Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng PHệN II :

DAO ĩNG VAè SOẽNG C 32
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

2
(
d
dt

0
)


= (1)
thì khi đó hệ sẽ thực hiện một dao động điều hòa, có tần số góc
0

.
Phơng trình dao động có dạng:
00
() cos( )
m
tt


=
++

Hệ nói trên đợc gọi là một dao động tử điều hoà.
b) Dao động tử cơ học có phục hồi tuyến tính :
Xét một vật có khối lợng M, gắn vào một lò xo có độ cứng K (bỏ qua khối lợng của lò xo),
trợt không ma sát dọc theo một thanh nằm ngang. Vị trí cân bằng ứng với độ dài của lò xo là a
0
,

a

x
x
Hình 1
c) Dao động tử điện học:
Hãy xét sự tơng đồng giữa một con lắc lò xo và một mạch điện LC nối tiếp.
Cho mạch điện nh hình vẽ, gồm tụ điện có điện dung C, cuộn dây có hệ số tự cảm L, q là điện
tích trên hai bản tụ điện (Hình 2).
áp dụng định luật bảo toàn năng lợng để viết phơng trình vi phân mô tả sự biến thiên của q:
W
C
+ W
L
= W = hằng số

33
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Trong đó:
2
1

0
q
qLqq
C
+
=


với:
dq
iq
dt
==


Vậy:
với:
2
0
0qq+ =

0
1
LC
=
Nh vậy, q biến thiên điều hòa với tần số góc:
0
1
LC
=

Hình 3
x
KK
x
KK
O
Liên kết
Dao tử 2
Dao tử 1
x
x
0
a
0
b
0
a
x
1

2

1
F

1
f

2
F


là dịch chuyển của vật (1) và (2) so với vị trí cân bằng của chúng.
Vật (1) chịu tác động của các lực:
11x
FKe

=


(Do lò xo (1) tác động)
và:
[
]
121x
f
ke

=


(Do lò xo (3) tác động)
Vật (2) chịu tác động của các lực:

34
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
22x
FKe

=


b) Nghiệm của phơng trình chuyển động:
Dùng phơng pháp đổi biến số:
u
12


=+
và
12
v


=


Suy ra:
1
v
2
u

+
=
và
2
v
2
u



=+


=+


Tần số góc
1

và
2

bằng :
1
K
M

=
;
2
2Kk
M

+
=

H
ì
nh 5
Suy ra:





=+++




=+


+

Khi biết vị trí và vận tốc ban đầu của hai vật:
1
(0)

;
2
(0)

;
1
(0)
d
dt

;
2

=
=

+
hệ sẽ dao động với tần số góc
1

. Khi đó, ta nhận đợc dạng dao động riêng ứng với tần số góc
1

. Dịch chuyển của hai vật
nh nhau. Đây là dạng dao động riêng đối xứng (Hình 5a).
ắ Khi: u(t) = 0, tức là khi:
12
() ()tt


=
hệ sẽ dao động với tần số góc
2

. Khi đó, ta nhận
đợc dạng dao động riêng ứng với tần số góc
2

. Đây là dạng dao động riêng phản đối xứng
(Hình 5b).
ắ Để quan sát đợc một trong hai dạng dao động riêng, ví dụ dạng dao động riêng đối xứng,
cần có v(t) = 0. Điều này có đợc nhờ các điều kiện ban đầu có dạng:
;



=++






+

3) Dao động tự do của N dao động tử liên kết (Dao động tự do của hệ N bậc tự do):
ắ Xét trờng hợp tổng quát: Hệ gồm N dao động tử liên kết giống hệt nhau. Khi đó sẽ xuất hiện
N dạng dao động riêng có tần số góc khác nhau. Chuyển động quan sát đợc là sự chồng chất của
N dạng dao động của chuỗi các dao động tử (Hình 6).

x
O
1

2

1
K
M

=
và
2
3K
M

=

Dạng dao động riêng thứ nhất và thứ hai lần lợt tơng ứng với dạng dao động đối xứng và dạng
phản đối xứng của hệ hai vật.
Tơng tự cho trờng hợp N = 3, N = 4 và N bất kỳ (Hình 8).

Hỗnh 7a :
Hỗnh 7b:

()t

của một đầu lò xo. Gọi a

và K lần lợt là chiều dài ứng với vị
trí cân bằng và độ cứng của mỗi lò xo.
Lực tác dụng lên vật bao gồm:
Lực từ lò xo (1):
1
()
x
FK e


=


; Lực tác dụng từ lò xo (2):
2 x
FKe

=



37
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
áp dụng định lý về động lợng và chiếu lên trục Ox Phơng trình chuyển động của vật :
()
M
KK


=


Hay:
2
M
KK


+=


Trong đó :


của phơng
trình vi phân thuần nhất (không có vế phải) và một nghiệm riêng
1
()t

của phơng trình vi phân
có vế phải:
01
() () ()ttt


=+
Thành phần
0
()t

biểu diễn dao dộng tự do (không có lực cản) của hệ.
Thành phần
1
()t

biểu diễn dao dộng cỡng bức của hệ.
Trên thực tế, do có lực cản (ví dụ ma sát giữa vật và thanh ngang), thành phần
0
()t

tắt dần. Cuối
cùng, sau một khoảng thời gian nhất định chỉ còn lại thành phần
1


(5)

Nghiệm riêng của phơng trình (5) biểu diễn dao động
cỡng bức có dạng:
1
() ( )cos( )tA t


=+


Tính
1
()t


và
1
()t


, thay vào (5), suy ra :
0

=
và biên
độ
()A


= (tần số góc

của
lực kích thích bằng tần số góc riêng
0

của hệ), thì
A
, hiện tợng cộng hởng sẽ xảy ra
(Hình 11).
0
2
F
K
0

Hỗnh 11
b) Giới hạn của biên độ khi cộng hởng:
Trên thực tế, biên độ khi cộng hởng không tiến đến vô cùng mà bị giới nội, bởi vì :
Trên thực tế tồn tại các lực cản không thể bỏ qua đợc, chẳng hạn lực ma sát nhớt, lực ma sát
khô.
Mô hình trên đây là mô hình tuyến tính, tức là độ cứng K của lò xo xem nh bằng hằng. Trên
thực tế, K không phải là hằng số mà phụ thuộc vào dịch chuyển (biến dạng) của lò xo.
c) Dao động cỡng bức có lực cản nhớt của dao động tử một bậc tự do:

38
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Xét dao động tử một bậc tự do, đợc kích thích bởi một cơ cấu tay quay con trợt, tạo nên một
dịch chuyển có dạng:
()t

F
t
M

++=

(1)
với:
0
K
M

=
;
2
h
M

=
;
() ()Ft K t

=

Nếu đa vào hệ số Q với:
0
2
h
M
Q

0
0
()Ft
QM


++=

(2)
Chúng ta chỉ nghiên cứu chế độ cỡng bức hình sin ổn
định. Trong chế độ cỡng bức hình sin
0
() cosFt F t

=
,
nghiệm riêng
(t)

của phơng trình (2), biểu diễn dao
động cỡng bức có dạng :

() ( )cos( )tA t


=+


Dới dạng phức, ta có :
0

2
() ( ). ( ).
it it
tiAe Ae



==

hay:
2
() . ()tt

=


Thay ()t


và ()t


vào (2), suy đợc phơng trình theo ()t

: 22
00
0



=
+()
0
22
0
0
1
()
F
A
M
i
Q




=
+

Biên độ dao động của dịch chuyển
()t

chính là mođun
()A

theo

:

39
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Ta có:
()
2
22
0
0
0
3/2
2
222
0
0
2.
()
()
Q
F
dA
dM
Q






=


22
0
2
1
1
2Q



=






,
00
2
1
1
2Q

==
()A

theo

cho trên hình 12b. Ta thấy, khi hệ số phẩm chất đủ lớn:
1
2
Q >
,
biên độ
()A

sẽ cực đại (nhng không tiến đến vô cùng) khi :
'
00
2
1
1
2Q
0


=
=
.

Trong trờng hợp
1
2
Q < , đồ thị biến thiên của A theo

22
20201
2c
20
F
t
M
os




+=



+=




với:
0
K
M

=
và
00
.FK

=
, suy đợc:
(2)
2
0
1
2
0
2
cos
v+ vcos
F
uu
M
F
t
M
t




+=




=



Tơng tự nh Đ2.1.a, suy đợc:
0
22
1
1F
U
M



=



và:
0
22
2
1F
V
M




=





1
22 22
12
11
()
2
F
A
M




=+



và:
0
2
22 22
12
11
()
2
F
A
M






=+


và
0
2
22
12
11
2
F
M





=





Nh vậy sẽ xuất hiện hai trờng hợp cộng hởng đối với hệ hai bậc tự do, ứng với khi tần số kích
thích

trùng với tần số góc riêng


. Biên độ dao động sẽ lớn khi tần số kích thích xấp xỉ một trong các tần
số riêng của hệ. Đ3. Hiện tợng lan truyền dao động :

41
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
1) Lan truyền dao động trong chuỗi các dao động tử:

x
O
1

2

3

N

a
2a
3a
Na
vật lân cận, làm chúng chuyển động. Các dịch chuyển của chúng sinh ra những lực mới làm xuất
hiện các dịch chuyển mới.
Biến dạng của các liên kết giữa các vật lân cận sẽ lan truyền từ gần ra xa bên trong chuỗi.
Đại lợng lan truyền đi (ở đây là dịch chuyển của các vật trong chuỗi) sẽ tạo nên một sóng.
Sự tồn tại hai đại lợng (dịch chuyển và lực), đại lợng này tạo ra đại lợng kia và ngợc lại (gọi
là hai đại lợng liên kết) là cơ sở của các hiện tợng truyền sóng.
2) Sóng trong chuỗi các dao động tử :
a) Phơng trình truyền sóng:
Sự lan truyền của sóng đợc mô tả bởi phơng trình truyền sóng.
Phơng trình chuyển động của dao động tử thứ (n) có dạng:
11
.2
nn n
MK KK
n


+
=+


có thể đợc gọi là phơng trình lan truyền sóng biến dạng của chuỗi dao động tử so với vị trí cân
bằng.
b) Nghiệm dạng hình sin của phơng trình truyền sóng:
ắ Phơng trình truyền sóng biến dạng của chuỗi dao động tử:
(1)
với:
2
01 1
(2.


= , với A
là số thực dơng, còn

0
là một số thực nào đó, là một số thực dơng.
Tính
()
n
t


và
()
n
t


:
[
]
() exp ( )
nn
tiA itkx


=

;
[

[
]
22
0
exp( ) 2 exp( )ika ika

= + [
]
22
0
cos() sin()2cos() sin()ka i ka ka i ka

= + + [
]
22
0
21cos()ka

=

222
0
4.sin
2



Các tần số góc của các dao động tự do sẽ nằm trong miền :
0
02




ắ Nh vậy, các sóng hình sin lan truyền dọc theo chuỗi các dao động tử liên kết có dạng :

0
()
()
itnka
n
tAe



+
=

Dao động của các vật đợc viết dới dạng thực nh sau:

0
() cos( )
n
tA tnka




=
+

Dịch chuyển
n
(t) của vật nặng thứ (n) ứng với giá trị của hàm sóng (x,t) tại vị trí cân bằng
x = na của vật này :
()
() ( , )
nx
txt
na


=
=


Sóng đơn sắc:
Sóng mà hàm sóng có dạng hình sin :
0
(,) cos( )xt A t kx


=
+
đợc gọi là sóng đơn sắc.


Có thể nói rằng sóng đơn sắc nói trên (đặc
trng bằng pha của nó) dịch chuyển với vận tốc :

v
k


=

v

đợc gọi là vận tốc pha của sóng.
Sóng
(,)
x
t

chạy dọc theo trục (Ox) của chuỗi
dao động tử với vận tốc
v

là một sóng chạy.
ắ Ghi chú: Cần phân biệt hai khái niệm:
Vận tốc dịch chuyển của vật nặng:
[]
()
(,
n
xna
dt

và
(||)
(,)
itkx
xt Ae


+

=
có
cùng tần số. Hai sóng chạy này lan truyền dọc theo chuỗi các dao động tử, nhng theo hai hớng
ngợc nhau.
Với sóng chạy đơn sắc:
(
(,)
itkx
xt Ae



=
)
, ta đa ra vectơ :
x
kke=


gọi là vectơ sóng cho biết
phơng chiều lan truyền của sóng. k có thể dơng hoặc âm. Nếu k > 0 : sóng chạy theo phơng

a

+
ứng
với cùng một nghiệm vật lý
(,)
x
t

.
ắ Một sóng chạy đơn sắc có tính chất tuần hoàn theo
cả thời gian và không gian và có hai chu kỳ :
Chu kỳ theo thời gian :
2
T


=
; Chu kỳ theo không
gian:
2
k


=
gọi là bớc sóng.
ắ Chúng ta thấy rằng, sóng biến dạng truyền trong chuỗi vô hạn các dao động tử liên kết là sự
chồng chất của nhiều sóng chạy đơn sắc.
e) Phép gần đúng cho các môi trờng liên tục:
@ Chuỗi các nguyên tử liên kết đàn hồi bằng các lò xo là một sự mô hoá đơn giản để mô tả sự lan

tA tknaka


+
=+

ứng với
2akak


<< << =

t
thì
1
() ()
nn
t


+

: Các dịch chuyển ()
n
t

và
1
()
n

44