Bài 1: CMR: tồn tại một số tự nhiên x<17sao cho
(
25

−

1
)

chia hết cho 17

Bài 2: CHo dãy số 5 số tự nhiên bất kì 

;

; ;

CMR: tồn tại 1 số chia hết cho 5
hoặc tổng của một số số chia hết cho 5.

Bài 3: Ở mỗi ô của 1 hình vuông kích thước 5 nhân 5 ô; Ta viết 1 trong 3 số 0; 1; -1 sao
cho mỗi ô vuông có đúng 1 số. CMR trong các tổng của 5 số theo 1 cột; theo 1 hàng;
theo mỗi đường chéo có ít nhất 2 tổng bằng nhau.

Bài 4: CM trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1, không thể có nhiều hơn 5 điểm có
khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong chúng đều lớn hơn 1

Bài 5: Trên mặt phẳng, cho 25 điểm phân biệt và trong 3 điểm bất kì, bao giờ cũng tìm
được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng <1. Chứng minh rằng, tồn tại 1 hình tròn có bán
kính = 1 chứa không ít hơn 13 điểm như trên.


⇒ 17
(
 − 
)
= (25

− 1)− (25

− 1)=25

(25
–
− 1)
⇒  (25

− 1) chia hết cho 17 với n = j - i và 1<  ≤ 16 − 1 = 15
trái với giả thiết là với ∀ ∈
[
1,16
]
số (25

− 1) không chia hết cho 17
Vậy trong 16 số đang xét không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho 17 và từ giả
thiết không có số nào cho số dư 0 khi chia cho 17. Theo nguyên lý Dirichlet (16 số dư
khác nhau được xếp vào 16 ngăn kéo dư khác nhau từ 1 đển 16) thì với n nào đó mà 1
<= n <= 16
có (25

− 1) chia cho 17 dư 16, tức 25



+


)
,
(


+


+


)
,
(


+


+


+



Bài 4:Ta xét 6 điểm trong đường tròn. Ta cmr khoảng cách giữa 2 điểm nào đó <= 1. Ta
xét điểm P1 trên bán kính OA. Lấy về 1 phía của A điểm B và C sao cho góc AOB = góc
AOC = 60 độ. Nếu trong hình quạt AOB hoặc AOC có 2 điểm đang xét thì dễ thấy
chúng cách nhau một khoảng <= 1 (dpcm). Giả sử trong 2 hình quạt trên không có điểm
nào ngoài P1. Ta chia hình quạt lớn BOC thành 4 hình quạt bằng nhau => góc ở tâm của
mỗi hình quạt = 60 độ. Ta có 5 điểm còn lại trong 4 hình quạt vậy trong ít nhất 1 hình
quạt có 2 điểm đang xét.
Khoảng cách giữa 2 điểm đó không lớn hơn bán kính = 1.
Với 5 điểm dễ thấy là nếu xếp chúng vào 5 đỉnh của hình ngũ giác đều nội tiếp thì
khoảng cách gữa 2 điềm bất kỳ >= cạnh của ngũ giác > bán kính = 1 (Ta xét cạnh P
1
P
2
.
Trong tg OP
1
P
2
cạnh P
1
P
2
đối điện với góc 72
0
nên lớn hơn OP
1
và OP
2
là những cạnh
đối diện với góc 54

nằm ngoài C
1
và C
2
thì ta có P
1
P
2
> 1, P
1
P
3
> 1, P
2
P
3
> 1, vô lý vì trong tg P
1
P
2
P
3

phải có 1 cạnh nhỏ hơn 1; 25 điểm nằm trong 2 đường tròn nên theo nguyên lý Dirichlet
trong 1 đường tròn có ít nhất 13 điểm đã cho

Bài 6: "CM trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhát 2 số mà số này là bội số kia" hay "CM
trong 1005 số tùy ý chọn được có ít nhất 2 số mà số này là bội số kia"?

Nếu ta chọn 1005 số: A = (1005, 1006, , 2009) thì trong A không có số nào là bội của


2/ Gọi x
i
là số ô vuông được tô xanh trên hàng thứ i. (Do vậy, ở hàng thứ i, số cách chọn
2 ô xanh là


(



)


Đặt  = 

+ 

+ ⋯ +
Chiếu tất cả các cặp ô vuông lên 1 hàng ngang nào đó. Do không có 1 hình chữ nhật nào
có cả 4 ô vuông xanh, nên các hình chiếu là đôi một khác nhau. Nhưng do chỉ có tối đa
.

= 36hình chiếu, nên
∑



Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm./.