

x

-
1
/
2

1

-1

x


z
]
T

- Lực tập trung P
i
:

P
i
= P
i
[ P
x
, P
y
, P
z
]
T

Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w]
T
(1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
e
= [
e
x

z
v
z
w
y
v
x
u
þ
ý
ü
î
í
ì
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶

(1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng:
s
= D
e
(1.5)

Trong đó:
( )( )
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é

v
r

x

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
0,1,1

x

v
r

z

h

h

1,1,0

z

0,1,1

1,1,0

x

v

es
2
1
(1.7)
Công của ngoại lực được xác định bởi:
å
òò
=
=
n
i
i
T
i
S
T
V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
å
òòò
=
=Õ
n
i
i
T

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

7 Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên

Xây d
ựng ma trận
đ
ộ cứng
K

và véctơ l
ực chung
F


=
+
+
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111

(2.1)
trong ú, x
1
, x
2
, , x
n
l cỏc nghim cn tỡm. H phng trỡnh (2.1) cú th c biu din dng thu
gn:
Ax = b (2.2)
trong ú, A l ma trn vuụng cú kớch thc (n

n), v x v b l cỏc vộct (n

1), c bin din nh
sau:
ỳ
ỳ
ỳ

ý
ỹ
ù
ù
ợ
ù
ù
ớ
ỡ
=
n
x
x
x
x
M
2
1

ù
ù
ỵ
ù
ù
ý
ỹ
ù
ù
ợ
ù

ù
ý
ỹ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=
34
2
11
c

1.2. Ma trn n v
Ma trn n v l ma trn ng chộo vi cỏc phn t trờn ng chộo chớnh bng 1, vớ d:
ù
ỵ
ù
ý
ỹ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
=
100
010
001

ë
é

-
+
ú
û
ù
ê
ë
é
- 34
75
21
58
15
23

phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[ca
ij
] (2.4)
Ví dụ:
ú
û
ù
ê
ë

(m
´
n) (n
´
p) (m
´
p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (c
ij
) được tính theo biểu thức:
å
=
=
n
k
kjikij
bac
1
(2.6)
Ví dụ:

ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
ú

B và B
´
A, thì tích 2 ma trận
không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A
´
B
¹
B
´
A.
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [a
ij
] kích thước (m
´
n) là 1 ma trận, ký hiệu là A
T
có kích thước là (n
´

m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A
T
. Khi đó,
(A
T
)
T
= A.
Ví dụ:


(A
´
B
´
C)
T
=C
T
´
B
T
´
A
T
. (2.7)
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, chúng là các hàm
số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+
+

)(
(2.8)
[
]
ò
ò
= dxdyaAdxdy
ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình PTHH trong các
chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n
´
n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x
1
x
2
x
n
}
T

chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x
p
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
=)(

12121111
)det(1
)det(1)det()det()det( L
(2.11)
trong đó, A
ij
là ma trận kích thước (n-1
´
n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A.

Ví dụ:
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=Þ
ú
ú
ú
ú
û
ù

33332
22322
11
21
22221
11211

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận vuông có kích
thước (n
´
n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1
´
n-
1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1
´
1) có:
det(a
pq
) = a
pq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ¹ 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A
-1
. Ma trận
nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A
-1
´
A = A


13
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2
´
2) là:
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
-
-
1121
1222
1
2221
1211
1

1.11. Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
a
ij
= a
ji
(2.15a)
hay:
A = A
T
(2.15b)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.
Ví dụ, ma trận A sau đây là ma trận đối xứng:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
=
9011
043
1132

ê
ê
ê
ë
é
-
-=
9011
043
002
B15
2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n
´
n). Nếu detA
¹
0, thì ta có thể thực hiện phép biến đổi
phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A
-1
và nhận được nghiệm: x = A
-1
b. Tuy nhiên, trong hầu
hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực
với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp
phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất

trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ:
152
321
=
+
+
xxx
(1)
470
321
=
+
-
xxx
(2
1
)
5200
321
=
+
+
xxx
(3
1
)
Bước 2: khử x
2
trong phương trình (3
1

3
, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương
trình trên nó, (2
1
) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau:
3
8
;
3
5
;
3
1
123
=-== xxx
.
Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp
thế ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-Þ

2352
1521

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
3
8
;
3
5
;
3
1
123
=-== xxx