Chơng 1. Số Phức
Trang 10 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
1. Số phức z = 1 + i =
2
(cos
4

+ isin
4

) có các căn bậc 3 sau đây
w
0
=
6
2 (cos
12

+ isin
12

), w
1
=
6
2 (cos
12
9
+ isin
12
9

, k = 0 (n - 1) là các căn bậc n của đơn vị.
1.
k

=
n-k
2.
k
= (
1
)
k
3.


=

1n
0k
k
= 0

Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j =
3
2
i
e

=
1

ảnh
của số phức z,
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của vectơ
v
và kí hiệu là
v
(z).
Kí hiệu P là mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy). Anh xạ
: P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2)
là một song ánh gọi là
biểu diễn hình học
của số phức. Điểm M gọi là
ảnh
của số phức z
còn số phức z gọi là
toạ vị phức
của điểm M và kí hiệu là M(z).
Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M
1
(-
z
), M
2
(-z) và M
3
(
z
).

0

M

M
1

M
2

M
3

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11

1
) và P(
2
1
(z +
z
1
)). Chứng minh
rằng đờng thẳng (MN) là phân giác của góc (
PA
,
PB
).
Ta có (
i
,
AP
) = arg(
2
1
(z +
z
1
) - 1) = arg
z2
)1z(
2


(

)1z(
2
+
= 2arg(z -
z
1
) = 2(
i
,
MN
)

Hệ quả 2
Với các kí hiệu nh trên
1. Hai đờng thẳng (AB) // (CD) arg
a
b
cd


= 0 []
a
b
cd


3
2. Hai đờng thẳng (AB) (CD) arg
a
b


Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) sao cho ba điểm A(z), B(iz) và C(i) thẳng hàng
Kí hiệu z = x + iy, ta có
A, B, C thẳng hàng
i
z
iiz


= k 3 -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1)




=
=
)1y(k1x
kxy
x =
1
k
k1
2
+

, y =
1
k
)1k(k
2


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Trang 12 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Phép biến hình M N = M + v gọi là phép tĩnh tiến theo vectơ v
Phép biến hình M N = A + k
AM
(k > 0) gọi là phép vi tự tâm A, hệ số k
Phép biến hình M N sao cho (
AM
,
AN
) = gọi là phép quay tâm A, góc
Tích của phép tĩnh tiến, phép vi tự và phép quay gọi là phép đồng dạng.

Định lý Cho phép biến hình : M N
1. Phép biến hình là phép tĩnh tiến z = z + b với b
2. Phép biến hình là phép vi tự z = a + k(z - a) với k 3
+
, a
3. Phép biến hình là phép quay z = a + e
i

(z - a) với 3, a
4. Phép biến hình là phép đồng dạng z = az + b với a, b
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa các phép biến hình và toạ vi phức.

Ví dụ Cho A(a), B(b) và C(c). Tìm điều kiện cần và đủ để ABC là tam giác đều


Đ5. Dy trị phức

ánh xạ
: , n z
n
= x
n
+ iy
n
(1.5.1)
gọi là dy số phức và kí hiệu là (z
n
)
n

.
Dy số thực (x
n
)
n

gọi là phần thực, dy số thực (y
n
)
n

là phần ảo, dy số thực dơng
(| z
n

:

n > N


|
z
n
- a
|
<


Dy số phức (z
n
)
n

gọi là
dần ra vô hạn
và kí hiệu là
+n
lim z
n
=

nếu


M > 0,


Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 1. Số Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 13
Định lý Cho dy số phức (z
n
= x
n
+ iy
n
)
n

và a = + i
+n
lim z

N



:

n > N


|
z
n
- a
|
<



n > N


|
x
n
-



n
=

và
+n
lim y
n
=







> 0,

N



:

n > N


|
x
n
-

Suy ra
+n
lim z
n
= a
Hệ quả
1.
+n
lim z
n
= a


+n
lim
n
z =
a



+
n
lim
|
z
n

n
lim (z
n
z
n
) =
+
n
lim z
n

+
n
lim z
n
và
+
n
lim (z
n
/ z
n
) =
+
n
lim z
n
/
+
n

chuỗi số phức
.
Chuỗi số thực

+
=0n
n
x
gọi là
phần thực
, chuỗi số thực

+
=0n
n
y
là
phần ảo
, chuỗi số thực
dơng

+
=0n
n
|z|
là
module
, chuỗi số phức

+

.

Ví dụ Xét chuỗi số phức

+
=0n
n
z
= 1 + z + + z
n
+ (
|
z
|
< 1)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.

Định lý
Cho chuỗi số phức
( )

+
=
+=
0n
nnn
iyxz
và S = + i

+
=0n
n
z
= S

+
=0n
n
x
= và

+
=0n
n
y
= (1.5.4)
Chứng minh

2. Các tính chất khác tơng tự chuỗi số thực

Chuỗi số phức

+
=0n
n
z
gọi là
hội tụ tuyệt đối
nếu chuỗi module

+
=0n
n
|z|
hội tụ. Rõ ràng
chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ. Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung là không
đúng. Ngoài ra, có thể chứng minh rằng chỉ khi chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối thì tổng
vô hạn (1.5.3) mới có các tính chất giao hoán, kết hợp, tơng tự nh tổng hữu hạn.

Đ6. Hàm trị phức

Cho khoảng I 3, ánh xạ
f : I , t f(t) = u(t) + iv(t) (1.6.1)
gọi là
hàm trị phức

I
. Hàm f gọi là dần đến giới hạn
L khi t dần đến và kí
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.