A.Đặt vấn đề
Trong tác phẩm nổi tiếng “ Giải toán như thế nào? ” Pôlia cho rằng:
Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài
toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có
khi rất quen thuộc đối với chúng ta. Vì vậy trong quá trình tìm tòi lời
giải các bài toán, việc tìm hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta tìm
ra chìa khóa để giải chúng. Đặc biệt, nếu phát hiện bài toán có nguồn
gốc từ một bài toán trong sách giáo khoa thì tình huống càng trở nên thú
vị.
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường PTTH tôi thấy, trong
các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi có những bài toán tưởng
chừng như rất khó nhưng khi tìm hiểu lời giải thì nó lại là một bài toán
được mở rộng hoặc vận dụng từ một bài toán SGK. Do vậy để giúp các
em học sinh có thêm cách nhìn nhận đúng đắn trước một bài toán tôi
chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh phát triển và vận dụng một bài toán
trong SGK”
B. Giải quyết vấn đề
I. Cơ sở lý luận .
Để phát huy được tính tích cực của người học thì người thầy phải
hướng dẫn các em cách tiếp cận kiến thức. Một trong những kiến thức
nền tảng là kiến thức trong SGK. Vì vậy đối với bộ môn toán ở trường
PTTH việc giải các bài tập trong SGK là hết sức cần thiết vì chúng là
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH
THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN
Người thực hiện: Lê Thị Trường
Chức vụ: Giáo viên


- Chương trình học còn nặng so với mặt bằng chung học sinh lớp
đó.
- Học sinh chưa tích cực trong việc vận dụng các bài toán,chỉ giải
các bài toán một cách máy móc,dập khuôn.

Lựa chọn nguyên nhân:
Trong các nguyên nhân dẫn đến tỉ lệ học sinh yếu ,trung bình cao kể
trên, tôi nhận thấy rằng nguyên nhân chưa áp dụng phương pháp dạy
học tích cực là quan trọng nhất.
2. Giải pháp thay thế
Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động
nhận thức của học sinh qua việc khai thác các bài toán trong sách giáo
khoa.
3. Vấn đề nghiên cứu
- Việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng khai thác bài tập sách
giáo khoa có nâng cao kết quả học tập môn toán của học sinh lớp
KHTN không?
- Giả thuyết nghiên cứu: Có;
Đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh qua việc khai thác
bài toán
sẽ nâng cao kết quả học tập môn Toán của các lớp KHTN
4. Thiết kế đo lường
4.1. Chọn 2 nhóm tương đương, xác định tác động
3
+ Nhóm 1 (lớp 10a7):
Tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh
qua việc dạy học theo hướng khai thác các bài tập toán
+ Nhóm 2 (lớp 10a6): Chỉ dạy học theo phương pháp truyền thống.
* Thời gian thực hiện: Chọn thời điểm khi HS bắt đầu học chương bất

toán.
Đề tài “Phát triển tư duy học sinh thông qua việc khai thác một bài
toán ” sẽ là tài liệu tham khảo giúp ích cho giáo viên và học sinh trong
quá trình dạy và học bộ môn toán.
III . Giải pháp
1.Yêu cầu cơ bản khi phát triển và vận dụng một bài toán trong
SGK
-Học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trong SGK
-Học sinh phải giải được một số bài tập cơ bản trong SGK
2. Quy trình thực hiện
-Tìm lời giải cho bài toán trong SGK.
-Phát triển bài toán.
- Vận dụng bài toán.
3.Hướng thực hiện
Bài toán xuất phát .(Bài toán 5 trang 110 trong SGK đại số 10 nâng
cao ):
Chứng minh rằng, nếu a>0 và b>0 thì
baba +
≥+
411
(1)
5
a. Một số cách giải bài toán
Cách 1: Dùng bất đẳng thức cô-si cho hai cặp số. Ta có, vì a, b dương
nên
abba 2≥+
. Đẳng thức xảy ra khi a=b và
baba
1
.

Với a>0 và b>0 ta có

( ) ( )
04
4411
22
≥−⇔≥+⇔
+
≥
+
⇔
+
≥+ baabba
baab
ba
baba
(đúng)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=”xảy ra khi a=b
Cách 3: Dùng bất đẳng thức bunhia-copski ta có
( ) ( )






++≤




Bđt (1) có thể viết lại như sau
( )
baba +
+
≥+
2
22
1111
(1a)
Vậy nếu cho 3 số a>0, b>0 ,c>0 thì có thể ta sẽ nhận được BĐT

( )
cbacba ++
++
≥++
2
222
111111

6
Hay
cbacba ++
≥++
9111
(2)
Ta sẽ kiểm tra lại kết quả trên bằng cách chứng minh BĐT (2)
Chứng minh:
Thật vậy, áp dụng BĐT côsi cho 3 số
ta có
3

cba
cba
.Hay
cbacba ++
≥++
9111
Dấu “=”xảy ra khi
a=b=c
Vậy nếu BĐT (1) mở rộng cho n số dương thì ta được BĐT nào?
Với
0>
i
a
,
ni ,1=
thì ta có BĐT sau :

nn
aaa
n
aaa +++
≥+++

1

11
21
2
21
(3)

aaa
1

11
21
==
.
Do đó
( )
2
21
21
1

11
n
aaa
aaa
n
n
≥








++++++

+
+
≥+
2
22
(4)
Chứng minh:
Áp dụng bđt bunhiacopski ta có
( ) ( )








++≤








+=+
b
y
a

=
.
Hãy mở rộng BĐT (4) cho 3 số?
Học sinh sẽ dễ dàng đưa ra kết quả sau: Với a>0 , b>0 và c>0 thì

( )
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
++
++
≥++
2
222
(5)
Chứng minh:
Tương tự bđt (4) ta có thể chứng minh bđt (5) như sau :
Áp dụng bđt bunhiacopski ta có

( ) ( )






2
2

Vì a>0 , b>0 và c>0 nên suy ra
( )
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
++
++
≥++
2
222
Dấu “=” xảy ra khi
b
y
a
x
=
=
c
z
.
Ta có bài toán tổng quát sau : Cho các số a
ni

1
2
1
(6)
Chứng minh:
Áp dụng bđt bunhiacopski ta có
8
( )
( )








+++++≤








+++=+++
n
n
n

2
2
2
1
1
1
2
21
Vì a
ni
i
, ,2,1,0 =>
nên
( )
n
n
n
n
aaa
xxx
a
x
a
x
a
x
+++

.
Và như vậy ta sẽ chỉ cho các em thấy rằng BĐT (3) chỉ là một
trường hợp đặc biệt của BĐT(6) khi
1
21
====
n
xxx
.
Trên đây là một số hướng phát triển bài toán (1) trong SGK ,tất nhiên
vẫn còn nhiều hướng mở rộng khác nữa cũng như vẫn còn các cách
khác để chứng minh các BĐT (1) ,(2) ,(3) ,(4) ,(5) và (6) bạn đọc có thể
tìm hiểu thêm.
Để khai thác thêm về bài toán này , bây giờ ta sẽ hướng dẫn các em vận
dụng vào giải một số bài toán liên quan:
c.Vận dụng bài toán
Bài tập 1 .
Cho 0 < x < 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
1
A
x x
= +
−
( Bài tập đại số 10 chương trình chuẩn)
Giải
Áp dụng bđt (1) ta có A
4
1
4

. Dấu “=” xảy
ra khi
yx
32
=
. Vì x+y=3 nên ta có x=
32
23
+
,y=
32
33
+
Vây Min B=
3
625 +
đạt được khi x=
32
23
+
,y=
32
33
+
Bài tập 3 .
Cho a>0 , b>0 và c>0 . Chứng minh
2
3
≥
+

++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ 2)()()(
2
222
Mặt khác lại có
( ) ( )
)(3)(22
222
2
cabcabcabcabcabcabcabcabcbacba ++=+++++≥+++++=++

⇒
đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài tập 4
Cho x+1>0 .y+1>0 , z+4>0 và x+y+z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức C=
411 +
+
+

411
.
Áp dụng bđt (5) ta có
( )
3
8211411
2
=
++
++
≥++
cbacba
Từ đó ta có C
3
1
3
8
3 =−≤
. Dấu “=” xảy ra khi
3;
2
3211
===⇒== cba
cba
Vậy Max C=
3
1
đạt được khi
1,
2







++=






+






+






+



+
+






≤
+++






+
=
++
zyxzxyx
zxyxzxyxzxyxzyx
112
16
1
4
1
4
1
4
1




++≤
++








++≤
++ zyxzyxzyxzyx
211
16
1
2
1
,
121
16
1
2
1
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên lại ta được
1
111
4

3
)(
1
)(
1
)(
1
333
≥
+
+
+
+
+ bacacbcba

(Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa)
Giải
Từ giả thiết
1
222
=⇒ cba
Sử dụng bđt (5) ta có
( )
( )
(*),
2
1
)(2)()()(
)(
1

+
+
Mặt khác , Áp dụng bđt Côsi cho ba số dương ta được
ab+bc+ca
3 3
3
=≥ cabcab
(**)
Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho 0<x<1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
A=
xx −
+
1
94
12
Bài 2. Cho a, b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

33
6
33
6
33
6
ba
c
ac

)(
1
)(
1
)(
1
444
≥
+
+
+
+
+ bacacbcba
Bài 5. Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng
bacacbcbaaccbba ++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1

bỏ giả thuyết đó. Sau khi hoàn thành thực nghiệm sư phạm sẽ có đủ cơ
sở để giải đáp được những câu hỏi sau:
1. Việc khai thác một bài toán cho học sinh lớp 10 ban KHTNcó
vừa sức hay không?.
2. Chất lượng học tập của học sinh có được nâng cao hơn không ?
khả năng vận dụng phương pháp này vào thực tế có linh hoạt hơn
không?
3. Hệ thống giáo án đã soạn có phù hợp với thực tế giảng dạy hay
chưa? (đảm bảo về mặt thời gian, khả năngkhai thác bài toán).
Việc trả lời các câu hỏi trên đây sẽ giúp chúng tôi tìm ra những thiếu
sót để rút kinh nghiệm và kịp thời chỉnh lý bổ sung để đề tài đạt kết quả
tốt nhất.
b. Nhiệm vụ của TNSP
Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra những vấn đề sau:
- Kiểm tra thái độ học tập (sự hứng thú học tập ) và khả năng lĩnh
hội tri thức mới (tri thức sự kiện và tri thức phương pháp) của học sinh
khi dạy học theo hướng khai thác bài toán
14
- Đánh giá tính hữu hiệu của phương pháp dạy học đã đề xuất: mặt
chất lượng và hiệu quả của phương pháp mới.
- Đánh giá kiểm tra kỹ năng nghiên cứu toán của học sinh trước và
sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm.
c. Đối tượng và phương pháp TNSP
c.1. Đối tượng TNSP
- Chúng tôi chọn lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC).
Đây là các lớp 10 theo ban KHTN.
- Để đảm bảo tính phổ biến của mẫu, chúng tôi chọn hai lớp khối 10
có học lực trung bình-khá về các môn học tự nhiên. Sau đây là các
mẫu thực nghiệm sư phạm.
TT Lớp ĐC/ TN Sỹ số học sinh

Số học sinh đạt điểm x
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ĐC 45 0 0 0 2 6 5 9 7 8 6 2
TN 45 0 0 0 0 3 4 7 10 9 8 4
Bảng 2: Phân phối tần suất: số % học sinh đạt điểm x
i
.
Lớp Số
HS
Số % HS đạt điểm x
i
(W
i
%)
3 4 5 6 7 8 9 10
ĐC 45 4,4 13,3 11,3 20,0 15,6 17,7 13,3 4,4
TN 45 0 6,8 8,8 15,6 22,2 20,0 17,8 8,8
d.3. Các tham số đặc trưng
1- Trung bình cộng:

i
m
i
i
xn
N
X
∑
=

i
ii
m
i
ii
xn
N
xn
N
S
2
ĐC
=0,94; S
2
TN
=0,63.
3- Độ lệch chuẩn:

S
ĐC

≈
0,97; S
TN
≈
0,8
4- Hệ số biến thiên:
V=
X
S

=
+
−
=
DC
DC
TN
TN
TNDC
n
S
n
S
XX
t
=0,56
17
(ở đây ngẫu nhiên mà n
ĐC
= n
TN
).
Bước 2: Chọn độ tin cậy là 0,95 (mức ý nghĩa α =0,05). Tra bảng
phân phối Stiuđơn tìm giá trị t
α,k
ứng với cột α =0,05; k=105 (k=n-1)
tìm được t
α,k
(2phía)=0,65.
Bước 3: So sánh t và t α,k

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT tôi thấy để
hình thành và phát triển trí tuệ cho học sinh, chúng ta cần tiến hành các
phương pháp đổi mới .Một trong các biện pháp đó là hoạt động củng cố
,trên cơ sở các kiến thức đã có cần xây dựng, phát triển và vận dụng vào
các tình huống khác nhau. Điều này phù hợp với qui trình học tập của
học sinh. Đặc biệt khi áp dụng vào dạy một số tiết tôi thấy các đối
tượng học sinh còn chậm cũng tích cực tham gia.
Thông qua việc phát triển và vận dụng các bài toán còn giúp các em
tính cẩn thân,khả năng quan sát ,tính linh hoạt ,sáng tạo và có cách giải
quyết đúng đắn trước một bài toán,tránh tình trạng áp dụng máy móc
dập khuôn .Như vậy cần tăng cường hơn nữa tính sáng tạo và vận dụng
trong dạy học.
Bản thân đã áp dụng phương pháp này cho một khóa học, tôi thấy
hiệu quả hoc tập tăng lên rõ rệt. Vì vậy tôi đã mạnh dạn đưa đề tài này
lên để các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh tham
khảo ,có thêm phương pháp trong quá trình dạy và học toán.
Rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để
các tiết dạy của tôi đạt hiệu quả cao, thu hút hơn nữa các em học sinh
niềm đam mê học tập môn toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn!19
Phụ lục Trang
A. Mở đầu………………………………………………………………
2
1. Hiện
trạng 2
2. Giải
pháp 3

12- 15
II. Kết luận và đề xuất.……………………….……………….………….
… 16
21
Tài liệu tham khảo
1/ Đại số 10 nâng cao sách giáo viên nhà xuất bản giáo dục năm 2006.
2/Đại số 10 nâng cao sách giáo khoa nhà xuất bản giáo dục năm 2006.
3/Tạp chí toán học tuổi trẻ của bộ giáo dục và đào tạo số 328, tháng 10-
2004.
4/Tạp chí toán học tuổi trẻ của bộ giáo dục và đào tạo số 350, tháng 8-
2006.
5/Phương pháp giải toán đại số, nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội
,tác giả
Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc- Lê Hữu Trí
6/ Phương pháp dạy học môn Toán- Đại học quốc Gia Hà Nội.
22
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng
5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết,
không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
23