1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
Chương 1. Giải tích trên thang thời gian 4
1.1. Thang thời gian……………………………………………………… 4
1.1.1. Định nghĩa thang thời gian…………………………………… …4
1.1.2. Các định nghĩa cơ bản………………………………………… 5
1.2. Không gian tôpô …………………………………………… ……….9
1.3. Hàm chính qui và hàm rd-liên tục 11
1.4. Phép toán vi phân 13
1.4.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger……………………………… … 13
1.4.2. Tính chất của đạo hàm Hilger ………………………… ………15
1.4.3. Đạo hàm cấp cao………… ………………………… ……… 17
1.5. Phép toán tích phân…………………………………………… … 19
1.5.1. Tồn tại tiền nguyên hàm………………………………… …….19
1.5.2. Nguyên hàm……………………………………………….…… 19
1.5.3. Quy tắc xích…………………………………………….……… 21
Chương 2. Bất đẳng thức trên thang thời gian………………………………25
2.1. Các bất đẳng thức
Holder,
Cauchy- Schwarz, Minkowski 25
2.2. Bất đẳng thức Jensen…………………….…… ………… …………29
2.3. Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli, Bihari…………………… ….31
2.4. Các bất đẳng thức Opial, Wirtinger……………….………………… 40
2.5. Bất đẳng thức Lyapunov………………………………… … ………46
2.6. Một số bất đẳng thức khác………………….……………… ……… 59
KẾT LUẬN…………………………………………………………………….84
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….85
2
thang thời gian như Bất đẳng thức
Holder
, Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng
thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức
Lyapunov và một số bất đẳng thức khác; đồng thời chúng tôi cũng tham chiếu
các bất đẳng thức trên đối với các trường hợp thang thời gian liên tục và thang
thời gian rời rạc.
Để hoàn thành luận văn này, trước nhất tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu
sắc tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng, người thầy đã dành thời gian hướng dẫn, tận
tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng
nghiên cứu và tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau
đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin được cảm ơn Trường trung học phổ thông Quảng Hà, Tỉnh Quảng
Ninh, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người thân, đồng
nghiệp và những người bạn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Người thực hiện
Đỗ Văn Nhân 4
còn
0
0,1,2,
là những thang thời gian.
1.1.2) Các tập
0
0,
2 ,2 1
k k
k k
,
2 2
0 0
: ,
n n
H
được xác định như sau
0
1
1
0, .
n
n
k
H H
k
Khi đó
0
:
n
H n
là một thang thời gian.
1.1.5) Các tập
, \ , 0;1
ta có các định
nghĩa sau:
Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử
:
được xác định bởi
( ): inf , .
t s s t
Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử
:
được xác định bởi
( ): sup , .
t s s t
Tương tự,
( ) sup : sup , .
t s s t t t
Như vậy,
( ) ( )
t t t
với mọi
.
t
1.2.2) Cho thang thời gian
.
Khi đó với mọi
n
. Ta có
1
( )
2
t t
và
1
( )
2
t t
.
6
1.2.4) Cho thang thời gian
2 2
0 0
:n n
2
2
2
( ) ( ) 1 1
t n n t .
1.2.5) Cho thang thời gian
z
2 :z
. Nếu
t
thì tồn tại số
z
sao
cho
2 0
z
t
hay
2
log
là thang thời gian.
Điểm
t
được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu
( )
t t
.
Điểm
t
được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu
( )
t t
.
Điểm
t
được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu
( ) ( )
t t t
t
,
0
t
đều là điểm cô lập.
1.3.3) Cho thang thời gian
z
2 :z
(xem ví dụ 1.2.5). Ta có
1
( ) ( ) 2
2
t t t t t
với mọi
t
. Do đó mọi điểm
t
đều là điểm cô
lập.
được gọi là điểm trù mật (dense) nếu
( ) ( )
t t t
.
Ví dụ 1.4
1.4.1) Cho thang thời gian
thì mọi điểm
t
đều là điểm trù mật.
1.4.2) Cho thang thời gian
0,
[2 ,2 1]
k k
k k
. Ta có
Nếu
2
t k
thì
( ) 2
t t k
và
( ) 1 2 1
t t k t
nên
t
là điểm cô lập trái
và là điểm trù mật phải.
1.4.3) Cho thang thời gian
0
:
n
H n
(Xem ví dụ 1.1.4). Ta có
1
1
1
và
0 0
H H
.
Suy ra
0
H
là điểm trù mật trái và cô lập phải. Mọi điểm
0
n
H H
của
đều là
điểm cô lập.
1.4.4) Cho
1
q
, ta xác định
: :
k
nếu
m
t q
và rõ ràng là
0 0.
Vì vậy ta được
t qt
và
t
t
q
với mọi
.
t
left-scattered
t
là điểm trù mật trái
( )
t t
t
left-dense
t
là điểm cô lập
( ) ( )
t t t
t
isolated
t
là điểm trù mật
( ) ( )
t t t
t
dense
Bảng 1.1
Bảng 1.2 dưới đây mô tả hình ảnh hình học của các điểm
t
●
9
Định nghĩa 1.5 Cho
là thang thời gian. Hàm hạt (grainiess function) là hàm
: 0;
được xác định bởi công thức
( ): ( )
t t t
.
Ví dụ 1.5
1.5.1) Cho thang thời gian
thì
( ) 0
t
là :f
được xác định theo công thức
( ) ( ( )).
f t f t
Ví dụ 1.6
1.6.1) Cho thang thời gian
thì
( ) ( )
f t f t
với mọi
t
.
1.6.2) Cho thang thời gian
) nếu
các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) Tập
và tập
X
là các phần tử của họ
.
2) Hợp của một họ con tùy ý các phần tử của họ
là một phần tử của họ
.
3) Giao của hai phần tử tùy ý của họ
là một phần tử của họ
.
10
Cặp
,
X , trong đó
là tôpô đã cho trên
,
A
. Khi ấy
: ,
M M M
A A M A A là một tôpô trên
M
.
Thật vậy ta có:
1) Vì
và
X
đều thuộc
nên suy ra
và
M M X
đều thuộc
.
M
2) Giả sử
1 2
1 2
U U nên suy ra
1 2
M
V V (theo định nghĩa tập
M
).
3) Giả sử
I
V là một họ bất kì các tập thuộc
M
. Khi đó ta có
M
là tôpô cảm sinh từ
trên
M
.
Trong luận văn này ta luôn giả thiết rằng thang thời gian
được trang bị một
tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường của tập số thực (tôpô thông thường trên tập
số thực
là tôpô tạo bởi các khoảng mở cùng với giao hữu hạn và hợp bất kì
của chúng), nghĩa là các tập mở của
là giao của các tập mở trong
với
.
Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô
cảm sinh.
11
1.3. Hàm chính qui và hàm rd-liên tục
là rd-liên tục.
Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau:
( , )
rd rd rd
C C C
.
Hàm rd-liên tục
:
f
được gọi là hồi quy (regressive) nếu
1 ( ) ( ) 0,
t f t t
.
Ta kí hiệu tập tất cả các hàm rd-liên tục và hồi quy bởi một trong các kí hiệu sau
( ) ( , ).
R = R R
Nhận xét 1.1 Tập tất cả các hàm rd-liên tục và hồi quy
R
cùng với phép toán
cộng
ở trên tạo thành một nhóm Abel. Thật vậy ta có:
1)
R
, ở đây
là hàm số xác định bởi
( ) 0
t
với mọi
t
. Suy ra
R
.
2) Giả sử
,
p q
.
3) Cho
, ,
p q r
R
. Ta có:
12
.
p q r p q pq r
p q pq r p q pq r
p q r qr p q r qr
p q r qr
p q r
1 1
1
( ) .
1
p p p
p p
p p
p p
p p
p
p p
p p
p
p
với mọi
t
được
kí hiệu là
,
tức là
:1 ( ) ( ) 0, .
p t p t t
R R
Dễ thấy
là một nhóm con của
R
([6], trang 67).
Sau đây ta xét một số tính chất của hàm chính quy và hàm rd-liên tục.
Định lí 1.1 (Theorem 1.60, [6]) Giả sử
là chính quy hoặc rd-liên tục thì
f g
cũng
có tính chất đó.
Chứng minh Xem [6], trang 23-25.
Giải tích trên thang thời gian (phép toán vi phân, tích phân) đã được trình bày
trong [6]. Đây là sự mở rộng của giải tích trên tập số thực (thang thời gian liên
tục
).
1.4. Phép toán vi phân
1.4.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger
Định nghĩa 1.10 Cho thang thời gian
. Ta kí hiệu tập
như sau
\ sup , s
;
:
.
up
là một số (nếu nó tồn tại), kí hiệu là
( )
f t
, nếu với
mỗi
0
cho trước tồn tại một lân cận
U
của
t
(nghĩa là,
,U t t
với một
nào đó) sao cho với mọi
s U
ta có
1.8.1) Nếu
:
f
,
( ) ,
f t
với mọi
t
thì
( ) 0
f t
.
t
14
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ) .
f t f s f t t s f t t s
f t t s t s
Chia cả hai vế cho
( )
t s
ta được
( ) , 0.
f t
Suy ra
( ) 0
f t
với mọi
0,
U t
sao cho với mọi
s U t
ta có
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .
f t f s f t t s t s f t t s t s
Chia cả hai vế cho
( )
t s
ta được
1 ( ) , 0.
. Khi ấy
( ) ( )
f t t t
t
.
Thật vậy, với mọi
0,
U t
sao cho với mọi
s U t
ta có
với mọi
t
.
15
Nếu
thì
( )
t t
. Do đó
( ) 2 ( )
f t t f t
.
Nếu
thì
( ) 1
.
1.4.2. Tính chất của đạo hàm Hilger
Định lí 1.2 (Theorem 1.16, [6]) Xét hàm số
:
f
và
t
. Khi đó ta có:
1) Nếu
f
là
-khả vi tại
t
thì
f
liên tục tại
t
.
2) Nếu
3) Nếu
t
là điểm trù mật phải thì
f
là
- khả vi tại
t
khi và chỉ khi
tồn tại giới hạn hữu hạn
( ) ( )
lim
s t
f t f s
t s
và khi ấy
( ) ( )
( ) lim
s t
f t f s
t
là điểm trù mật phải. Do đó
f
là
-khả vi tại
t
khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn
( ) ( )
lim
s t
f t f s
t s
và khi ấy
( ) ( )
( ) lim ( )
s t
f t f s
f t f t
t s
f t f t f t f t
f t f t f t f t
t
,
tức là
-đạo hàm trùng với sai phân tiến của
f
tại
t
.
Như vậy, khái niệm delta đạo hàm thống nhất hai khái niệm đạo hàm và sai
phân thông thường. Đây là kết quả hết sức quan trọng mà Hilger đã đạt được
nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục và hệ động lực
rời rạc.
Ta tiếp tục tìm hiểu các tính chất khác của đạo hàm Hilger qua định lí sau.
Định lí 1.3 (Theorem 1.20, [6]) Cho các hàm số
:
f
và
:
g
.
2) Với hằng số
bất kì thì hàm
:
f
là khả vi tại
t
và
( ) ( )
f t f t
.
3) Hàm fg
:
và
1 ( )
( )
( ) ( ( ))
f t
t
f f t f t
.
5) Nếu
( ) ( ( )) 0
g t g t
thì
f
g
là
-khả vi tại
t
. .
k f k f
. .
k f k f
( . ) .
k f k f
f g f g
f g f g
2
. .
f f g f g
g g
. .
. ( 1)
f f g f g
g g g t
f
) của hàm
f
là delta đạo hàm của hàm
f
, và được tính theo công thức
f f
.
Ví dụ 1.9 Cho thang thời gian
bất kì. Biết
:
f
và
( ) .
f t t
Tính
f
.
Theo Ví dụ 1.8.2 ta có
2
n
n
và
2
( )
f t t
. Theo Ví dụ 1.2.3
ta có
1
( )
2
t t
. Lại theo Ví dụ 1.8.3 thì
( ) ( )
f t t t
. Vậy
1
( ) 2
g t
(Ví dụ 1.8.1 và
1.8.2) ta được
1
( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2
f t t t g t t g t
2 ( ) ( ) 2.1 0 2.
t g t
thì delta đạo hàm cấp
n
(được viết là
n
f
) của hàm
f
là delta đạo hàm của hàm
1
n
f
, được tính theo công thức
1n n
f f
.
Định nghĩa 1.15 Hàm liên tục
:
f
là chính qui thì tồn tại hàm
F
là tiền khả vi trên miền khả vi
D T
sao cho
( ) ( )
F t f t
với mọi
.
t D
Chứng minh. Xem [6], trang 319-321.
Ta gọi một hàm
F
như trong Định lí 1.4 là tiền nguyên hàm của
f
.
Định nghĩa 1.16 Giả sử
:
f
là hàm chính quy và
thì
1
1 1
t t t
t
a a a
a
a a
. Vậy
1
t
t
a
a t C
a
.
Định nghĩa 1.17 Giả sử
được gọi là nguyên hàm của
:
f
trên
nếu
( ) ( )
F t f t
, với mọi
t
.
20
Định lí 1.5 (Theorem 1.74, [6]) Mọi hàm rd-liên tục đều có nguyên hàm. Trong
trường hợp riêng, nếu
0
t
thì
( )
( ) ( ) ( )
t
t
f t f t
.
Chứng minh Xem [6], trang 28.
Định lí 1.7 (Theorem 1.76, [6]) Nếu
0
f
thì
f
là hàm không giảm.
Chứng minh Xem [6], trang 28.
Định lí 1.8 (Theorem 1.77, [6]) Nếu
, ,
a b c
,
ba
f t t f t t
.
4)
( ) ( ) ( )
a a
b c b
c
f t t f t t f t t
.
21
5)
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f t g t t fg b fg a f t g t t
.
6)
( ) 0
a
thì
( ) 0
b
a
f t t
.
Chứng minh Xem [6], trang 29.
Định lí 1.9 (Theorem 1.79, [6]) Cho
,
a b
, và
rd
f C
.
1) Nếu
thì
( ) ( )
b
a
b
a
Nhận xét 1.3 Ta đã biết công thức đạo hàm của hàm hợp trên
( ) ( ) ( ).
f g t f g t g t
Tuy nhiên, như ví dụ dưới đây chỉ ra, quy tắc này không còn đúng cho thang thời
gian bất kì.
Ví dụ 1.12
Giả sử
và
, :
f g
,
2
( ) , ( ) 2
f t t g t t
.
22
2
( ) 4 4 t ( ) 4(2 1) 8 4
f g t t t t t
.
Trong khi đó
( ) 2 ( ) 1 4 1
f g t g t t
và
( ) ( ) 8 2
f g t g t t
.
Vì vậy ta có
( ) ( ) ( )
f g t f g t g t
Lại có
2 4
( ) ( ( )) ( )
f g t f g t f t t
. Suy ra
2
4 2 2 2 2 2
2
2
3 2
( ) . ( )
2 1 1 2 1
4 6 4 1.
f g t t t t t t t t
t t t t
.
Vì vậy ta có
( ) ( ) ( )
f g t f g t g t
, với mọi
t
.
Tuy nhiên, ta vẫn có Định lí sau.
Định lí 1.10 (Theorem 1.87, [6]) Giả sử
:
g
là hàm liên tục theo tôpô
trong
,
:
g
23
Chứng minh Xem [6], trang 31-32.
Ví dụ 1.14
Cho
,
2
( ) , ( ) 2 ,
f t t g t t
tìm trực tiếp giá trị
c
đảm bảo bởi Định lí 1.10
sao cho
(3) ( ) (3).
f g f g c g
( ) ( ) ( )
f g t f g t g t
là
công thức quen thuộc.
Định lí 1.11 (Theorem 1.90, [6]) Cho
:
f
là hàm liên tục khả vi và
:
g
là
-khả vi. Khi ấy
:
f g
là
:
f
được xác định bởi
2
( )
g t t
và
( ) exp .
f x x
Khi đó
2
2
( ) 1
g t t t
và
( ) exp .
f x x
2 2
0 0
2 1 2 1 2exp exp 2exp1 1
t t h t dh t t h t dh
1
2
0
1
exp e2 1 2xp 1
2 1
t t h t
t
24
2
2
2 2 2
1 ex 1
2 1 2 1 1
p exp
exp exp exp exp .
t t
t t t t
f g t f g t f t
t
g
Như vậy, ta có
Toán tử nhảy tiến
( )
t
t
1
t
Hàm hạt
( )
t
0 1
f
là rd-liên tục
f
là liên tục Mọi hàm
f
Đạo hàm
( )
f t
( )
a b
)
Tích phân từng phần
trong
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ( )) ( ).
b
a
b
a
f t g t t
fg b fg a
f t g t t
Tích phân từng phần
trong
T
thì
1
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ).
b
t a
b
t a
f t g t
fg b fg a
g t f t
Bảng 1.4
25
Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN
p q
.
Chứng minh Lưu ý đầu tiên là nếu một trong hai hoặc cả hai số
,
bằng 0 thì
bất đẳng thức cần chứng minh là luôn đúng.
Vì vậy giả sử
, 0
. Khi đó ta có
1 1 1 1 1 1
exp ln exp ln ln
1 1
exp ln ln
p q p q p q
p q
sang cho thang thời gian.
Copyright: Tài liệu đại học ©