Bài Giảng Môn Trắc Đạc Bùi Quang Tuyến:

23 CHƯƠNG II:
KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ ĐO ĐẠC I. CÁC DẠNG ĐO VÀ SAI SỐ:
I.1. Khái nệm sai số:
Muốn biết giá trị một đại lượng nào đó như chiều dài một đoạn thẳng hay độ lớn của một
góc, phải tiến hành đo. Đo chính là quá trình so sánh đại lượng cần đo với đại lượng cùng loại
được chọn làm đơn vị. Giá trị của đại lượng là bội số của đơn vị đo. Trong thực tế có khi không
thể hay không tiện so sánh trực tiế
p đại lượng cần đo với đơn vị cùng loại được, khi đó người ta
đo trực tiếp các đại lượng có liên quan rồi tính đại lượng cần tìm.
Nếu một đại lượng nào đó được một người đo nhiều lần bằng cùng một máy, một phương
pháp và cùng một điều kiện ngoại cảnh như nhau, thì kết quả thu được trong các lần đo có mức độ
tin cậy như nhau, phép đo như vậy gọi là phép đo cùng độ chính xác. Nếu một đại lượng nào đó
được đo nhiều lần bằng những điều kiện khác nhau (khác máy, khác phương pháp, khác người đo
.v.v.), thì những phép đo này gọi là phép đo không cùng độ chính xác.
I.2. Các dạng đo và sai số của nó:
a) Đo trực tiếp: là phép đo cho ngay giá trị bằng số của đại lượng cần đo. Đo chiều dài một
đoạn thẳng bằng thước thép, đo góc bằng máy kinh vĩ, đo góc phương từ bằng địa bàn, đo chênh
cao bằng máy bình chuẩn, mà ta có nhịp nói đến ở những chương sau đều là những phép đo trực
tiếp.
Kết quả mỗi lần đo một đại lượng chỉ là giá trị gầ
n đúng của nó. Độ lệch giữa giá trị đo
được và giá trị đúng của chính đại lượng đó. Nếu gọi X là giá trị thực (giá trị đúng) và l là giá trị

đến độ chính xác của kết quả đo.

Bài Giảng Môn Trắc Đạc Bùi Quang Tuyến:

24 II.2. Phân loại sai số:
Có thể phân loại sai số theo nguyên nhân và tính chất của sai số. Trong thực tế không thể
tách được sai số theo từng nguyên nhân sinh ra sai số. Vì thế chỉ nên phân loại theo tính chất của
sai số.
a)
Sai số thô: Sai số này chủ yếu là do sự nhầm lẫn hay do thiếu thận trọng lúc đo hay lúc
tính kết quả đo sinh ra. Sai số thô thường có kết quả rất lớn và rất dể phát hiện nếu tiến hành đo
hay tính kiểm tra.
b)
Sai số hệ thống: Sai số này sinh ra do những nguyên nhân xác định về trị số cũng như về
dấu. Sai số hệ thống thường đo máy móc, dụng cụ đo gây ra. Ví dụ khi dùng thước thép có chiều
dài ngắn hơn so với thước tiêu chuẩn 1cm để đo một đoạn thẳng thì cứ mỗi lần đặt thước sẽ phạm
phải sai số là -1cm. Như vậy, nếu phải đặt thước 5 lần mớ
i hết chiều dài đoạn đo thì kết quả nhận
được của phép đo này có sai số là
5 . (-1cm) = -5
cm
Sai số hệ thống cũng có thể do nhiệt độ thay đổi gây nên như trường hợp kiểm nghiệm
thước ở nhiệt độ 20
0
C nhưng khi đo thực tế nhiệt độ là 25
0
C. Ở nhiệt độ 25

1. Về trị số tuyệt đối, sai số ngẫu nhiên không vượt quá một giới hạn nhất định. Giới hạn
này phụ thuộc vào điều kiện đo và phương pháp đo.

2. Những sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ thường xuất hiện nhiều hơn những sai số
ngẫu nhiên có trị tuyệt đối lớn.

3. Những sai số ngẫu nhiên có dấu dương và sai số ngẫu nhiên có dấu âm thường xuất hiện
với số lần và độ lớn như nhau khi số lần đo khá lớn.

4. Số trung bình cộng của sai số ngẫu nhiên sẽ tiến đến "0" khi số lần đo tăng lên vô hạn.
Tính chất thứ tư là kết quả của 3 tính chất đầu và có thể viết dưới dạng biểu thức

[]
0
lim
=
Δ
∞→
n
n

Trong sai số thường dùng dấu tổng trị số là [ ] thay thế dấu ∑. III. CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC KẾT QUẢ ĐO TRỰC TIẾP:

Bài Giảng Môn Trắc Đạc Bùi Quang Tuyến:

25
Trong trắc địa một đại lượng thường được đo nhiều lần. Mỗi lần đo cho một kết quả và

2
2
2
1
2
Δ++Δ+Δ
=

hay là

[
]
n
m
2
2
Δ
=

Do đó

[]
n
m
2
Δ
=
(3.3)
Sai số trung phương cũng như sai số trung bình đều là sai số đại diện cho mỗi lần đo. Thực
tế, trong một dãi đo thì kết quả đo thứ nhất có sai số


Δ
1
= +4mm; Δ
3
= +3mm; Δ
5
= -3mm; Δ
7
= +1mm;

Δ
2
= -1mm; Δ
4
= +2mm; Δ
6
= -1mm; Δ
8
= +2mm;
Theo công thức 3.2 và 3.3 ta tính được

mm1.2
8
17
8
21132314
==
+
+


2
6
12
6
211332
2
6
12
6
016131
B
A
==
+++++
=θ
==
+
+
+
+
+
=θ

- Tính sai số trung phương theo công thức 3.3

16.2
6
28
6

đo theo công thức 3.3 và làm thống kê sẽ thấy:
Có 320 sai số đo có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1m;
50 2m;
3 3m;
Như vậy các trường hợp có sai số đo có trị tuyệt đối lớn hơn 3 lầ
n sai số trung phương là
rất hạn hữu. Bởi thế, trong trắc địa người ta qui định lấy 3 sai số trung phương (3m) làm sai số
giới hạn cho dãy đo có cùng điều kiện và gọi là sai số giới hạn hay là sai số cho phép và ký hiệu
là:

Δ
gh
= 3m
III.4. Sai số tương đối:
Sai số trung bình và sai số trung phương còn gọi là sai số tuyệt đối vì nó thể hiện trị tuyệt
đối của đại lượng sai. Nhiều trường hợp cho thấy sai số tuyệt đối chưa đủ để nói lên mức độ chính
xác của kết quả đo như trường hợp một nhóm đo một chiều dài 1km có sai số trung phương là
m1.0± còn một nhóm khác đo một đoạn thẳng 100m có sai số trung phương là m05.0± rõ ràng
trong trường hợp này không thể dùng ngay sai số trung phương để so sánh chất lượng đo của 2
nhóm được mà phải chú ý đến độ lớn của đại lượng đo. Nếu lập tỷ số m/x, trong đó x là giá trị của
đại lượng đo, cụ thể là: đối với nhóm đầu có
10000
1
0.1000
1.0
=
còn đối với nhóm sau là
2000
1
00.100


21
xxZ ±= (3.7)
trong đó x
1
, x
2
là hai đại lượng đo trực tiếp có sai số trung phương tương ứng là m
1
và m
2
.
Sai số trung phương m
Z
của hàm 3.7 sẽ được tính theo công thức
m
Z
2
= m
1
2
+ m
2
2
(3.8)
Nếu m
1
= m
2
thì 3.8 sẽ thành

là những đại lượng đo trực tiếp có sai số
trung phương tương ứng là m
1
, m
2
, , m
n
.
Sai số trung phương m
Z
của công thức 3.10 sẽ được tính theo công thức
m
1
2
= (k
1
m
1
)
2
+ (k
2
m
2
)
2
+ + (k
n
m
n

n
n
2
2
2
2
1
1
2
Z
m
x
f
m
x
f
m
x
f
m
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
∂

f
∂
∂
là các đạo hàm riêng của hàm 3.12 theo từng biến x
i
, đóng vai trò các hằng số k
i

trong công thức 3.11.

VÍ DỤ 2.3: Đo bán kính của một vòng tròn được 45,3cm
±
0,4cm. Tính chu vi vòng tròn,
sai số trung phương và sai số tương đối của chu vi đó.

GIẢI : Chu vi vòng tròn được tính theo công thức
L = 2
π r
Thay số vào sẽ được:
L = 2 . 3,14 . 45,3 cm = 284,48 cm.
Chu vi L = 2
π r có dạng hàm số 3.5 nên theo công thức 3.6, trường hợp này sẽ là
m
L
= 2 π m
r

Theo đầu bài thì m
r
= 0,4 nên

ràng là chưa thể khẳng định giá trị nào là đúng hơn cả. Do đó vấn đề ở đây là cần tìm trong n kết
quả đo l
i
một giá trị có thể xem là đáng tin cậy hơn cả, nghĩa là giá trị tìm được phải có sai số
trung phương nhỏ nhất.
V.1. Trị trung bình cộng:
Từ n kết quả đo l
i
có thể nhận được

[
]
n
l
n
l ll
x
n21
=
+
+
+
=

Như vậy x là số trung bình cộng tính từ kết quả đo của đại lượng cần tìm.
V.2. Sai số trung phương của số trung bình cộng:
Số trung bình cộng của x có thể viết dưới dạng

n21
l

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=

ở đây các kết quả đo l
i
nhận được trong những điều kiện đo giống nhau nên có sai số đại diện
giống nhau, nghĩa là
m
1
= m
2

V.4. Công thức tính sai số trung phương trong trường hợp dùng trị trung bình x thay giá
trị thực X của đại lượng cần đo:
Trong trường hợp không biết giá trị thực X của đại lượng đo thì không thể tính được sai số
theo 3.1, do đó không thể tính được sai số trung phương m theo công thức 3.3, nhưng luôn luôn
tìm được các hiệu
l
i
- x = v
i
(3.15)
Vì x còn được gọi là trị xác suất nhất và 3.15 có dạng giống như 3.1 nên v tính theo 3.15
được gọi là sai số xác suất nhất. Sai số xác suất v ngoài các tính chất giống sai số thực
Δ còn có
tính chất đặc biệt là [v] = 0 với bất kỳ số lần đo n bằng bao nhiêu.
Trong lý thuyết sai số người ta đã chứng minh được là có thể dùng sai số xác suất nhất v để
tính sai số trung phương m. Khi đó công thức sẽ là

[]
1
2
−
=
n
v
m
(3.16)
trong đó n là số lần đo.

VÍ DỤ 2.4: Đo cạnh AB tất cả 5 lần được kết quả là 48,39m; 48,35m; 48,40m; 48,37m;
48,39m. Tính giá trị trung bình cộng chiều dài cạnh AB và sai số trung phương của nó.

48,37

48,39

241,90
+1

-3

+2

-1

+1

0
1

9

4

1

1

16

[
]