Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6
1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6
1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6
1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7
1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7
1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9
2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9
2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12
2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12
2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13
2.7 Phương trình Cauchy-Euler……………………………………………... 14
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
1

học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý
thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn
Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực
hiện bài luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời
cảm ơn đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Trần
Thị Thanh Thúy. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để
em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài
đến nội dung, hình thức. Và em cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời
gian qua.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù
bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn
nhiều thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý
báu từ các quý Thầy cô và các bạn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi
người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn
thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
Sinh viên thực
hiện.
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực
phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn.
Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân
như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số
đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay
nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
3

Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái
niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung
vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 3 chương như sau:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và
phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau.
Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp
Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn.
Chương 3: Các bài toán
Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được
trình bày trong chương 2.
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA
1.1 Định nghĩa 1
Chuỗi lũy thừa theo x − x
0
(hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x
0
) là chuỗi hàm có dạng:

( ) ( ) ( )

+−+−+=−
∑
∞
=

5
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
1.2 Khoảng hội tụ
Chuỗi (1.1)

luôn hội tụ tại
0
xx
=
.

Tập hợp tất cả các điểm
x

tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại
0
xx
=
. Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa
0
0
( )
n
n
n
a x x
∞
=
−

,
, hoặc
( )
0 0
, .x R x R
− +
Số
R
trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong
trường hợp (i) ta nói
0
=
R
, trường hợp (ii) ta nói
.R
= +∞
* Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau:
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
a
a
R
,
(1.3)

n

Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó.
Tính chất 1. Giả sử
0
( )
n
n
n
f x a x
∞
=
=
∑
và
0
( )
n
n
n
g x b x
∞
=
=
∑
. Khi đó
f(x) + g(x) =
0
( )
n

=
=
∑
với −R < x < R thì
f '(x) =
1
1
n
n
n
na x
∞
−
=
∑
= a
1
+ 2a
2
x + . . . với −R < x < R.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
6
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được:
f
(k)
(x) =
( )( ) ( )
.121
∑

( )
RxRx
+−
00
,
. Khi đó,
( )
xf
được gọi là khai triển
được thành chuỗi lũy thừa.
Hàm số
( )
xf
và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ?
Định lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này.
∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi

( ) ( ) ( ) ( )

+−+−+=−=
∑
∞
=
2
020100
0
xxaxxaaxxaxf
n
n
n

có đạo hàm mọi cấp tại
0
xx
=
thì chuỗi

( )
( )( )
∑
∞
=
−
0
00
!
n
n
n
n
xxxf
(1.6)
được gọi là chuỗi Taylor của
f
theo các lũy thừa của
( )
.
0
xx
−
∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor)

f x x x x x R x R
n
∞
=
= − ∈ − +
∑
□ Định nghĩa hàm giải tích
Một hàm số
( )
xf
là giải tích tại
0
xx
=

nếu
( )
xf
là tổng của chuỗi lũy thừa theo
các lũy thừa của
( )
0
xx
−
và chuỗi này có bán kính hội tụ
0
>
R
.
Nếu

1
2
42
xxee
xch
xx
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
7
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

+++=
−
=
−
!5!3
1
2
53
xxee
xsh
xx
( )
( )
....,
!2
1...
!4!2
1cos
242
Rx

−∈∀+−++−=+
−
x
n
xx
xx
n
n
( )
( ) ( ) ( )
( )
.1,1...,
!
1...1
...
!2
1
11
2
−∈∀+
+−−
++
−
++=+
xx
n
n
xxx
n
ααααα


là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn có
mặt trong phương trình.
Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình.
2.2 Phương trình vi phân cấp một
□ Định nghĩa 3
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

( )
0,,
=
′
yyxF
(1.8)
hay
( )
yxfy ,
=
′
(1.9)
∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Cho phương trình
( )
yxfy ,
=
′

Giả sử các hàm
( )
,, yxf

( )
00
xyy
=
.
□ Định nghĩa 4
Nghiệm của phương trình vi phân (1.9) là hàm
( )
xfy
=
thay vào thỏa (1.9).
Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm
( )
Cxy ,
ϕ
=
thỏa (1.9) với mọi hằng số
C
.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
8
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất
( )
0
,Cxy
ϕ
=
thỏa điều kiện ban đầu
( )

0
=
xf
thì (1.10) trở thành

( ) ( )
0
21
=+
′
+
′′
yxayxay
(1.11)
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10).
Nếu
( )
0
≠
xf
thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không
thuần nhất.
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
• Tìm một nghiệm riêng
( )
xy
1
.
• Tìm một nghiệm riêng
( )

◙ Chú ý Công thức cho nghiệm y
2
(x) được tìm từ phương pháp sau:
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:

( ) ( )
0
=+
′
+
′′
yxqyxpy

trên khoảng mở
I
mà trong đó các hàm
( )
xp
và
( )
xq
là các hàm số liên tục.
Giả sử ta đã biết nghiệm
( )
xy
1
của phương trình này.
Ta sẽ tìm nghiệm
( )
xy

( ) ( ) ( )
xyxvxy
12
=

Thay biểu thức
2
y
vào phương trình đã cho với
112
yvyvy
′
+
′
=
′
và
1112
2 yvyvyvy
′′
+
′′
+
′′
=
′′
.
Ta được:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
9

y
u p x u
y
 
′
′
+ + =
 ÷
 
.
Giải phương trình này ta nhận được
( )
Kdx
y
e
Cv
y
y
dxxp
+
∫
==
∫
−
2
11
2
.
Chọn
0,1

−
′
′′
−
′′
−=
và
( )
2121
2121
yyyy
yyyy
xq
′
−
′
′′′
−
′′′
=
.
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
• Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.11)
.
2211
yCyCy
+=
• Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.10) có dạng:
( ) ( )
xByxAyY


′ ′ ′ ′
+ =

• Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.10) có dạng:
.Yyy
+=
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi
2.6.1 Phương trình thuần nhất
*Dạng:

0
=+
′
+
′′
qyypy
(1.12)
trong đó, p, q là hằng số.
*Cách giải:
Giải phương trình đặc trưng:

0
2
=++
qpkk
(1.13)
* Nếu (1.13) có hai nghiệm thực phân biệt
21
,kk

.sincos
21
xCxCey
x
ββ
α
+=
2.6.2 Phương trình không thuần nhất
*Dạng:
( )
xfqyypy
=+
′
+
′′
(1.14)
trong đó, p, q là hằng số.
* Cách giải:
- Tìm nghiệm tổng quát
y
của phương trình thuần nhất tương ứng.
- Tìm một nghiệm riêng
Y
của (1.14)
a/ Trường hợp:
( ) ( )
xPexf
n
x
⋅=

1
+
n
hệ số được xác định bằng
phương pháp hệ số bất định.
(ii) Nếu
α
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm
riêng dạng:
( )
xQxeY
n
x
⋅=
α
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
11
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
với
( )
xQ
n
được xác định như trên.
(iii) Nếu
α
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.13) thì nghiệm riêng:
( )
xQexY
n
x

( )
xQ
m
là các đa thức bậc n và m;
βα
,
là các hằng số.
(i) Nếu
βα
i
±
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một
nghiệm riêng dạng:
( ) ( )
cos sin
x
r r
Y e A x x B x x
α
 
= × β + β
 
.
(ii) Nếu
βα
i
±
là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm
riêng:
( ) ( )

=+
′
+
′′
ybyxbyxb

(1.15)
trong đó,
012
,, bbb
là các hằng số.
■ Cách giải:
Đổi biến
0>=
t
ex
, (1.16)
Suy ra:
xt ln
=
(1.17)

dt
dy
dx
dy
x
=
(1.18)
và

(1.20)
là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số.
Giải (1.20) tìm được nghiệm
( )
tyy
=
Kết hợp (1.16) và (1.17), suy ra nghiệm
( )
xyy
=
của phương trình đã cho.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
12
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CHUỖI
1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA
Một số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản nhưng rất khó tìm nghiệm ở dạng
tổ hợp của các hàm số sơ cấp. Ví dụ như phương trình
02
=+
′
−
′′
yyxy
.
Phương trình này liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử và
một số phương trình vi phân khác nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý nên việc
giải các phương trình như dạng trên là rất quan trọng.
Vì vậy, cần thiết phải xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương

=
−
∞
=
−
−=
′′
=
′
2
2
1
1
1,
n
n
n
n
n
n
xnncxynxcxy
, . . . vào phương trình vi phân và từ đó xác
định giá trị của các hằng số

10
,cc
.
1.1 Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau.
▪ Ví dụ 1 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau:

với :
( )
,5432
4
5
3
4
2
321

+++++=
′
xcxcxcxccxy

( )
,201262
3
5
2
432

++++=
′′
xcxcxccxy
cũng hội tụ với mọi
x
.
Thế
yyy
′′′

Sắp xếp các số hạng theo cùng lũy thừa của
x
, ta được:
( ) ( ) ( )
023121262
2
023412312
=++−−+−−−+− xccccxccccc
.
Do một chuỗi bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của chuỗi đều bằng 0 nên
ta có:

⋅==−
2
,02
1
212
c
ccc

⋅
++
==−−−
6
12
,0126
12
3123
cc
cccc

1
,
2
1
432
ccc
Vậy, nghiệm chuỗi cần tìm là:
( )
.,
822
1
432
∞<<∞−+++++=
x
xxx
xxy 
▪ Ví dụ 2 Dùng chuỗi lũy thừa giải phương trình:
0
=+
′′
yy
.
Giả sử phương trình có nghiệm dạng:
y =
0
n
n
n
c x
∞

3
x + . . . =
2
2
( 1)
n
n
n
n n c x
∞
−
=
−
∑
.
Thay vào phương trình đã cho, ta có:
.030201262
4
4
3
3
2
210
4
6
3
5
2
432
=+++++++++++

,
2
1
4635241302
cccccccccc
−=−=−=−=−=
Ta thấy:
2
c
biểu diễn qua
0
c
,
3
c

biểu diễn qua
1
c
. Và
4
c
biểu diễn qua
2
c

nhưng
2
c
biểu diễn qua

120
1
0615
cccc
−==
Nếu ta thế các giá trị từ
0
c
đến
6
c
vào y =
0
n
n
n
c x
∞
=
∑
và đặt
0
c
,
1
c
làm nhân tử
chung ta được:
( )
.

◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm.
* Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát
cho các hệ số
n
c
. Công việc này được tiến hành như sau:
Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này ta sử dụng ký hiệu tổng
∑
""
và để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y' , y'' dễ dàng hơn, ta đặt n’ = n
– 2, nghĩa là n = n’ + 2. Ta được :
( )( )
∑
∞
=
′
′
+
′
+
′
+
′
=
′′
0
2
.12
n
n

2
12
n
n
n
xcnn
là như nhau. Nên
( )( )
∑
∞
=
+
++=
′′
0
2
12
n
n
n
xcnny
.
Kỹ thuật này rất quan trọng trong việc sử dụng phương pháp chuỗi.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
15
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Thay y, y' và y'' vào phương trình vi phân đã cho, ta được:
( )( )
[ ]
012

−=
+
nn
c
c
n
n
n = 0, 1, 2, 3, . . .
Nếu biết c
0
và c
1
thì các hệ số còn lại sẽ được xác định.
Với
.
2.1
,0
0
2
c
cn
−==
Với
.
3.2
,1
1
3
c
cn

c
cn
−=−=−==
Với
.
!77.6!.57.6
,5
11
5
7
ccc
cn
−=−=−==
Theo quy luật trên, ta có:
Với các hệ số chẵn:
( )
( )
.
!2
1
0
2
m
c
c
m
m
−=
Với các hệ số lẻ:
( )

( 1 −
2
2!
x
+
4
4!
x
−
6
6!
x
+ . . . +
2
( 1)
(2 )!
n
n
x
n
−
+ . . . )
+c
1
( x −
3 5 7 2 1
... ( 1) ...
3! 5! 7! (2 1)!
n
n

+
−
0
12
!12
1
n
n
n
n
x
, với c
0
và c
1
là hai hằng số tùy ý.
► Nhận xét
* Chúng ta nhận thấy hai chuỗi tìm được ở trên chính là các chuỗi Maclaurin của
xcos
và
xsin
. Do đó, nghiệm của phương trình là:
1 2
cos sin .y C x C x
= +
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
16
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
* Tuy nhiên, có một số trường hợp khó có thể biểu diễn các nghiệm dạng chuỗi luỹ
thừa của các phương trình vi phân dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết.

=
′
n
n
n
xncy

( ) ( )( )
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
++=−=
′′
0
2
2
2
.121
n
n
n
n
n
n
xcnnxcnny
Thế

c
n n
−
+ +
, n = 0, 1, 2, . . .
Với
.
2.1
,0
0
2
c
cn
−==
Với
.
3.2
,1
1
3
c
cn
==
Với
.
!4
3
4.3.2.1
3
4.3

6.5
7
,4
00
4
6
ccc
cn
−=−===

. . . . . . . . . . . . .
Tổng quát, các hệ số được cho bởi:
( )
( )
,
!2
54...11.7.3
02
c
n
n
c
n
−
−=
( )
( )
2 1 1
1.5.9.13... 4 3
2 1 !

!2
1
1
n
n
x
n
n
xcy
( )
( )
.
!12
34...9.5.1
1
12
1








+
−
+
∑
∞

số hạng trước nó.
* Số nguyên dương m là bậc của hệ thức truy hồi.
Ví dụ:
( )( )
21
2
++
−=
+
nn
c
c
n
n

là hệ thức truy hồi bậc hai.
* Không có phương pháp tổng quát để tìm hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, kỹ thuật đơn
giản thường làm là viết lại một cách khéo léo hệ thức truy hồi.
Điều này được minh hoạ qua các ví dụ sau:
* Hệ thức truy hồi
( )
,2,1
1
=−=
−
ncc
nn
có thể được viết lại dưới dạng:

( ) ( )

= −
* Hệ thức truy hồi
( )
,2,1
1
==
−
ncnc
nn
có thể được viết lại dưới dạng:
( )
1
!1!
−
−=
nn
cncn
, nên
( ) ( )
1 2 0
! 1 ! 2 ! .
n n n
n c n c n c c
− −
= − = − = =

Do đó, c
n
= c
0

, nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.!221!21!221
022
1
222
1
ccmcmcm
m
m
m
m
m
m
==−−=−=+−
−
−
+
+

Do đó,
( ) ( )
!2/1
02
mcc
m
m
−=
Nếu n là số lẻ, n = 2m +1, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là
( ) ( ) ( ) ( )

+
mcc
m
m
1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp
Để đơn giản ta trình bày phương pháp này cho các phương trình cấp hai. Các
phương trình cấp khác được trình bày tương tự.
* Xét phương trình

( )
yyxfy
′
=
′′
,,
(2.1)

( )
00
yxy
=
,
( )
00
yxy
′
=
′
(2.2)
trong đó, hàm số

0
xy
′′
chỉ việc cho
0
xx
=
,
0
yy
=
,
0
yy
′
=
′
vào (2.1) ta được

( ) ( )
0000
,, yyxfxy
′
=
′′
(2.3)
Tiếp theo để tìm
( )
0
xy

x y y y
y
∂
′ ′′
∂

(2.4)
rồi cho
0
xx
=
,
0
yy
=
,
0
yy
′
=
′
,
( )
00
xyyy
′′
=
′′
=
′′

∂
Tiếp tục quá trình đó ta lần lượt tìm được
( )
( )
0
xy
n
, với mọi
n
. Tiếp đến thiết
lập chuỗi Taylor rồi tìm khoảng hội tụ của nó. Cuối cùng là kiểm tra xem chuỗi đó có phải
là nghiệm hay không.
Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau:
▪ Ví dụ 4 Xét phương trình
xyy
=
′
,
( )
.10
=
y
Ta có ngay
( )
00
=
′
y
, dễ thấy rằng
( ) ( )

x
là:
( )
( )
( ) ( )( )
[ ]
( )
∑∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
−−
+==
0
2
0 1
2
!2!2
13212
1
!
0
k
k
k
n k

′
om
m
m
k
k
k
k
k
k
xxz
m
x
x
k
x
x
k
xk
xz
!2!12!2
2
2
1
1
12
1
12
Vậy
( )

nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi
x
.
Điều kiện ban đầu cho ta giá trị của nghiệm và đạo hàm tại
0
=
x
nên ta sẽ tìm
nghiệm dưới dạng chuỗi Maclaurin là:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )

++
′′′
+
′′
+
′
+=
4
4
32
!4
0
!3
0
!2
0

′′′
,
( )
( )
0
4
y
ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta được:
( )
121
2
=+
′
+
′
−
′′
+−
′′′
xyyxyyxy
.
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của phương trình này ta được:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
19
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( )
( )
02421
24
=+

y
.
Từ đó, ta được:
( )
,,
822
1
432
∞<<∞−+++++=
x
xxx
xxy 
là nghiệm chuỗi với năm số hạng đầu tiên thỏa yêu cầu bài toán.
◙ Chú ý
( ) ( ) ( )
xQxfxf ,,
10
trong ví dụ trên được trình bày trong định lý sau đây.
1.3 Điều kiện tồn tại nghệm dạng chuỗi
□ Định nghĩa điểm chính qui
Điểm
0
xx
=
được gọi là điểm chính qui ( điểm thông thường) của phương trình vi
phân tuyến tính

( )
( )
( )

( ) ( ) ( )
xQyxfyxfyxfy
n
n
n
=+
′
+++
−
−
01
1
1

Nếu mỗi hàm
( ) ( ) ( ) ( )
xQxfxfxf
n
,,,,
110
−

trong phương trình trên đều giải tích
tại
0
xx
=
thì phương trình trên luôn có nghiệm
( )
xy

Để dễ hình dung, phần sau đây nêu cách tìm nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai.
* Để tìm nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình

( ) ( ) ( )
0
012
=+
′
+
′′
yxayxayxa
(2.5)
quanh
0
0
=
x
, trong đó
( ) ( )
,,
12
xaxa
( )
xa
0
là các đa thức của
x
và
( )

dụng cho x
0
, nghĩa là ta sẽ dùng chuỗi
( )
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
xxcy
. Trong trường hợp này có hai
cách để làm:
Cách 1: Theo kỹ thuật trước, ta dùng chuỗi
( )
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
xxcy
để thay cho chuỗi
∑

0
=
X
, và
( ) ( )
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
xxcxy
sẽ trở thành
( )
∑
∞
=
=
0n
n
n
XcXy
. Sau đó, ta làm theo
tiến trình ở trên.
▪ Ví dụ 6 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau đây:
,0,0
11

3
3
2
210

+−+−+−+−+=
xcxcxcxccxy
với các đạo hàm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,15141312
4
5
3
4
2
321

+−+−+−+−+=
′
xcxcxcxccxy

( ) ( ) ( ) ( )
,120112162
3
5
2
432

+−+−+−+=

[ ]

+−+−+−++
3
4
2
321
141312 xcxcxccx

( ) ( )
[ ]
.011
2
210
=+−+−+−
xcxcc
Ta cần biểu diễn
2
x
và
x
theo các lũy thừa của
( )
1
−
x
. Ta có:

( )
,11

cc
c
−
=

( )
,212
24
1
234
ccc
−−=

( )
.948
60
1
2345
cccc
−−−=
Ta có:
( ) ( ) ( )
.21,1,1
210
cycycy
=
′′
=
′
=

8
1
6
1
2
1
1
5432
<<+
−
+
−
−
−
+
−
+=
x
xxxx
xy 
1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc
biệt
1.5.1 Phương trình Airy
Phương trình Airy là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có dạng:
( ) ( )
0
=+
′
+
′′

2
2
2
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
++=−=
′′
n
n
n
n
n
n
xcnnxcnny
Thế
yy
′′
,
vào phương trình đã cho, ta được:
( )( )
( )( )
.012
.012
0
1

n
xcxcnn
xcxxcnn
Đặt
1
−=
mn
, thế
1
−=
mn
vào chuỗi thứ hai, sau đó thay
m
bằng
n
, ta được:
( )( )
.012
1
1
0
2
=−++
∑∑
∞
=
−
∞
=
+

=
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
xccnnc
xcxcnnc
Theo phương pháp hệ số bất định, hai chuỗi số muốn bằng nhau thì từng hệ số
tương ứng phải bằng nhau. Do đó, ta được:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
22
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( ) ( )
( ) ( )


,3,2,1,
12
0
,3,2,1,012
02
1
2
2

Ta tính một vài hệ số đầu:
3.2
0
3
c
c
=
,
4.3
1
4
c
c
=
,
0
5.4
2
5
==
c
c
,
( )( )
6.53.26.5
03
6
cc
c
==

3.136.53.2
1
03
=
−
=
mc
mm
c
m

( )( ) ( ) ( )( )


3,2,1,
13.37.64.3
1
113
=
+
=
+
mc
mm
c
m

,3,2,1,0,0
23
==







−
+=
∑∑
∞
=
+
∞
=
m
m
m
m
mm
x
xc
mm
x
cxy

▪ Ví dụ 8 Tìm nghiệm chuỗi lũy thừa quanh
1
=
x
của phương trình sau:

của phương trình:

.022
2
2
=+− y
dX
dy
X
dX
yd
(2.7)
Thế
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

∞
=
+
∞
=
−
∞
=
vào phương trình (2.7), ta được:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
23
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

( )( )
XXnnc
n
n
n
212
0
2
−++
∑
∞
=
+
( )
21
0
1

Xnnc 12
0
2
( )
++
+
∞
=
+
∑
1
0
1
12
n
n
n
Xnc
.02
0
=
∑
∞
=
n
n
n
Xc

hay:

n
n
Xc( )( )
−+++⇔
∑
∞
=
+
n
n
n
Xnncc 122
1
22
22
1
+
∑
∞
=
n
n
n
nXc
.02
1
0

−
=
−=
+
,3,2,1,
12
12
2
02
nc
nn
n
c
cc
nn
Ta được hệ thức truy hồi:
( )
( )( )
,3,2,1,0,
12
12
2
=
++
−
=
+
nc
nn
n

1
11
1
642
0
−+






+−−−−−−=
xcxxxcxy 
1.5.2 Phương trình Legendre
Phần này chúng ta sẽ xét một phương trình quan trọng xuất hiện trong nhiều bài
toán vật lý, đó là phương trình Legendre.
* Phương trình Legendre là phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính cấp
hai:
( )
( )
2
1 2 1 0x y xy l l y
′′ ′
− − + + =

với tham số l là một số thực.
Các nghiệm của phương trình này được gọi là các hàm Legendre. Đây là những
hàm số mới, những hàm đặc biệt, khác với các hàm ta thường gặp như sin, cos, logarit. . .
Các hệ số của phương trình Legendre là giải tích tại x = 0 và (1- x

Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
24
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.01211
.01211
00 00
2
00
1
0
22
=++−−−−⇔
=++−−−
∑∑ ∑∑
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞

00 02
2
=++−−−−⇔
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xcllxncxnncxnnc
( )( ) ( ) ( )
.012112
00 00
2

2
=+++−++
∑
∞
=
+
n
n
nnn
xcllcnncnn
Từ đó, ta được:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
[ ]
( )
( )( )


,2,1,0,
21
1
,
12
11
,2,1,0,01112
2
2
=

−=
( )( )
( )
( )
[ ]
( )( )
[ ]
.
4.3.2.1
312
1
4.3
32
0
2
24
c
llll
c
ll
c
++−
−=
+−
−=

( )
( ) ( )
[ ]
( )( ) ( )

1
112
=
+
+++−−+−
−=
+
mc
m
mlllllml
c
m
m
Vậy nghiệm phương trình Legendre:
y(x) = c
0
y
1
(x) + c
1
y
2
(x)
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )
( )









−+++⋅−+−
−+=
+
∞
=
∞
=
∑
∑
m
m
m
m
m
m
x
m
nlllllml
xc
x
m
mlllllml

Khi đó, các đạo hàm
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
25
( )( )
( )
( )( )
[ ]
( )( )( )
[ ]
.
6.5.4.3.2.1
53124
1
6.5
54
0
3
46
c
llllll
c
ll
c
+++−−
−=
+−
−=