http://ebook.here.vn – Download Bài giảng – ðề thi miễn phí
1

Sở Gíao dục & ðào tạo
tỉnh Vĩnh Phúc
Trường THPT Xuân Hoà KỲ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1

ðỀ THI MÔN Toán; Khối A
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao ñề.
ðề thi gồm 01 trang
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
I/- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, 0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm): Cho hàm số
4 2 2
2 1 (1)
y x m x= + +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Chứng minh rằng ñường thẳng y = x + 1 luôn cắt ñồ thị của hàm số (1) tại hai ñiểm phân
biệt với mọi giá trị của m.
Câu II (2,0 ñiểm):
1. Giải phương trình:
sin 4 cos4 1 4(sin cos )
x x x x
− = + −

2. Giải hệ phương trình:

. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện SABC.
Câu V
(1,0 ñiểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
x x x x
f x
x x
− + − +
=
− +

II. PHẦN RIÊNG(
3,0 ñiểm
):
Thí sinh chỉ ñược làm một trong phần ( phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa
(2,0 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ 0xy, cho elíp (E) có tiêu ñiểm thứ nhất
( 3;0)
−
và ñi qua
ñiểm
4 33
(1; )

có hai ñiểm cực trị
A
,
B
và ñoạn AB ngắn
nhất.

Hết

Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………………………; Số báo danh:………………

http://ebook.here.vn – Download Bài giảng – ðề thi miễn phí
2ðÁP ÁN, BIỂU ðIỂM
MÔN TOÁN Khối A
Lưu ý : Học sinh làm theo cách khác mà ñúng vẫn cho ñiểm tối ña
Câu ðáp án ðiểm
I 1. (1, 0 ñiểm). Khảo sát….
Với m=1, hàm số trở thành:
4 2
2 1
y x x
= + +

* Tập xác ñịnh: R
* Sự biến thiên

x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞

Bảng biến thiên:
x
−∞
0
+∞

y' - 0 +
y
+∞

+∞
1

0, 25

* ðồ thị: Hàm số ñã cho là hàm số chẵn nên ñồ thị nhận trục tung làm trục ñối
xứng.

0,25

x = 0 0,25

Ta sẽ ñi chứng minh phương trình:
3 2
2 1 0
x m x
+ − =
(**) có ñúng một nghiệm

6

4

2

-
1
1

2http://ebook.here.vn – Download Bài giảng – ðề thi miễn phí

3

khác 0 với mọi giá trị m

⇒ =
có nhiều nhất một nghiệm.

0,25
Ta có: f(0) = -1; f(1) =2m
2
>0
(0). (1) 0
f f
⇒ < ⇒
pt
( ) 0
f x
=
có nhiều nhất một
nghiệm thuộc (0; 1).
Vậy pt (**) có ñúng một nghiệm khác 0
⇒
(ñpcm)

0,25
II 1. (1, 0 ñiểm).
Giải phương trình:
sin 4 cos 4 1 4(sin cos )
x x x x
− = + −
(1)

ðK:
x R

− = ⇔ = ⇔ = +

0,25
* TH2:
(cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2 0
2cos(2 ).cos( ) 2 0
4 4
cos3 cos( ) 2 (*)
2
x x x x
x x
x x
π π
π
− − − =
⇔ + − − =
⇔ + + =

cos3 1 (3)
cos( ) 1 (4)
2
x
x
π
=


⇔

+ =

2
x m
π
π
= − + =
( Vô lý với (3))
Vậy (*) vô nghiệm., nên (1) có nghiệm:
4
x k
π
π
= +

0,25.

2.(1, 0 ñiểm). Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
x y y x
y x

+ = +


+ = +

⇔

− =


+) x = 0 thay vào (2) ta ñược
2
y
= ±

+)
0
x
≠
, pt (3)
2
16
5
x
y
x
−
⇔ = thay vào (2) ta ñược:
4 2 2
124 132 256 0 1
x x x
+ − = ⇔ =

0
1 cos 2 tan
lim
.sin
x
x x
x x
→
− +
2
2
2
0
sin
2sin
cos
lim
.sin
x
x
x
x
I
x x
→
+
=

.
Suy ra
( )
BC SAC
⊥

Do ñó
·
0
60
SCA =

Do
ABC
∆
vuông tại C và AB =2a
2
AC BC a
⇒ = =
Trong tam giác vuông SAC ta có
0
.tan 60 6
SA AC a
= = 0,5
Trong tam giác SAB có:
2 2
10

(1 ñiểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
x x x x
f x
x x
− + − +
=
− +

Tập xác ñịnh của hàm số là R.
Ta có:
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
x x x x
f x
x x
− + − +
=
− +
=
2 2 2
2

.
Vậy Minf(x) = 2 khi x =1
0,25
Vi.a
1.(1 ñiểm):
Hãy xác ñịnh toạ ñộ các ñỉnh của (E).

(E) có tiêu ñiểm
1
( 3;0)
F −
nên
3
c =
Phương trình chính tắc của (E) có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(a>b>0)

0,25

Ta có:
4 33
(1; )
5
M

0,5

http://ebook.here.vn – Download Bài giảng – ðề thi miễn phí

5

Suy ra:
2
25 5
a a
= ⇒ =
. Vậy (E) có bốn ñỉnh là: (-5;0); (5; 0); (0;-
22
); (0;
22
)
0,25

2. (1,0 ñiểm):
Giải phương trình:
2.27 18 4.12 3.8
x x x x
+ = +
.
Ta có PT
3 2 2 3
2.3 2 .3 4.2 3 3.2
x x x x x x
⇔ + = +
.

(
)
3 2 2
2 4 3 0 1 2 3 0
1
3
2
t t t t t t
t
t
+ − − = ⇔ + − − =
= −


⇔

=

.
Do t >0 nên t=
3
2

0,25
Khi
3
2

và
10
2
5
=C
cách chọn hai chữ số lẻ => cã
2
5
C
.
2
5
C
= 60 bộ 4 số thoả mãn bài
toán.
0,5

Mỗi bộ 4 số như thế có 4! số ñược thành lập. Vậy có tất cả
2
4
C .
2
5
C
.4! = 1440
số.
0,5
VI.b
1. (1 ñiểm):
Tìm toạ ñộ B, C ñể tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

max
5
0
2
b S
≤ ≤ →
khi b =0. Suy ra B(0; 0); C(0; 5).

0,25

2.(1 ñiểm):
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn
có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ

Từ giả thiết bài toán ta thấy có
10
2
5
=C
cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có
chữu số 0 ñứng ñầu ) vµ
3
5
C
=10 cách chọn hai chữ số lẻ => cã
2
5
C
.
3

=CC
. Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT.
VII.b
(1 ñiểm):
Tìm m ñể hàm số:
2
1
mx
y
x
−
=
có hai ñiểm cực trị
A, B và ñoạn AB ngắn nhất.
Ta có:
2
2
1
'
mx
y
x
+
=
.
0,25
Hàm số có hai cực trị
' 0
y
⇔ =

2 .16 16
AB m
m
≥ − =
−
( không ñổi).
1
4
2
4 16( )
1
2
m
AB m
m
m

= −

= ⇔ = − ⇔

−

=



Kết hợp với ñiểu kiện (*) ta ñược
1
2