Bài 1: CMR: tồn tại một số tự nhiên x<17sao cho (25

− 1)chia hết
cho 17

Bài 2: CHo dãy số 5 số tự nhiên bất kì 

;

; ;

CMR: tồn tại 1
số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số chia hết cho 5.

Bài 3: Ở mỗi ô của 1 hình vuông kích thước 5 nhân 5 ô; Ta viết 1 trong
3 số 0; 1; -1 sao cho mỗi ô vuông có đúng 1 số. CMR trong các tổng của
5 số theo 1 cột; theo 1 hàng; theo mỗi đường chéo có ít nhất 2 tổng bằng
nhau.

Bài 4: CM trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1, không thể có nhiều hơn
5 điểm có khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong chúng đều lớn hơn 1

Bài 5: Trên mặt phẳng, cho 25 điểm phân biệt và trong 3 điểm bất kì,
bao giờ cũng tìm được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng <1. Chứng
minh rằng, tồn tại 1 hình tròn có bán kính = 1 chứa không ít hơn 13 điểm
như trên.

Bài 6: Từ dãy số từ 1 đến 2009 chọn 1005 số tùy ý . CM trong 1005 số
tùy ý chọn được ít nhất 2 số mà số này là bội số kia
Bài 7: 8 đội tham gia giải vô dịch bóng đá trong đó hai đội bất kì phải
gặp nhau đúng 1 lần biết đến cuối giải có trận nào hòa . Cm trong 8 đội

 − 
)
= (25

− 1) − (25

− 1) = 25

(25
–
− 1)
⇒  (25

− 1) chia hết cho 17 với n = j - i và 1<  ≤ 16 − 1 = 15
trái với giả thiết là với ∀ ∈
[
1,16
]
số (25

− 1) không chia hết cho 17
Vậy trong 16 số đang xét không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho
17 và từ giả thiết không có số nào cho số dư 0 khi chia cho 17. Theo
nguyên lý Dirichlet (16 số dư khác nhau được xếp vào 16 ngăn kéo dư
khác nhau từ 1 đển 16) thì với n nào đó mà 1 <= n <= 16
có (25

− 1) chia cho 17 dư 16, tức 25

− 1 = 17 +16

+ 

+ 

),(

+ 

+ 

+


),(

+ 

+ 

+ 

+ 

). Nếu 1 trong 5 số đó chia hết cho 5 ta có
đpcm. Nếu không có số nào chia hết cho 5 thì theo nguyên lý Dirichlet ít
nhất 2 trong 5 số đó có cùng số dư (có 4 số dư <> 0 là 1, 2, 3, 4), tức
hiệu 2 số đó chia hết cho 5. Mà hiệu 2 số bất kỳ trong 5 số trên cũng là
tổng của một số số của dãy đã cho (dpcm)

Bài 3:

72
0
nên lớn hơn OP
1
và OP
2
là những cạnh đối diện với góc 54
0
)

Bài 5: Lấy điểm P
1
là tâm kẻ đường tròn C
1
với bán kính bằng 1. Nếu C
1

chứa 25 điểm đã cho thì ta có dpcm. Giả sử P
2
không thuộc C
1
tức P
1
P
2

> 1. Lấy điểm P
2
là tâm kẻ đường tròn C
2

phải có 1
cạnh nhỏ hơn 1; 25 điểm nằm trong 2 đường tròn nên theo nguyên lý
Dirichlet trong 1 đường tròn có ít nhất 13 điểm đã cho

Bài 6: "CM trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhát 2 số mà số này là bội
số kia" hay "CM trong 1005 số tùy ý chọn được có ít nhất 2 số mà số
này là bội số kia"?

Nếu ta chọn 1005 số: A = (1005, 1006, , 2009) thì trong A không có số
nào là bội của số kia vì bội của mỗi số trong  ≥ 2010 (tức 2*1005)
nên các bội đó không nằm trong dãy, và do đó không thể có trong A.

Bài 7;
Ta xét "biết đến cuối giải KHÔNG có trận nào hòa".

Có tất cả 28 trận đấu (bằng 2C8, hoặc ai chưa học tổ hợp thì bằng 7 + 6
+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1: đội đầu đá với 7 đội còn lại, 1 trong 7 đội đó đấu với
6 đội còn lại )
Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội A, có số
trân thắng ít nhất là 4. Gọi 4 đội thua A là B, C, D, E. 4 đội này có với
nhau 6 trận đá, vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi
đó là đội B, có số trân thắng ít nhất là 2. Gọi 2 đội thua B là C và D. Do
không có trận hoà nên ta gọi đội thắng trong trân C-D là C. A, B, C, D là
các đội cần tìm.

Bài 8: "CM k0 tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên 1 cột , 1
hàng hoặc 1 đường chéo là các số khác nhau" có nghĩa là các tổng này
không thể khác nhau từng đôi một?
Ta có tổng cộng tất cả (2n + 2) hàng, cột và đường chéo (n hàng, n cột, 2
đường chéo). Các tổng là những số thỏa mãn 0 <= tổng <= 2n (min khi

+ ⋯ +
Chiếu tất cả các cặp ô vuông lên 1 hàng ngang nào đó. Do không có 1
hình chữ nhật nào có cả 4 ô vuông xanh, nên các hình chiếu là đôi một
khác nhau. Nhưng do chỉ có tối đa
.

= 36hình chiếu, nên
∑


(



)

≤ 36


⇔
∑




≤ 72 + 
Theo BĐT Cauchy-Schwarz, 