Chơng 2. Hàm Biến Phức
Trang 40 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Trớc hết biến hai đờng tròn lồng nhau hai đờng thẳng song song bằng cách biến
điểm i thành điểm . Sau đó dùng phép tĩnh tiến và phép vi tự để điều chỉnh băng ngang
thành băng ngang đối xứng và có độ rộng thích hợp. Cuối cùng dùng phép quay để nhận
đợc băng đứng.

Ví dụ 6 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = {| z | < 1} - [1/3, 1]
thành miền G = {| w | < 1}.
Trớc hết biến hình tròn với lát cắt [1/3, 1] thành mặt phẳng với lát cắt [-1, 5/3] bằng
phép biến hình Jucop. Sau đó thu gọn lát cắt thành đoạn [-1, 1] bằng phép tĩnh tiến và
phép vi tự. Cuối cùng dùng phép biến hình Jucop ngợc.
Lấy tích các phép biến hình w = +
1
2

= 1]
4
1
)
2
1
z(
8
3
[
4
1
)
2

z
các hàm sau đây.
a. w = x
2
- 1 b. w = x
2
+ y
2
+ iy c. w =
22
yx
xy2
+
8. w = x
3
+ iy
33. Khảo sát tính liên tục, liên tục đều của các hàm sau đây.
a. w =
z
zRe
b. w = lnx + iy c. w =
1
z
1z

+
d. w =

-
1

=
)
w
1
w(
2
1
+

(-1) = -1, (5/3) = 1

1

-
1

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

thoả điều kiện (C - R) nhng không khả vi tại z = 0
c. Cho f(z) = u(r,

) + iv(r,

) với z = re
i

. Viết dạng lợng giác của điều kiện (C - R)
d. Cho w = u(x, y) + i v(x, y). Chứng minh rằng nếu


z
w
Relim
0z



thì


x
u


=
x
v



8. Chứng minh các công thức sau đây.
a. cos(z + z) = coszcosz - sinzsinz b. sin2z = 2sinzcosz
c. tg(2z) =
ztg1
tgz2
2
+
d. ch(2z) = ch
2
z - sh
2
z

9. Tìm ảnh của miền D qua phép biến hình w = f(z)
a. w = z
2
và D = {-

/2 < Imz <

/2} b. w = 2 + e
z
và D = {-

< Rez <

}
c. w = cosz và D = {-



a. x
2
+ y
2
= 4 b. x = 1 c. y = x d. (x - 1)
2
+ y
2
= 1 Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 2. Hàm Biến Phức
Trang 42 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
12. Tìm phép biến hình phân tuyến tính

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
.

Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 43
Chơng 3
Tích Phân Phức
Đ1. Tích phân phức

Cho miền D , hàm phức
f : D , z f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
và tham số cung trơn từng khúc
: [, ] D, t (t) = x(t) + iy(t)
Tích phân


dz)z(f
=





dt)t()]t([f
(3.1.1)
gọi là

[

1
,

1
] với

(t) > 0 và

1
(s) =

o

(t)
Khi đó ta có





dt)t()]t([f
=








.

Định lý
Hàm phức f liên tục trên đờng cong

trơn từng khúc thì khả tích.
Chứng minh
Giả sử f : D



liên tục và

=

([

,

]) với

: [

,

]

D là tham số cung trơn từng
khúc. Khi đó hàm fo


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
.
Chơng 3. Tích Phân Phức
Trang 44 Giáo Trình Toán Chuyên Đề


dz)z(f =






dt)]t(y)t(v)t(x)t(u[
+




+

dt)]t(x)t(v)t(y)t(u[i
(3.1.3)

Ví dụ
1. Tính tích phân I =


zdzRez

3
i3-
+

2. Tính tích phân I =


n
z
dz
với là đờng tròn | z | = R định hớng dơng
Tham số hoá đờng tròn = (ab)
(t) = Re
it
, t [0, 2]
Suy ra
(t) = iRe
it
, fo(t) = R
-n
e
-int

I =




=
=


+
dz)z(gdz)z(f
(3.2.1)
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra hàm [fo(t) + go(t)](t) khả tích trên [, ]



+
dz)]z(g)z(f[
=





+
dt)t()]t(go)t(fo[

0

1

2i
a

b

Click to buy NOW!

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d