Chơng 1. Số Phức
Trang 20 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
1. Viết dạng đại số của các số phức
a. (2 - i)(1 + 2i) b.
i34
2

c.
i
4
3
i54

+
d. (1 + 2i)
32. Cho các số phức a, b



. Chứng minh rằng
a.
|
a
|
=
|
b
|


0


ab
1
ba
+
+



33. Viết dạng lợng giác của các số phức
a. -1 + i
3
b. (
3
+ i)
10
c.
3
i
d.
5
i1 +
+
+
2
iz
iz







+
+
i
z
iz

+
+ 1 = 0 f. | z | =
z
1
=
|
1 - z
|

g. (z + i)
n
= (z - i)

n
C +
5
n
C +
8
n
C +
b. C =

=
+
n
0k
)kbacos(
và S =

=
+
n
0k
)kbasin(6. Kí hiệu =
n
2
i
e


=


=
1n
0l
l
z
Suy ra


=

1n
1k
n
k
sin
=
1n
2
n
7. Trong mặt phẳng phức cho tìm điểm M(z) sao cho
a. Các điểm có toạ vị là z, z
2
và z
3

C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 21

9. (n , z
n
) ì
*
và | argz
n
| . Chứng minh rằng chuỗi

0n
n
|z| hội tụ

10. Cho tam giác ABC. Kí hiệu M
0
= A, M
1
= B, M
2

1
x
1
dt
t
)t(f
x ( 1) b.
+x
lim

+
+
0
2
dt
t1
)x/t(f13. Khảo sát các đờng cong phẳng
a. z(t) = acost + ibsint b. z(t) = acht + ibsht
c. z(t) = (t - sint) + i(1 - cost) d. z(t) = tlnt + i
t
tln14. Biểu diễn trên mặt phẳng các tập con của tập số phức
a.
|
z - 3 + 4i

C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

r
a
c
k
.
c
o
m
.

Trang 22 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Chơng 2
Hàm biến phức
Đ1. Hàm biến phức

Cho miền D . ánh xạ f : D , z w = f(z) gọi là hàm biến phức xác định trên
miền D và kí hiệu là w = f(z) với z D.
Thay z = x + iy vào biểu thức f(z) và thức hiện các phép toán
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) với (x, y) D 3
2
(2.1.1)
Hàm u(x, y) gọi là phần thực, hàm v(x, y) gọi là phần ảo, hàm | f(z) | =
22
vu + gọi là
module, hàm
f
(z) = u(x, y) - iv(x, y) gọi là liên hợp phức của hàm phức f(z).


Để biểu diễn hình học hàm phức, ta dùng cặp mặt phẳng (z) = (Oxy) và (w) = (Ouv).
Qua ánh xạ f
Điểm z
0
= x
0
+ iy
0
biến thành điểm w
0
= u
0
+ iv
0

Đờng cong z(t) = x(t) + iy(t) biến thành đờng cong w(t) = u(t) + iv(t)
Miền D biến thành miền G
Chính vì vậy mỗi hàm phức xem nh là một phép biến hình từ mặt phẳng (Oxy) vào mặt
phẳng (Ouv). Nếu ánh xạ f là đơn ánh thì hàm w = f(z) gọi là đơn diệp, trái lại gọi là đa
diệp. Hàm đa diệp biến một mặt phẳng (z) thành nhiều mặt phẳng (w) trùng lên nhau.
Nếu ánh xạ f là đơn trị thì hàm w = f(z) gọi là hàm
đơn trị, trái lại gọi là đa trị. Hàm đa
w(t)
w
0

D
(z)


.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

Cho các hàm f : D , z = f(z) và g : G , w = g() sao cho f(D) G.
Hàm
h : D , z w = g[f(z)] (2.1.3)
gọi là hàm hợp của hàm f và hàm g, kí hiệu là h = gof.
Cho hàm f : D , z w = f(z) và G = f(D).
Hàm
g : G , w z = g(w) sao cho f(z) = w (2.1.4)
gọi là hàm ngợc của hàm f, kí hiệu là g = f
-1
.
Hàm ngợc của hàm biến phức có thể là hàm đa trị. Các tính chất phép toán của hàm
phức tơng tự nh các tính chất của hàm thực.

Ví dụ Hàm w = z
2
là hàm đa diệp trên và có hàm ngợc z =
w
là hàm đa trị.

Đ2. Giới hạn và liên tục

Cho hàm f : D , a
D
và L




|
<


Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z
dần ra vô hạn
và kí hiệu là
z
lim f(z) = L nếu



> 0,

N > 0 :

z

D,
|
z
|
> N


|
f(z) - L
|
<


|
> M

Định lý
Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), a =

+ i

và L = l + ik




az
lim

f(z) = L


),()y,x(
lim

u(x, y) = l và
),()y,x(
lim

v(x, y) = k (2.2.1)
Chứng minh
Giả sử
az





(x, y)

D,
|
x -


|
<

/2 và
|
y -


|
<

/2
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

> 0, > 0 : (x, y) D, | x - | < và | y - | <
| u(x, y) - l | < /2 và | v(x, y) - k | < /2
z D, | z - a | < | f(z) - L | <
Suy ra
az
lim

f(z) = L
Hệ quả
1.
az
lim

f(z) = L

)z(flim
az
=
L



az
lim

|
f(z)

az
lim

g(z),
az
lim

[f(z)/ g(z)] =
az
lim

f(z)/
az
lim

g(z)
3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn hàm biến thực


Hàm f gọi là
liên tục
tại điểm a

D nếu
az
lim

f(z) = f(a). Hàm f gọi là
liên tục
trên miền



Rõ ràng hàm f liên tục đều trên miền D thì nó liên tục trên miền D. Tuy nhiên điều
ngợc lại nói chung là không đúng.

Định lý
Cho hàm f liên tục trên miền D compact.
1. Hàm
|
f(z)
|
bị chặn trên miền D và

z
1
, z
2


D sao cho

z

D,
|
f(z
1
)
|


= f(z
n
)



+
w
0
. Do miền D compact nên có dy con z

(n)




+
z
0


D.
Do hàm f liên tục nên f(z

(n)
)



+


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
.