1
I. LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và
sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính
vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nói
hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS;…. mà do
chính người VN ta tìm ra. Để chứng minh bất đẳng thức nếu sử dụng chúng
thì hầu như bài nào cũng giải được. Nhưng liệu khi đi thi chúng ta có đủ thời
gian để sử dụng chúng không? Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳng thức
cổ điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳng
thức. Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi
(AM-GM) bunhia (Cauchy – swarchz) trong giải các bài bất đẳng thức đại số.
Hai bất đẳng thức này tuy nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải
dễ dàng. Tất cả được chỉ ra qua một lượng đáng kể những ví dụ đa dạng, từ
nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt là những kì thi Olympic toán hoặc trên
những trang web. làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động.
II. HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM – GM; Cauchy – swarchz và ứng dụng.
1. Bất đẳng thức AM – GM.
Với a
1
, a
2
…; a
n
là n số thực không âm ta có:
a
1
+a
2
+ … + a
n-1

= a
n
.
2. Bất đẳng thức Cauchy – swarchz (cs)
*Với hai dãy số thực tùy ý a
1
;a
2
… a
n
và b
1
, b
2
, b
n
ta luôn có:
2
(
22
2
2
1

n
aaa 
) (
22
2
2

n
n
n
n
n
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a




) (

21
2
21
2
2
2
1
2
1
(Với
i

2
=
; 1
n
i j

(a
j
b
J
- a
J
b
i
)
3. Ứng dụng.
*Bài toán 1: cho a, b, c

o. CMR
2
3





 ba
c
ac
b

b c c a a b a b b c c a
     
  
  
  
     
  
   
     
(Đúng).
Ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức Am-Gm để làm chặt.Với cùng điều kiện
trên ta có bất đẳng thức khoẻ hơn sau:
2
3
2
3 3 [( )( )( )]
2 2 [( )( )( )]
a b c a b b c c a
b c c a a b a b b c c a
  
   
     
Cách 2:
3
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c a b c a b c
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
 


0

Đpcm
Cách 3: Từ nhận xét:
2
)
2
1
( 
 cb
a

0

cb
a


4
1
.
1
1
8




cb

Cộng ba bất đẳng thức lại thì ta có:
ba
c
ac
b
cb
a






2
3
)(4
)8()8()8(



cba
bacacbcba

Đpcm.
Ngoài cách giải trên ta còn có khoảng hơn 30 cách nữa để chứng minh
bất đẳng thức Nesbit này.Lời giải bằng CS rất hiệu quả trong việc chứng
minh bất đẳng thức 3 biến đối xứng 
Bài toán 2: Cho a, b, c > 0. CMR
b
ca

)(
2
1
b
ca
a
bc


c
)(
2
1
c
ab
b
ca


a
Cộng lại ta được Đpcm.
Bài toán 3: Cho a, b, c > 0. CMR:
a
c
c
b
b
a

3

 

(cũng có dấu ‘=’  a=b=c)
Thì theo AM – GM :
3
abc
cba 
+
cba
abc

3
9

6
Thì bài toán được chứng minh .
Bây giờ ta sẽ kiểm chứng ‘dự đoán’ trên xem bất đẳng thức có đúng không ?
Với x, y, z > 0 ta có:
x y z
y z x
 

3
)(
xyz
zyx 
.
Thật vậy: nếu sử dụng bất đẳng thức AM – GM thì ta có:
3
3

5
Cộng chúng lại ta được: (
x
z
z
y
y
x

)

3
( )x y z
xyz
 
Dự đoán của chúng ta là hoàn toàn chính xác !.Bài toán được giải quyết trọn
vẹn .
*Bài toán tương tự: (APMO 1998). CMR với x, y, z > 0 ta có:
)1)(1)(1(
x
z
z
y
y
x


2 +
3
)(2

 
3
( )x y z
xyz
 

thì bài toán “APMO 1998” được
giải quyết .Lại 1 lần nữa cho thấy được hiệu quả khi sử dụng Am-Gm.
Bài toán 4:Cho a;b;c>0.CMR:
3 3 3
2 2 2
2. 3
3
a b c ab bc ca
abc a b c
   
 
 
*Nhận thấy:
3 3 3
2 2 2
1; 1
3
a b c ab bc ca
abc a b c
   
 
 
nên chúng ta thường nghĩ ngay đến
việc sử dụng SOS.

2 2 2
( )( ) 9a b c a b c abc    
.
6
Nhưng đằng sau mỗi bài toán bao giờ cũng tồn tại lời giải cổ điển và việc
của chúng ta là phải tìm ra nó mà thôi.
Nhận thấy:
3 3 3 3 3 3 2
3
2 2 2 2 2 2 2
( )( )
2. 3
3 3 .( )
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
abc a b c abc a b c
       
 
   
(Am-Gm)
Mà:
3 3 3 2 2 2 2
( )( ) ( )a b c a b c a b c      
(CS)
Và:
2
( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c    
Phép chứng minh hoàn tất 
Không dừng lại ở đó chúng ta còn có:
3 3 3
2 2 2

a b c
a ab b b bc c c ca a
  
     
(*)
Ở đây nếu ta sử dụng luôn bất đẳng thức CS dạng Engel thì:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 3
( )
1
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a a a b a b
 
   
       
  
Nhưng
2 2 2 2
4 2 2 3
( )
1
a b c
a a b a b
 

 
  
thì lại không đúng nên ta sẽ phải tìm cách
khéo léo hơn để sử dụng được CS.
*Lời giải:

a


1
*Đến đây ta sẽ đổi biến đặt
'; '; '
b c a
x y z
a b c
  
thì ta có:x’.y’.z’=1.
Nếu đổi biến 1 lần nữa cho: x=
2 2 2
; ;
yz zx xy
y z
x y z
 
để xem dung CS dạng Engel
còn được nữa không.
Thì BĐT về dạng:
4
4 2 2 2
x
x x yz y z 


1
Áp dụng BĐT CS dạng Engel ta được:
VT


 )(
22
zyxxyzyx


22
yx

xyz (x + y + z)

 
222222
)()()(
2
1
xzyzyxyxz 
)
Phép chứng minh hoàn tất.
Bài toán trên là bài toán khó.Việc tìm ra lời giải bằng CS là không phải dễ !
* BĐT trên còn có thể phát biểu dưới dạng.
* Với x, y, z > 0, xyz = 1. CMR.
1
2
2
 xx
x
+
1
2

Bài toán 6: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3
CMR:
2
a bc
ac b


+
2
b ca
c ab


+
2
c ab
a bc



3. (*)
(Trần Quốc Anh).
*Lời giải:
Để cho việc chứng minh dễ dàng ta thường đưa về bất đẳng về dạng đồng bậc
. Nên sẽ đưa tất cả các mẫu số về bậc 2 
Ta có: 3 (b + ca) = (a + b + c) b + 3 ca
Theo bất đẳng thức AM – GM : 2ca

c
2

a bc



2 2 2
2 2 2
3( ) 3( ) 3( )a bc b ca c ab
a b c ab bc ca
    
    
= 3
Phép chứng minh hoàn tất .
*Bài toán trên là 1 sự khéo léo trong việc sử dụng côsi và 1 lần nữa cũng cho
thấy được sức mạnh của nó.
Bài toán 7:Cho các số thực x;y;z khác 1 thoả mãn tích của chúng bằng 1.
CMR:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 1
1 1 1
x y z
x y z
  
  
(IMO 2008).
Cách 1:
Đặt:
; ;
1 1 1
x y z
a b c

; z =
a
c
; (xyz = 1)
BĐT (*)

2
2
)( ba
a

+
2
2
)( cb
b

+
2
2
)( ac
c


1
Áp dụng BĐT Cauchy – swarchz.
VT:
 
222222
)()()()()()( bcacabcbcaba 

a ab bc ca
b c a b c
 
 
  

Phạm Kim Hùng.
Nhìn vào bài toán thì nhiều người sẽ sử dụng ngaySOS .

2 2 2
5
( ) 0
2
a ab bc ca
b c a b c
 
  
  

10
Với chú ý là:
2
3 ( )
2 2( )( )
a a b
b c c a c b

 
  
 

   

 

0
Đến đây việc đánh giá của chúng ta không còn đơn giản như bài toán 4 nữa.
Đặt
2 2
( )( )
c
ab bc ca a b
S
c a c b
   

 
;
2 2
( )( )
b
ab bc ca a c
S
b a b c
   

 
;
2 2
( )( )
a

 
(2)
2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )
0
( )( )( ) ( )( )( )
b c
a b c a b c abc b c a b bc c a b c abc b c
b S c S
a b b c c a a b b c c a
          
   
     
(3)
Ta đang cần chứng minh:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0
c b a
S a b S a c S b c     
(*)
Mà:
a c b
a b c



(4)
Xét a khác b thì từ (1);(2);(3);(4) ta suy ra được:
VT(*)

1 ( )
2 2( )
b c a ab bc ca a b c
b c a b c a b c
     
  
    

Thật vậy:
2
( )
( )( )
b c a a b c
b c b c a b c
   

   


Mà:
( )( )b c a b c  

=
2 2 2
2( )a b c 
Suy ra bài toán được giải quyết.
*Ẩn
* Lời giải vô cùng đẹp nhưng để tìm ra nó cần phải trải qua thời gian và sự
rèn luyện bất đẳng thức hàng ngày của chúng ta.
4.Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách sử dụng 2 bất đẳng thức cổ điển.

ca + a
2
) – c (a
2
– ab + b
2
)
= a
3
+ b
3
+ c
3
-
cb
cba

 )(
33
-
ac
acb

 )(
33
-
ba
bac

 )(

2
bcac
cbcbbc


+
))((
))((
2
cbba
acacca


=
))()((
)()()(
2222222
accbba
accacbbcbaab


12
=
))()(( accbba
abc

[
c
ba
222



)(4
22

Đpcm.
*Đây là 1 trong những cách sáng tạo bất đẳng thức khá phổ biến là làm mạnh
1 bất đẳng thức. Sử dụng CS để sáng tạo chúng thì việc tìm ra lời giải không
dễ như là làm chặt bằng Am-Gm qua bài toán 1 
NX: Bất đẳng thức này rất hay và khác hơn bất đẳng thức shur.
*BĐT shur của chúng ta là:
a (a-b) (a-c) + b (b-a) (b-c) + c (c-a) (c-b)

0
Bài toán 10: (Lương Hải Đăng).
Cho a, b, c > 0. a
3
b + b
3
c + c
3
a = 3. CMR:
cba
accbba

 ))()((
+
2222
)(
24

nữa . Và x=8 là con số để thoả mãn dấu “=” a=b=c=1 khi
dung Am-Gm.
Nếu như thế bài toán khá dễ nên phải che đậy bằng biểu thức:
2 2 2 2
24
( )a b b c c a 
cùng với điều kiện bài toán .
*Lời giải:
13
Áp dụng CS ta có: (a
3
b + b
3
c + c
3
a) (ab + bc + ca)

(a
2
b + b
2
c + c
2
a)
2

2222
)(
24
accbba 

 ))((
9
8
=
9
8
(ab + bc + ca)
Nên theo AM – GM:
9
8
(ab + bc + ca) +
cabcab 
8
13
6


Đpcm.
Bài toán 11: Cho a, b, c > 0. CMR:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3
3( )( )( )
8( )
a b b c c a
a b c
  
 
+ 2 (ab + bc + a – 1)
2


cba
cabcab


(Cauchy –
swarchz).
Đặt x = ab + bc + ca

222
cba 
= 1 – 2x

0

x

3
1
Nên ta chỉ cần chứng minh:
2
2
)21(9 x
x

+ 2 (1 – x)
2

1 (*)
Đến đây có nhiều cách có thể sử dụng côsi điểm riêng hoặc:
BĐT: (*)

2
+ 45x – 9)

24x – 54x + 17x
2
+ 45x
= 24x
3
– 9x + 17x
2
2
17 24 2
(1 3 ) (1 9 ) 0
3 9 3
x x x x x      
( Đúng do:
1
(0 )
3
x 
Vậy: (3x – 1) (24x
2
– 64x
2
+ 45x – 9)

0.

Bài toán giải quyết.
Mình nghĩ ra bài này cũng dựa trên:

a
a b a c
b c a
 
 

+
2
( ) ( )
( )( )
a b ab a b c
b c a c a b
  
   


0
15
Theo voirn_shur :
( )( )
a
a b a c
b c a
 
 


0
=>ĐPCM
Cách 2: Chỉ hoàn toàn sử dụng côsi với CS 

zxyx
x
zy



x
yzxzy ))(( 


= 2 (x + y + z) +
x
yzzy )( 

Theo AM – GM:
x
yzzy )( 
x
yz2

Nên:


x
zy
))(( zxyx 

2 (x + y + z) + 2





+
22
2
acac
cab


+
22
2
baba
abc



3
Nhận thấy dấu “=”  có 1 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau .Ta sẽ đi
đến với lời giải sau 
*Lời giải:
Cách 1:
Giả sử c = min {a, b, c}
Do: a
2
+ bc

a
2
; b

2
b
a
+
2
2
a
b
+
22
baba
ab

Áp dụng BĐT AM – GM thì:
2
2
b
a

1
2

b
a
;
2
2
a
b





a
b
b
a
baba
ab
ab
baba
3122 
(AM – GM)

Bài toán được giải quyết.
Cách 2:
Sử dụng bất đẳng thực CS thì ta có
VT
2 2 2 2
2 2 2
( )
( )( )
a bc b ca c ab
a bc b bc c
    

  

Ta cần chứng minh:
2 2 2 2

cbcb
bca


+
22
2
acac
cab


+
22
2
baba
abc



3+
2
3
2 2 2 2 2 2
( )
3
( )( )( )
abc
a ab b b bc c c ca a     
Một cách sáng tạo khác 
A

))(( cabcabzxyzxy 

a + b + c
(Ukrame, 2001)
3.
22
3
cbcb
a

+
22
3
acac
b

+
22
3
baba
c


)(
)(3
cba
cabcab


Với a, b, c > 0

10.
(vascle artoajre)
6. Cho a, b, c > 0. CMR:
ba
a

2
+
cb
b

2
+
ac
c

2

3.
Bài 7: (Trần Quốc Anh). Cho a, b, c không âm thỏa mãn:
a + 2b + 3c = 4. CMR:
P(a,b,c) = (a
2
b + b
2
c + c
2
a + abc) (ab
2
+ bc

3
cbcb
a

+
22
3
cbcb
b

+
22
3
aacc
c


2
(Võ Quốc bá Cẩn).
10. Cho a, b, c, d

0. CMR:
(
222
dcb
a

+
222
dca

c
ac

3.
12. Cho a, b, c, d

0. CMR:
a
b c
+
ac
b

+
ba
c


2
))()((
1
accbba
abc



a
b a
+
b

cabcab
a
c
c
b
b
a




10
(Võ Quốc Bá Cẩn)