Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Chơng III :
sóng âm trong chất Lu

Sóng âm (âm) là sóng cơ có biên độ nhỏ mà thính giác có thể nhận biết đợc. Ví dụ sóng phát ra
từ một nhánh âm thoa, một dây đàn, một mặt trống. Những dao động âm có tần số dao động
khoảng 20Hz đến 20000Hz. Những dao động có tần số dới 20Hz gọi là hạ âm, trên 20000Hz gọi
là siêu âm. Nh vậy, dải sóng âm nghe đợc có bớc sóng từ 20m đến 2cm (Hình 1).
Về phơng diện vật lý các âm nghe đợc hay không nghe đợc không có gì khác nhau về bản
chất. Chúng chỉ khác nhau về phơng diện sinh lý, thích hợp hay không thích hợp đối với tai ta. 20Hz 20000Hz Nghe dợc
Siêu âm
Hạ âm

H
ình 1:

Đ1. Phơng trình lan truyền sóng âm :
1) Âm thanh và sự lan truyền của sóng âm:
a) Thí nghiệm :
Một chiếc loa nối với một máy phát tần số thấp (GBF), phát ra một âm thanh nghe đợc. Để phân
tích hiện tợng truyền âm, ta dùng thêm micro và quan sát tín hiệu âm phát ra từ máy phát và thu
đợc từ micro nhờ một dao động ký. (Hình 2).
b) Hiện tợng lan truyền :
Micro
Loa

=

với
là vận tốc truyền sóng.
S
c

56
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Khi thực hiện thí nghiệm nói trên, nếu thay đổi tần số của tín hiệu điện gởi vào loa, lặp lại thao
tác trên đây nhiều lần và thực hiện các phép đo, ta thấy rằng tỷ số
T

của sóng âm bằng hằng số:
340 /
S
cms
T

=
S
c. biểu thị vận tốc của sóng âm trong không khí.
d) Môi trờng lan truyền :
Khi dùng tần số khá nhỏ, ta có thể quan sát đợc các dao động của màn loa (dao động điện đã
biến thành dao động cơ). Với những tần số nghe đợc, hiện tợng cũng tơng tự.
Chuyển động của màn loa gây ra những dao động nhỏ của không khí. Các môi trờng vật chất
nh không khí, các chất khí có tính đàn hồi. Chuyển động của màn loa làm lớp không khí lân cận
bị nén lại, áp suất của lớp không khí này tăng lên chút ít, và đến lợt mình, nó đẩy lớp không khí
lân cận chuyển động , tạo nên sóng âm. Nh vậy, có sự liên kết giữa vận tốc và áp suất d trong



+







(2)
(Giả sử bỏ qua độ nhớt của chất lu;
V
f

là lực thể tích của chất lu ở trạng thái tĩnh, ví dụ lực
trọng trờng :
V
f g

=


).
Biểu thức cân bằng năng lợng (nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học):
dU Q W


=+
(3)

à

<
<

0
p
PP= : độ biến thiên áp suất (p gọi là áp suất d âm học)
0
p
P<<

Sử dụng hệ số nén đẳng entropi :
1
S
S
V
VP



=



với :
M
V

=


à


Nh vậy:
0 S
p
à

=
(5)
c) Tuyến tính hóa các phơng trình :
Sự thay đổi trạng thái của chất lu do sóng âm gây ra là những nhiễu loạn nhỏ
Có thể tuyến
tính hóa các phơng trình nói trên (phép gần đúng âm học).
Phơng trình bảo toàn khối lợng :

div( v) = 0
t



+



(v) + vgrad 0div
t








Ngời ta chứng minh đợc rằng, khi biên độ dao động của một phần tử chất lu << bớc sóng của
sóng âm hay khi
thì
S
|v| << c
v . grad
t
à
à

<<



.
Mặt khác, do
0
||
à

<<
0
(v) << (v) div div
à





+








Lực thể tích
đợc bù trừ bởi gradient của áp suất P
V
f

0
của chất lu ở trạng thái tĩnh.
Mặt khác:
0
vv
tt






Và với giả thiết


(
5
) Ghi chú : div( v) = div(v) +vgrad





(
6
) Ghi chú :
vv
vvv
vv
(v.grad)v v v v
vvv
xx
xyz
yy
xyz
zz
xyz
v
v
x
y
z
x
yz

0
(v) = 0div
t
à


+


(phơng trình bảo toàn khối lợng) (8)
0
v
= - gradp
t





(phơng trình Euler) (9)
0 S
p
à

=
(giả thiết biến thiên đẳng entropi) (10)
d) Các phơng trình liên kết :
Khử biến à trong ba phơng trình (8), (9), (10) Hệ phơng trình liên kết vận tốc
v



(11)

Trờng hợp sóng âm phẳng lan truyền theo phơng của trục (Ox), phơng trình liên kết có
dạng :

0
1v
(a)

v1
= - (b)
S
p
tx
p
tx




=










(
S
xem nh hằng số)

2
2
v
div =
S
p
t
t









(a)
Từ (11b) suy ra :
0
v1
div = - div(gradp )
t




(13)
Với :
S
0
1
c=
S



Trong đó :
là toán tử Laplace :
div( )pgrad= p




Phơng trình lan truyền của vận tốc :
ắ Để đơn giản, sẽ suy luận cho trờng hợp sóng lan truyền theo một chiều, ví dụ theo
phơng Ox:

59
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
ắ Từ (12) suy ra :
2
2
00 0
v1 1 1 1v
S

22
222
v1 v
0
S
xct



=
(14) Với :
S
0
1
c=
S



ắ Tổng quát hoá cho trờng hợp sóng âm lan truyền theo ba chiều :
2
22
1v
v
S
ct

0



S
xct


=




Ngời ta cũng chứng minh đợc rằng nghiệm tổng quát của phơng trình truyền sóng Đalămbe
có dạng:

v( , ) ( ) ( ) .
x
SS
xx
x
tft gt
cc

=++



e


(16a)

0

gt
c
+
mô tả một sóng phẳng chạy theo phơng Ox theo chiều x giảm với vận tốc lan truyền
.
S
c

Vectơ vận tốc và dịch chuyển của một phần tử chất lu song song với phơng truyền sóng
sóng âm là sóng dọc.
b) Sóng phẳng chạy đơn sắc - Hệ thức tán xạ:
Xét một sóng phẳng chạy đơn sắc, tần số góc

, vectơ sóng
.
x
kke=


(Giá trị k=2/ còn gọi là
số sóng).
Trờng vận tốc
và áp suất d p mô tả dới dạng phức nh sau :
v

()
0
()
0
v v






=


=




Phơng trình lan truyền theo một chiều ứng với áp suất d p :
22
222
1
0
S
pp
xct


=

trở thành:
2
2
2
()0

Có thể xác định đợc vận tốc truyền âm trong chất khí bằng cách xem nh chất khí là khí lý
tởng. Đối với biến thiên đẳng entropie, ta có :
.P A const



==

111
. .
PP
AP P







== ==
0
11
.
S
S
PP


-1
), trong điều kiện áp suất thông thờng và xem nh là một khí
lý tởng lỡng nguyên tử (
7/5

=
), ta có : 331 /
S
cms
=
ở nhiệt độ T
0
= 273K (0C). Giá trị
này phù hợp với thực nghiệm.
Vận tốc âm tăng khi nhiệt độ của khí tăng Sóng âm lan truyền trong không khí 25
0
C (T
0
=
298
0
K) có vận tốc lớn hơn vận tốc ở nhiệt độ T346 /
S
cm= s
s
0
= 273K (0C).
Vận tốc âm tăng, khi khối lợng mol của khí mà nó lan truyền giảm xuống. Đối với khí H
2
(M =

một vật rắn đồng chất và đẳng hớng. Bớc sóng rất lớn so với khoảng cách giữa các nguyên tử.
Vận tốc lan truyền sóng âm trong chất rắn :
2
S
Ka
c
M
=
Vận tốc sóng âm trong chất rắn thờng lớn hơn trong chất lỏng.

Đ2. Năng lợng sóng âm :
Khi một phần tử của môi trờng thực hiện dao động, nó nhận đợc năng lợng từ nguồn sóng.
Khi dao động đợc truyền đi tạo thành sóng, thì năng lợng này đợc truyền đi trong môi trờng.
Chúng ta hãy tìm biểu thức của năng lợng sóng.
1) Mật độ khối của năng lợng:
Mật độ khối của năng lợng sóng âm là phần năng lợng chứa trong một đơn vị thể tích của môi
trờng. Mật độ khối của năng lợng sóng âm bao gồm mật độ khối của động năng
K
e
và mật độ
khối của thế năng
:
P
e
SK
eee
P
=
+
a) Mật độ khối của động năng :

e

=

b) Mật độ khối của thế năng :
Sự dịch chuyển của chất lu kèm theo một biến thiên nhỏ của
khối lợng riêng do tác dụng của áp suất d. Cách tính thế năng
tích lũy trong một đơn vị thể tích chất lu, tơng tự nh cách tính
thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo.
1
V

=
00
p
pp+
0
p


Xét một đơn vị khối lợng chất lu ( có thể tích
1
V

=
).
H
ình 3:
Thế năng biến dạng tích lũy trong một đơn vị khối lợng chất lu
khi áp suất d thay đổi từ 0 đến p, bằng và ngợc dấu với công cung

p
à

= )

2
0
00
1
2
SS
PM
eP

p p


=+
Đối với các dao động, giá trị trung bình của số hạng thứ nhất
0
0
S
Pp


bằng 0.
Thế năng tơng ứng với một đơn vị khối lợng chất lu (có thể tích
1
V



H
ình 4:


@ Tóm lại : Mật độ khối của năng lợng sóng âm
:

22
0
11
v
22
SKP S
eee p

=+= +

2) Biểu thức cân bằng năng lợng :
Gọi E
S
là năng lợng sóng âm chứa trong thể tích V cố định của
chất lu vào thời điểm t (V đợc giới hạn bởi bề mặt S - Hình 4). d

là một phân tố thể tích của chất lu nằm tại điểm M. dS là một phân
tố diện tích của bề mặt S nằm tại điểm N.
Ta có :
(,)
SS
V


=+=




62
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Suy ra :
(M,t)
VV
= (M,t) d div (pv) d
SS
dE e
dt t



=




áp dụng định lý Green-Ostrogradski, cuối cùng suy đợc :
(M,t) (N,t)
VV
(M,t) d = div (pv) d = - (pv) .



Ta có :
S
dE
P
dt
=
là độ giảm của năng lợng E
S
của sóng âm chứa trong thể tích V trong một
đơn vị thời gian. P chính là công suất truyền qua bề mặt S (năng lợng truyền qua bề mặt S trong
một đơn vị thời gian).
Thông lợng của vectơ qua bề mặt S giới hạn thể tích V bằng : và nh vậy
bằng công suất P đi qua bề mặt S. Vectơ
pv=


(N,t)
S
(pv) .dS



pv

=


gọi là vectơ mật độ năng thông. chính là

Với sóng phẳng chạy đơn sắc :
00
1
v = v
2
I
pp=

Mặt khác:
00
p = v
S
c
0

, suy ra :
2
2
0
00
0
p
11
v
22
S
S
Ic
c


tần số 1500 Hz); Động cơ phản lực cách 50m : 130 dB.
63
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Đ3. Phản xạ và truyền qua của các sóng âm :
Xét sóng phẳng chạy lan truyền trong các ống
dẫn có tiết diện bằng hằng số.
1) Điều kiện biên (Hình 5) :
Xét sự phản xạ của sóng phẳng chạy trên mặt
phân cách của hai môi trờng chất lu.
Giả sử sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân
cách môi trờng (1) (khối lợng riêng

1
, vận
tốc truyền sóng c
1
) và môi trờng (2) (khối
lợng riêng
2
, vận tốc truyền sóng c
2

x
x
xt f xt g xt f t g t
cc

=+=++






và :
[]
11111 111 1
11
p(,) (,) (,)
x
x
xt c f xt g xt c f t g t
cc




==+








2) Tính liên tục của vận tốc (Hình 6) :
Trên bề mặt phân cách, dịch chuyển, vận tốc của chất lu vuông góc với bề mặt và là nh nhau:

1x 0 2x 0
v( ,) v( ,)
x
tx= t

10 10 20
(,) (,) (,)
f
xt gxt fxt+=
H
ình 5:
(

g
M
H
ình 7:
(
)
11
1( , )c

(
)
22
2( , )c

x
x
0
x
10
(,).
p
xtS
20
(,).
p
xtS
H
ình 6:
()
11

]
10 20
() ( ,) ( ,)
M
at S p x t p x t=

Do gia tốc chuyển động a(t) của lớp chất lu gần nh hữu hạn
Khi M tiến đến 0, ta có :

64
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

10 20
(,) (,)pxt pxt=


[]
11 1 0 1 0 2 2 2 0
(,) (,) (,)cfxt gxt cfxt

=

Biểu thức
cho thấy áp suất là liên tục trên bề mặt phân cách.
10 20
(,) (,)pxt pxt=
4) Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của sóng âm :
Hệ số phản xạ : Tỉ số giữa biên độ (hoặc năng lợng) của sóng phản xạ và biên độ (hoặc năng
lợng) của sóng tới xét trên bề mặt phân cách.
Hệ số truyền qua: Tỉ số giữa biên độ (hoặc năng lợng) của sóng truyền qua và biên độ (hoặc

=+ =

11 2 2
10 20
11
1
(,) (,)
2
cc
gxt fxt
c




=



Từ đó suy đợc hệ số phản xạ (theo biên độ) của vận tốc và của áp suất d :
00
1111
11122 1
12( v) 12(p)
00
11 2 2
1111

() ()
2
.
() ()
xx
ft cft
ccc cc
xx
cc c c
ft cft
cc







== = =
+


Các đại lợng
11
1C
c
Z
S

=







Trong đó :

là vectơ mật độ năng thông của sóng tơng ứng.

22
11 toi 11 1 0
v(
toi
cc,)
f
xt

= =

2
11 1 0
(,)
phanxa
cg x t

=

2
22 2 0

cc



=
=
+

ắ Ghi chú :
o Đối với mặt phân cách chất lỏng - chất khí : R
1 và T << 1. Sự truyền qua của sóng âm giữa
chất lỏng và chất khí là rất kém hiệu quả. Ví dụ, một ngời đang lặn nghe rõ tiếng cánh quạt của

65
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
chiếc xuồng máy đang quay trong nớc, trong khi đó một ngời đứng trên bờ khó nghe hơn
nhiều.
o Đối với mặt phân cách chất rắn - chất khí : sự phản xạ gần nh hoàn toàn. Sự phản xạ có thể
giảm rất mạnh nếu nh dùng một chất rắn rất mềm và rất nhẹ nh chất bần, chất mút.
Có thể tạo nên một bức tờng cách âm tốt bằng cách xếp tiếp nối nhau một vật liệu nặng và cứng
nh bê tông với một vật liệu nhẹ và mềm nh bần, pôlime xốp (không khí bị giam trong lòng
các vật liệu này).
o Để thấy rõ hiệu quả của sóng âm khi truyền qua các mặt phân cách, có thể thực hiện thí
nghiệm sau đây :
+ Cầm một âm thoa trong không khí, âm thoa đợc kích thích bởi một va chạm ban đầu, ta rất
khó nghe âm thanh do âm thoa phát ra. Nh vậy, sự truyền qua của sóng âm giữa một chất rắn và
một chất khí là rất kém hiệu quả.
+ Nếu âm thoa đợc nối với một hộp cộng hởng, âm nghe đợc hoàn toàn rõ, các dao động của
nó đợc truyền cho hộp cộng hởng và hộp lại truyền cho không khí. Nh vậy, sự truyền qua của
sóng âm giữa hai chất rắn là có hiệu quả.