215
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 65, 2011

MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN NA-NÔ BÁN DẪN
VỚI LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON
DỰA TRÊN THUẬT TOÁN GPBICG
Đinh Như Thảo, Dương Thị Diễm My,
Nguyễn Châu Phương Thi, Ngô Thanh Thủy
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
TÓM TẮT
Bài báo trình bày việc xây dựng chương trình giải phương trình Poisson ba chiều dựa
trên thuật toán GPBICG để sử dụng trong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng
phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Chương trình mô phỏng được áp dụng để mô
phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Các kết quả mô
phỏng thu được hoàn toàn phù hợp với các kết quả của các công trình đã được công bố trước
đây [1, 2]. Các kết quả chỉ ra rằng, chương trình giải phương trình Poisson dựa trên thuật toán
GPBICG không những có tốc độ hội tụ nhanh mà còn có tính ổn định cao hơn các chương trình
từng được sử dụng [2].
Từ khóa: Mô phỏng linh kiện bán dẫn, phương trình Poisson ba chiều, thuật toán
GPBICG, phương pháp Monte – Carlo.

1. Giới thiệu
Nghiên cứu và phát triển các linh kiện na-nô bán dẫn đang thu hút sự quan tâm
mạnh mẽ của giới khoa học do tính ứng dụng cao của nó [1, 2, 3]. Nghiên cứu thực
nghiệm các linh kiện na-nô nói chung là rất tốn kém, đòi hỏi phải sử dụng công nghệ
cao và mất nhiều thời gian. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết có thể giúp khắc
phục được các hạn chế nêu ở trên, đặc biệt là các phương pháp mô phỏng như: phương
pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp, phương pháp các phương trình cân bằng, mô hình
kéo theo – khuếch tán [4]. Trong lớp các phương pháp đó, Monte – Carlo tập hợp tự hợp

,
S
x y z
   

  
   
  ở đây,

là điện thế,

là mật độ điện tích,
S

là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện;
x
,
y
,
z
là ba biến không gian. Để có thể dễ dàng thực hiện sai phân hữu hạn ta chia
mô hình linh kiện thành các ô lưới và giả sử khoảng cách giữa các nút lưới theo các
chiều không gian là bằng nhau,
x y z
    
. Tiến hành lấy sai phân hữu hạn phương
trình (1) ta thu được hệ phương trình sau:

,
y
N
,
z
N
lần lượt là số nút lưới theo các
chiều không gian
Ox
,
Oy
,
Oz
. Hệ phương trình (2) có thể được viết lại dưới dạng một
phương trình ma trận như sau:
,
A b


(3)
trong đó, ma trận A có dạng:





     
     
   
1 1


217
với
j
a
 
 
và
j
c
 
 
là các ma trận một đường chéo chính:
,
0
0
j j
a c




 
 
 
 
   
 
   
 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 


trong đó
2
( ) 1
x z

   
.
Bảng 1. Thuật toán GPBICG để tìm nghiệm của phương trình Poisson

Đây là một phương trình ma trận loại lớn và việc giải phương trình này khá phức
tạp. Dù dùng phương pháp nào thì để có thể giải hệ này với cách giải thông thường ta
cũng đều cần một máy tính mạnh với bộ nhớ cực lớn để có thể lưu trữ và xử lý dữ liệu.
(5)
(6) 218

động lực học của hạt tải trong linh kiện trong trường hợp chiếu một xung laser với chiều
dài của xung là
12 s
f
và năng lượng photon là 1.49
eV
. Các tham số cấu trúc vùng
năng lượng được sử dụng như sau: 1.42
gap
E eV

 ,
*
0
0.063
e
m m

 ,
*
0
0.45
h
m m

 ,
*
0
0.222
Le

16 3
5 10
ex
N cm

  sau thời gian
1
ps
. Kích thước theo ba chiều
không gian của đi-ốt là 440 100 100
x y z
L L L nm nm nm
     , giả sử đi-ốt được nuôi
cấy theo phương
Ox
. Mô hình linh kiện được chia thành các ô lưới không gian với
khoảng cách giữa các nút lưới là
10
50 10
x y z m

       . Như vậy, ta sẽ có
89
x
N


nút lưới theo phương
Ox
,


219
thị ta thấy rằng, điện tử chủ yếu chuyển động trôi dạt theo phương
Ox
. Vận tốc trôi dạt
toàn phần của điện tử được đóng góp chủ yếu từ thành phần vận tốc theo phương
Ox
,
còn các thành phần vận tốc theo phương
Oy
và phương
Oz
cho đóng góp không đáng
kể. Đặc biệt, tại thời điểm ban đầu sau khi chiếu xung laser vận tốc trôi dạt của điện tử
theo phương
Ox
tăng nhanh vượt xa giá trị bão hòa rồi sau đó giảm nhanh về giá trị bão
hòa, hiện tượng này được gọi là sự vượt quá vận tốc [1, 4].

Hình 2. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo các phương khác nhau và vận tốc trôi dạt toàn phần
như là hàm của thời gian ứng với 100
ext
E kV cm


Hình 3. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo phương Ox như là hàm của thời gian ứng với các điện
trường ngoài khác nhau 220

Ox
và
Oy
tại mặt cắt 10
z nm

ứng với điện trường ngoài
100
ext
E kV cm
 . Từ đồ thị ta thấy rằng điện thế trong linh kiện chủ yếu biến thiên theo
phương
Ox
và gần như không đổi theo hai phương
Oy
và
Oz
. Kết quả này là hoàn
toàn hợp lý do điện trường ngoài được đặt vào linh kiện theo phương
Ox
mà thôi. Kết
quả này cũng phù hợp với các kết quả đã được công bố trước đây [1, 2]. 221

Hình 5. Phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox và Oy
tại mặt cắt 10
z nm


4. Kết luận
Chúng tôi đã xây dựng thành công một chương trình giải phương trình Poisson
ba chiều dựa trên thuật toán GPBICG dùng để tích hợp trong chương trình mô phỏng
linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Để khảo sát
các đặc trưng của phương pháp chúng tôi đã tiến hành mô phỏng động lực học ba chiều
của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs và so sánh với các kết quả mô phỏng đã
được công bố trước đây. Các kết quả chỉ ra rằng, chương trình giải phương trình Poisson
dựa trên thuật toán GPBICG không những có tốc độ hội tụ nhanh mà còn có tính ổn
định cao hơn các chương trình từng được sử dụng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. D. N. Thao, S. Katayama, and K. Tomizawa, Numerical simulation of THz radiation by
coherent LO phonons in GaAs p-i-n diodes under high electric fields, Journal of the
Physical Society of Japan 73, (2004), 3177 – 3181.
[2]. L. H. Linh, 3D simulation of carrier dynamics in GaAs p-i-n diodes by means of Monte
- Carlo method, Master Thesis, Hue University’s College of Education, 2009.
[3]. G. Klatt, B. Surrer, D. Stephan, O. Schubert, M. Fischer, J. Faist, A. Leitenstorfer, R.
Huber, and T. Dekorsy, Photo-Dember terahertz emitter excited with an Er: fiber laser,
Appl. Phys. Lett. 98, (2011), 021114 – 021114 - 3.
[4]. K. Tomizawa, Numerical simulation of submicron semiconductor devices, Artech
House, Boston London, 1993.
[5]. H. A. Vorst, Iterative Krylov methods for large linear systems, Cambridge University,
2003.
[6]. A. Greenbaum, Iterative methods for solving linear systems, SIAM, Philadelphia, 1997.
[7]. G. Speyer, D. Vasileska and S.M. Goodnick, Efficient Poisson equation solvers for
large scale 3D simulations, Technical Proceedings of the 2001 International
Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, Nanotech 2001, Vol. 1,
(2001), 23 - 26.
[8]. Shao-Liang Zhang, GPBi-CG: Generalized product-type methods based on Bi-CG for
solving nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Comput., Vol 18, No. 2, (1997), 537
- 551.