CC PH NG PHP GI I
PH NG TRèNH- B T PH NG TRèNH- H M - LễGARIT
CH NG I: PH NG PHP GI I PH NG TRèNH- B T PH NG TRèNH- H M
CH I:PH NG TRèNH M
BI TON 1: S D NG PH NG PHP BI N I T NG NG
I. Ph ng phỏp:
Ta s d ng phộp bi n i t ng ng sau:

( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
f x g x
a
a
a a
f x g x
ộ
=
ờ
ờ
ỡ
ù
< ạ
=
ờ
ù
ù
ớ
ờ
ù

2 2
2 2
x
x x x x
-
+ - = + -
Gi i: Ph ng trỡnh c bi n i v d ng:
( )
( )
2
2
2
1 2(*)
2 0
1 0(1)
2 1 sin 2 3cos 0
sin 3cos 2(2)
x
x x
x x
x x x x
x x
ỡ
ù
- < <
ù
ỡ
ù
ù
+ - >

sin cos 1 sin 1 2 2 ,
2 2 3 3 2 6
x x x x x k x k k Z
p p p p
p p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = + = + = + = + ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nghi m tho món i u ki n (*) ta ph i cú:
1 1
1 2 2 1 2 0,
6 2 6 2 6
k k k k Z
p p p
p
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- < + < - - < < - = ẻ
ỗ ỗ

x x
x x x
+ -
- +
- = - +
Gi i: Ph ng trỡnh c bi n i v d ng:
( ) ( ) ( )
4
3 5 2 2 2( 4)
2
2 2
3 3 3
x x
x x x x
x x x
+ -
- + + -
ộ ự
- = - = -
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
2 2 2
3 1 4
4
0 3 1 3 4
5
3 5 2 2 2 8 7 10 0
x x
x

BI TON 2: S D NG PH NG PHP LễGARIT HO V A V CNG C S
I. Ph ng phỏp:
1
chuy n n s kh i s m lu th a ng i ta cú th logarit theo cựng 1 c s c 2
v c a ph ng trỡnh, ta cú cỏc d ng:
D ng 1: Ph ng trỡnh:

( )
( )
0 1, 0
log
f x
a
a b
a b
f x b
ỡ
ù
< ạ >
ù
ù
=
ớ
ù
=
ù
ù
ợ
D ng 2: Ph ng trỡnh :


x x
x x x x
-
= - = - - + - =
Ta cú
,
2 2
1 1 log 3 log 3 0D = - + = >
suy ra ph ng trỡnh cú nghi m
x = 1
2
log 3.

VD2: Gi i ph ng trỡnh:

1
5 .8 500.
x
x
x
-
=
Gi i: Vi t l i ph ng trỡnh d i d ng:
1 1 3
3
3 2 3
8
5 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1
x x x
x x x

ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

( )
2
2
3
1
3 log 5 0
1
log 5
x
x
x
x
ộ
=
ờ
ổ ử
ữ
ỗ
ờ
ữ
- + =
ỗ
ữ
ờ

Khi ú t
x
t a=
i u ki n t>0, ta c:
1
1 1 0
...... 0
k k
k k
t t ta a a a
-
-
+ + =
M r ng: N u t
( )
,
f x
t a=
i u ki n h p t>0. Khi ú:
2 ( ) 2 3 ( ) 3 ( )
, ,.....,
f x f x kf x k
a t a t a t= = =
2
Và
( )
1
f x
a
t

t a=
đi u ki n h p t>0, suy ra ề ệ ẹ
( )
1
f x
b
t
=
D ng 3:ạ Ph ng trình ươ
( )
2 2
1 2 3
0
x
x x
a ab ba a a+ + =
khi đó chia 2 v c a ph ng trình ế ủ ươ
cho
2x
b
>0 ( ho c ặ
( )
2
, .
x
x
a ab
), ta đ c: ượ
2
1 2 3

÷
ç
è ø
đi u ki n t<0, ta đ c: ề ệ ượ
2
1 2 3
0t ta a a+ + =
M r ng: V i ph ng trình m có ch a các nhân t : ở ộ ớ ươ ũ ư ử
( )
2 2
, , .
f
f f
a b ab
, ta th c hi n theo ự ệ
các b c sau: ướ
- Chia 2 v ph ng trình cho ế ươ
2
0
f
b >
(ho c ặ
( )
2
, .
f
f
a ab
)
- t Đặ

t
+
=
thì t>0 ch là đi u ki n h p, b i th c ch t đi u ki n cho t ph iỉ ề ệ ẹ ớ ự ấ ề ệ ả
là
2t ³
. i u ki n này đ c bi t quan tr ng cho l p các bài toán có ch a tham Đ ề ệ ặ ệ ọ ớ ứ
s .ố
II. VD minh ho :ạ
VD1: Gi i ph ng trìnhả ươ :
1
cot
sin
2
2
4 2 3 0
g x
x
+ - =
(1)
Gi i: i u ki n ả Đ ề ệ
sin 0 ,x x k k Zp¹ Û ¹ Î
(*)
Vì
2
2
1
1 cot
sin
g x

1
2 3 0 2 1 cot 0
3
cot 0 ,
2
g x
t
t t g x
t
gx x k k Z
p
p
é
=
ê
+ - = Û Û = Û =
ê
= -
ê
ë
Û = Û = + Î
tho mãn (*)ả
V y ph ng trình có 1 h nghi m ậ ươ ọ ệ
,
2
x k k Z
p
p= + Î
VD2: Gi i ph ng trìnhả ươ :
( ) ( )

2
1
3
2 0 2 3 0 1 3 0
3 0( )
t
t t t t t t
t t t vn
é
=
ê
- + = Û + - = Û - + + = Û
ê
+ + =
ê
ë

( )
2 3 1 0
x
xÛ + = Û =
V y ph ng trình có nghi m x=0ậ ươ ệ
Nh n xét: ậ Nh v y trong ví d trên b ng vi c đánh giá: ư ậ ụ ằ ệ

( )
( ) ( )
2
7 4 3 2 3
2 3 2 3 1
+ = +

ç ç
÷ ÷
+ + =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
t đó thi t l p n ph ừ ế ậ ẩ ụ
, 0
x
a
t t
c
æö
÷
ç
÷
= >
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
và suy ra
1
x
b

x x x x x x x x- - - - - -
- + = Û - + =

2 2
2 2
2.2 9.2 4 0
x x x x- -
Û - + =

t Đặ
2
2
x x
t
-
=
đi u ki n t>0. Khi đó ph ng trình t ng đ ng v i:ề ệ ươ ươ ươ ớ
2 2
2
2
1
2
2
4
2 2 2 1
2 9 4 0
1
2
1
2 2

=
ê
ê
=
ê
ë
ê
ë
ë
ë
4
V y ph ng trỡnh cú 2 nghi m x=-1, x=2.
Chỳ ý: Trong vớ d trờn, vỡ bi toỏn khụng cú tham s nờn ta s d ng i u ki n cho n
ph ch l t>0 v chỳng ta ó th y v i
1
2
t =
vụ nghi m. Do v y n u bi toỏn cú ch a
tham s chỳng ta c n xỏc nh i u ki n ỳng cho n ph nh sau:

2
1
2
4
4
2
1 1 1 1
2 2
2 4 4
2

3
2 2
2 6 2 1
2 2
x x
x x
ổ ử
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- - - =
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ố ứ
(1)
t

2 , 0
x
u u= >
khi ú ph ng trỡnh (2) cú d ng:
2
1(1)
1 2 0 2 2 2 1
2
2
x
u
u
u u u u x
u
ộ
= -
ờ
- = - - = = = =
ờ
=
ờ
ở
V y ph ng trỡnh cú nghi m x=1
Chỳ ý: Ti p theo chỳng ta s quan tõm n vi c s d ng ph ng phỏp l ng giỏc
hoỏ.
VD5: Gi i ph ng trỡnh :
2 2
1 1 2 1 2 1 2 .2
x x x
ổ ử

ữ
ỗ
ố ứ
Khi ú ph ng trỡnh cú d ng:
( )
2 2
1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos 1 2cos sin
3 3
2cos sin sin2 2cos 2sin cos 2cos 1 2sin 0
2 2 2 2 2 2
1
cos 0(1)
1
2
2
6
2
0
3 2
2 1
sin
2
2 2
x
x
t t t t t t
t t t t t t
t t
t
t

=
=
ộ
ờ
= -
=
ờ
ờ
ờ
ờ

ờ
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ở
=
=
ờ
ờ
ở
ờ
ở
ở

2
x x x x x
x
t
t t
t
ộ
=
ờ
- + + = D = + - = + ị
ờ
=
ờ
ở

Khi ú:
+ V i
9 3 9 2
x
t t= = =
+ V i
3
2 3 2 1 0
2
x
x x x
t x
ổử
ữ
ỗ

( )
2 2 2
3 2 2 0t x t x+ - - + =

( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2
2
3 4 2 2 1
1
t
x x x
t x
ộ
=
ờ
D = - - - + = + ị
ờ
= -
ờ
ở
Khi ú:
+ V i
2
3 3
2
2 3 2 log 2 log 2
x
t x x= = = =

ù ù ù
=
- =
ù ù ù
ợ ợ
ù
ợ
V y ph ng trỡnh cú 3 nghi m
3
log 2; 0x x= =
BI TON 5: S D NG PH NG PHP T N PH - D NG 3
I. Ph ng phỏp:
Ph ng phỏp dựng n ph d ng 3 s d ng 2 n ph cho 2 bi u th c m trong ph ng
trỡnh v khộo lộo bi n i ph ng trỡnh thnh ph ng trỡnh tớch.
II. VD minh ho :
VD1: Gi i ph ng trỡnh :
3 2 6 5 2 3 7
2 2 2
4 4 4 1
x x x x x x- + + + + +
+ = +
Gi i: Vi t l i ph ng trỡnh d i d ng:
3 2 2 6 5 3 2 2 6 5
2 2 2 2
4 4 4 .4 1
x x x x x x x x- + + + - + + +
+ = +
t
3 2
2 6 5

3 2 2
2
2 6 5
2
2
1
1 4 1 3 2 0 2
1 1
2 6 5
4 1
5
x x
x x
x
u x x x
v x
x x
x
- +
+ +
ộ
=
ờ
ộ
ộ
ờ
ộ
ờ
= = - + = =
ờ

+ = +
a) Gi i ph ng trỡnh v i m=1
b) Tỡm m ph ng trỡnh cú 4 nghi m phõn bi t.
Gi i: Vi t l i ph ng trỡnh d i d ng:

( 5 6) 1
5 6 1 7 5 5 6 1
5 6 1 5 6 1
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
.2 2 2 .2 2 2
.2 2 2 .2
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
m m m m
m m
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- + + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- + - - - + - ố ứ
- + - - + -
+ = + + = +

. Khi ú ph ng trỡnh t ng ng v i:
( ) ( )
5 6
1
1
2
2
2
3
1 2 1
1 0 2
2
2 (*)
x x
x
x
x
u
mu v uv m u v m x
v m
m
m
- +
-
-
ộ
ờ
ộ
=
ộ

V y v i m=1, ph ng trỡnh cú 4 nghi m phõn bi t: x=3, x=2, x=

1
b) (1) cú 4 nghi m phõn bi t
(*)
cú 2 nghi m phõn bi t khỏc 2 v 3.
(*)
2 2
2 2
0 0
1 log 1 log
m m
x m x m
ỡ ỡ
ù ù
> >
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
- = = -
ù ù
ù ù
ợ ợ
. Khi ú i u ki n l:
( )
2
2
2

ù
<
ù
ù
ù
ù
ỡ ỹ
- >
ù ù
ù
ù
ù ù ù ù
ẻ
ớ ớ ớ ý
ạ
ù ù ù ù
- ạ
ù ùù ù
ợ ỵ
ù ù
ù ù
- ạ
ù ù
ù
ợ
ù
ạ
ù
ù
ợ

ê ú
ë û
B c 3: t ướ Đặ
( )
y xj=
ta bi n đ i ph ng trình thành h :ế ổ ươ ệ
( )
( )
; 0
y x
f x y
j
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
II. VD minh ho : ạ
VD1: Gi i ph ng trìnhả ươ :
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x- - -

= +
ï
ï
î
Nh n xét r ng: ậ ằ
( ) ( )
1 1 1 1
. 2 1 . 2 1 2 2 2
x x x x
uv u v
- - - -
= + + = + + = +
Ph ng trình t ng đ ng v i h :ươ ươ ươ ớ ệ
8 1 18
2
8 18
9
9;
8
u v
u v
u v u v
u v uv
u v
u v uv
ì
é
ï
= =
ì

x
x
x
-
-
ì
ï
+ =
ï
ï
Û =
í
ï
+ =
ï
ï
î
+ V i u=9 và ớ
9
8
v =
, ta đ c: ượ
1
1
2 1 9
4
9
2 1
8
x

6 6u u- + =
t Đặ
6,v u= +
đi u ki n ề ệ
2
6 6v v u³ Þ = +
Khi đó ph ng trình đ c chuy n thành h :ươ ượ ể ệ
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
6 0
0
1 0
6
u v u v
u v u v u v u v
u v
v u
ì
é
ï
= + - =
ï
ï
ê
Û - = - - Û - + = Û
í
ê
ï

2
5 0 2 log
2 2
1 21
(1)
2
x
u
u u x
u
é
- +
ê
=
ê
- -
ê
+ - = Û Û = Û =
ê
- -
ê
=
ê
ë
V y ph ng trình có 2 nghi m là x=8 và x=ậ ươ ệ
2
21 1
log .
2
-

là nghi m duy nh t c a ph ng trình.ệ ấ ủ ươ
H ng 2:ướ Th c hi n theo các b c:ự ệ ướ
B c 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f(x)=g(x)ướ ể ươ ề ạ
B c 2: Xét hàm s y=f(x) và y=g(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s ướ ố ậ ậ ẳ ị ố
y=f(x) là
Là đ ng bi n còn hàm s y=g(x) là hàm h ng ho c ngh ch bi n ồ ế ố ằ ặ ị ế
Xác đ nh ị
0
x
sao cho
( ) ( )
0 0
f x g x=
B c 3: V y ph ng trình có nghi m duy nh t ướ ậ ươ ệ ấ
0
x x=

H ng 3:ướ Th c hi n theo các b c: ự ệ ướ
B c 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f(u)=f(v) (3)ướ ể ươ ề ạ
B c 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u ướ ố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ
( gi s ả ử
đ ng bi n)ồ ế
B c 3: Khi đó: (3)ướ
u vÛ =
v iớ
,
f
u v D" Î
II. VD minh ho : ạ
VD1: Gi i ph ng trìnhả ươ :

1
log 3 2 2 2
5
x x
x x
- -
ổử
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- + + + =
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ ữ
ỗ
ố ứ
(1)
Gi i: i u ki n:
2
1
3 2 0
2
x

ữ
ỗ
ữ
+ + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Xột hm s :
( ) ( )
1
2
3 3
2
1 1
( ) log 2 log 2 .5
5 5
x
f x x x x
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
= + + = + +
ỗ
ữ
ỗ

( ) ( )
2
3 5
1 1 3 2 1
2
f u f u x x x

= = - + = =
V y ph ng trỡnh cú hai nghi m
3 5
2
x

=
VD2: Cho ph ng trỡnh :
2 2 2
2
2 2 4 2
5 5 2
x mx
x mx
x mx m
+ +
+ +
- = + +
a) Gi i ph ng trỡnh v i
4
5
m = -
b) Gi i v bi n lu n ph ng trỡnh

5
m = -
ta c:
2 2
2
8 4
0 5 8 4 0
2
5 5
5
x
x x x x
x
ộ
=
ờ
ờ
+ - = - - =
ờ
= -
ờ
ở
V y v i
4
5
m = -
ph ng trỡnh cú 2nghi m
2
2;
5

<
ờ
ở
ph ng trỡnh (2) cú 2 nghi m phõn bi t
2
1,2
x m m m= - -
ú c ng l nghi m kộp c a (1)
K t lu n:
V i m=0 ph ng trỡnh cú nghi m kộp x=0
V i m=1 ph ng trỡnh cú nghi m kộp x
0
=-1
V i 0<m<1 ph ng trỡnh vụ nghi m
V i m>1 ho c m<0 ph ng trỡnh cú 2 nghi m
2
1,2
x m m m= - -
BI TON 8: S D NG GI TR L N NH T V NH NH T C A HM S
I. Ph ng phỏp:
V i ph ng trỡnh cú ch a tham s : f(x,m)=g(m). Chỳng ta th c hi n cỏc b c sau:
B c 1: L p lu n s nghi m c a (1) l s giao i m c a th hm s (C): y=f(x,m)
v ng th ng (d): y=g(m).
B c 2: Xột hm s y=f(x,m)
+ Tỡm mi n xỏc nh D
+ Tớnh o hm y rũi gi i ph ng trỡnh y=0
+ L p b ng bi n thiờn c a hm s
B c 3: K t lu n:
+ Ph ng trỡnh cú nghi m
( ) ( )

c) Tỡm m ph ng trỡnh cú nghi m
Gi i: Vi t l i ph ng trỡnh d i d ng:
2 2 2 2 2
2 2
3 4 2 2
x x x x
x x m
- + - +
+ + - + =
S nghi m c a ph ng trỡnh l s giao i m c a th hm s :

2 2 2 2 2
2 2
3 4 2 2
x x x x
y x x
- + - +
= + + - +
v i ng th ng y=m
Xột hm s
2 2 2 2 2
2 2
3 4 2 2
x x x x
y x x
- + - +
= + + - +
xỏc nh trờn D=R
Gi i h n:
limy = +Ơ

nghi m phõn bi t
11
Gi i: Vì ả
4 2
1 0m m- + >
v i m i m do đó ph ng trình t ng đ ng v i:ớ ọ ươ ươ ươ ớ

( )
2 4 2
1
5
4 3 log 1x x m m- + = - +
t Đặ
( )
4 2
1
5
log 1m m a- + =
, khi đó:
2
4 3x x a- + =
Ph ng trình ban đ u có 4 nghi m phân bi t ươ ầ ệ ệ
Û
ph ng trình (1) có 4 nghi m phân ươ ệ
bi tệ
Û
đ ng th ng y=a c t đ th hàm s ườ ẳ ắ ồ ị ố
2
4 3y x x= - +
t i 4 đi m phân bi tạ ể ệ

ì
ï
- < >
ï
=
í
ï
- + < <
ï
î
B ng bi n thiên:ả ế
T đó, đ ng th ng y=a c t đ th hàm sừ ườ ẳ ắ ồ ị ố
2
4 3y x x= - +
t i 4 đi m phân bi t ạ ể ệ
( )
4 2 4 2
1
5
1
0 1 0 log 1 1 1 1 0 1
5
a m m m m mÛ < < Û < - + < Û < - + < Û < <
V y v i ậ ớ
0 1m< <
ph ng trình có 4 nghi m phân bi t.ươ ệ ệ
VD3: Gi i và bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trìnhả ệ ậ ố ệ ủ ươ :
2 3 4 1
x x
m+ = +

Xét hàm s : ố
2
3
1
t
y
t
+
=
+
xác đ nh trên ị
( )
0;D +¥
+ o hàm: Đạ
( )
2 2
1 3 1
' ; ' 0 1 3 0
3
1 1
t
y y t t
t t
-
= = Û - = Û
+ +
+ Gi i h n: ớ ạ
( )
lim 1y t= ® +¥
+ B ng bi n thiên:ả ế

f x g x
é
ì
ï
>
ï
ê
ï
í
ê
ï
<
ê
ï
ï
î
< Û
ê
ì
ï
ê
< <
ï
ï
ê
í
ê
ï
>
ï

0 1
f x g x
a
f x g x
a a a
a
f x g x
é
ì
ï
>
ê
ï
ï
í
ê
ï
£
ê
ï
ï
î
ê
ê
£ Û =
ê
ì
ê
ï
< <

ï
î
Chú ý: C n đ c bi t l u ý t i giá tr c a c s a đ i v i b t ph ng trình m .ầ ặ ệ ư ớ ị ủ ơ ố ố ớ ấ ươ ũ
II. VD minh ho :ạ
VD1: Gi i các b t ph ng trình:ả ấ ươ
a)
1
2
2
1
2
2
x
x x
-
-
£
b)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
- +
- +
+ < +
13
Gi i:
a) Bi n i t ng ng b t ph ng trỡnh v d ng:

ờ
ù
-
ổử ổử ờ
ù
ù
ợ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ
ữ ữ
Ê - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỡ
ỗ ỗ
ờ
ù
ữ ữ
- >
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ù
ờ
ù
ớ
ờ
ù
- -
ờ

3 1 3 1
1 3 1 3
2
10 3 10 3 10 3 1
3 5
3 1 5
0 0
1 3
1 3
1 5
x x x x
x x x x
x
x x x
x x
x x
x
- + - +
+
- + - +
+ Ê + + <
ộ
- < < -
- + -
ờ
+ < <
ờ
- +
- +
ờ

ù
ờ
ù
ớ
ờ
ù
<
ờ
ù
ù
ợ

ờ
ỡ
ù
ờ
< <
ù
ù
ờ
ớ
ờ
ù
>
ù
ờ
ù
ợ
ở
D ng 2 : V i b t ph ng trỡnh:

ạ
ờ
ù
ù
ợ
ờ
ỡ
ù
ờ
<
ù
ờ
ù
ù
ộ
ờ ỡ
ù
ù
>
>
ù
ờ
ù
ờ
ù
ớ
ờ
ờ
ù
ù

ở
ợ
ở
D ng 3 : V i b t ph ng trỡnh:
( ) ( ) ( ) ( )
lg lg ( ).lg ( ).lg
f x g x f x g x
a b a b f x a g x b> > >

ho c cú th s d ng logarit theo c s a hay b.
II. VD minh ho :
14
VD: Gi i b t ph ng trỡnh :
2
49.2 16.7
x x
>
Gi i: Bi n i t ng ng ph ng trỡnh v d ng:
4 2
2 7
x x- -
>
L y logarit c s 2 hai v ph ng trỡnh ta c:
( )
4 2 2 2
2 2 2 2 2
2
log 2 log 7 4 2 log 7 ( ) log 7 2log 7 4 0
x x
x x f x x x

ở
V y b t ph ng trỡnh cú nghi m x>2 ho c
2
log 7 2x < -
BI TON 3: S D NG PH NG PHP T N PH - D NG 1
I. Ph ng phỏp:
M c ớch chớnh c a ph ng phỏp ny l chuy n cỏc bi toỏn ó cho v b t ph ng
trỡnh i s quen bi t c bi t l cỏc b t ph ng trỡnh b c 2 ho c cỏc h b t ph ng
trỡnh.
II. VD minh ho :
VD1: Gi i b t ph ng trỡnh :
( ) ( )
2
2
2 2 2 2 1 2 1
x x x
ổ ử
ữ
ỗ
- < + - -
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
Gi i: i u ki n
2 1 0 0
x
x-
.
t

t t t t t t
t t t t t t
t t t t
x
+ - < + + - - < + -
ộ ự
- - + - < - + - + <
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
- - < - <
- < < <
V y nghi m c a b t ph ng trỡnh l
0;1)
ộ
ờ
ở
VD2: Gi i b t ph ng trỡnh :
( ) ( ) ( )
9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1
x x x
+ + + + - - <
Gi i: Nh n xột r ng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
2
2

1
3 2
x
t
- =
Khi ú b t ph ng trỡnh t ng ng v i:
15

( ) ( )
( )
3 2 4 3
2
1
2 2 1 2 2 1
1 2 1 0 2 1
t t t t t
t
t t t t t
+ - < Û + - - <
Û - + + + < Û - < <
K t h p v i đi u ki n c a t ta đ c: ế ợ ớ ề ệ ủ ượ
( )
0 1 2 3 1 0
x
t x< < Û + < Û <
V y nghi m c a b t ph ng trình là x<0.ậ ệ ủ ấ ươ
VD3: Gi i b t ph ng trìnhả ấ ươ :
( ) ( )
log 5
2

2 2
x x
æ ö æ ö
+ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
=
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Nên n u đ t ế ặ
5 21
2
x
t
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
=
÷

2 2
5 21 5 21 5 21
1 1
2 2 2
x
t t t t
t
x
- +
+ £ Û - + £ Û £ £
æ ö
- + +
÷
ç
÷
ç
Û £ £ Û - £ £
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ
1;1
é ù
-
ê ú
ë û

-
(1)
Bình ph ng 2 v ph ng trình (1) ta đ c:ươ ế ươ ượ
2 2 2 2
2
2 2
2 2
4 4
45 4. 45
4 4
4 4
u u u u
u
u u
u u
+ + > Û + >
- -
- -
(2)
t Đặ
2
2
, 0
4
u
t t
u
= >
-
. Khi đó b t ph ng trình (2) có d ng:ấ ươ ạ

é
>
ê
> > >
ê ê
ê
ê
Û Û Û Û
ê ê
ê
ê
<
ê ê
< >
ê
< <
ê
ë
ë ë
ë
16
V y nghi m c a b t ph ng trỡnh l
( )
5 5
1
log 2; log 20;
2
x
ổ ử
ữ

. Ta cú:
2
' 1 4 0
x
D = - Ê
Do ú:
2
2
' 0
0
4 1
1 4 0
(2) 0
0
1
2 1
2
x
x
x
x
x
b
x
t
t
a
ỡ
ỡ
ỡ

( ) ( )
9 2 5 .3 9 2 1 0
x x
x x- + + +
Gi i: t
3
x
t =
i u ki n t>0. khi ú b t ph ng trỡnh t ng ng v i:
( ) ( ) ( )
2
2 5 9 2 1 0f t t x t x= - + + +
. Ta cú
( ) ( ) ( )
2 2
' 5 9 2 1 4x x xD = + - + = -
.
Do ú f(t)=0 cú 2 nghi m t=9 ho c t=2x+1
Do ú b t ph ng trỡnh cú d ng:
( ) ( )
9 2 1 0t t x- - -
3 9
9 0 2
2 1 0 3 2 1 0 1
2
0 1
9 0 2
3 9
2 1 0 0 1
3 2 1

ù ù
ờ
- - + Ê

ù
ờ ờ
ù ù
ờ
ù
ợ ợ ợ
ờ

ờ ờ
ờ
ờ
ỡ ỡ ỡ
Ê Ê
ù ù ù
- Ê Ê
ờ ờ
Ê
ờ
ù ù ù
ờ
ở
ù
ờ ờ
ớ ớ
ớ
ờ

A
B
ộ
ỡ
ù
>
ù
ờ
ớ
ờ
ù
>
ờ
ù
ợ
>
ờ
ỡ
ù
<
ờ
ù
ờ
ớ
ù
ờ
<
ù
ợ
ở

ù
ờ
ớ
ù
ờ
>
ù
ợ
ở
II. VD minh ho :
VD1: Gi i b t ph ng trỡnh :
2 2
6 2 4.3 2
x x x x+
+ +
Gi i: Vi t l i b t ph ng trỡnh d i d ng:
2
2 .3 4.2 4.3 2 0
x x x x x
+ - -
t
3
2
x
x
u
v
ỡ
ù
=

ộ
ỡ
ù
ộ ộ
ỡ ỡ

ù ù
-
ù
ờ
ù
ù ù
ờ ờ
ớ
ờ
ớ ớ
ờ ờ
ù
ù ù
ờ
-
ù
ờ ờ
ù ù
ù
ợ ợ ợ
ờ

ờ ờ
ờ

2 1
2 2 1 2 4 2
x x
x x
+
+ + < + +
Gi i: i u ki n:
1
2 1 0
2
x x+ -
Vi t l i b t ph ng trỡnh d i d ng:
( )
2
2 2 1 2.2 2 2 1
x x
x x+ + < + +
t
2
2 1
x
u
v x
ỡ
ù
=
ù
ù
ớ
ù

x
x x
x
x
ộ
=
ộ
=
ờ
ờ
ờ
= + = +
ờ
ờ
=
=
ờ
ở
ờ
ở
V y b t ph ng trỡnh cú nghi m
1 1
; / 0;
2 2
x
ộ ử ỡ ỹ
ù ù
ữ
ù ù
ờ

5 1 5 3 2 5 3 2 5 1
x x x x
x x x x
+
- + - - +
- + - - + -
i u ki n:
5 1 0 0
x
x-
. t
5 1 0
5 3
x
x
u
v
ỡ
ù
ù
= -
ù
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ
. B t ph ng trỡnh c bi n i
v d ng:

+ + - Ê
ù ù
ù ù
ợ ợ
ỡ
ỡ
ù
ù
-

ù
ù
ù ù
=
ớ ớ
ù ù
- + =
- = -
ù ù
ù
ợ
ù
ợ
V y b t ph ng trỡnh cú nghi m x=1.
18
CC B T PH NG TRèNH M C GI I B NG NHI U CCH
I. T V N :
Nh v y thụng qua cỏc bi toỏn trờn, chỳng ta ó bi t c cỏc ph ng phỏp c b n
gi i b t ph ng trỡnh m v thụng qua cỏc vớ d minh ho chỳng ta c ng cú th
th y ngay m t i u r ng, m t b t ph ng trỡnh cú th c th c hi n b ng nhi u

2
2 2
1
2 3
x x m m m
u
+ - + +
- =
. Khi ú b t ph ng trỡnh cú d ng:
Ta cú th l a ch n 1 trong 2 cỏch gi i sau:
Cỏch 1: S d ng ph ng phỏp t n ph .
t t=x-m, b t ph ng trỡnh cú d ng:
( )
2 2
2 2 1 0t t mt m m+ + + + - Ê
(2)
+ V i
0t
thỡ (2)
( ) ( )
2 2
2 1 2 1 0f t t m t m m = + + + + - Ê
(3)
V y (2) cú nghi m

(3) cú ớt nh t 1 nghi m
0t
f(t)=0 cú ớt nh t 1 nghi m
0t
1 2

m m m
m
m m
af
m
m
m
s
m
m m
af
m
ộ
ỡ
ù
- Ê Ê
ù
ờ
ộ
ỡ
ù
ộ
ù
ỡ
ù
ờ
ù
ờ
ù
ộ

ờ
ù
ờ
ù
ù
ù ờ
Ê -
ờ
- Ê Ê
ờ
ù
ờ
ù
ù
ở
ờ
- -
ùờ
ù
ù
ờ
ù
ù
ù
ờ

ờ
Ê -
ù
ù

0t Ê

ph ng trỡnh g(t)=0 cú ớt nh t (1) nghi m
1 2
1 2
0
0
0
t t
t
t t
ổ ử
ộ
Ê Ê
ữ
ỗ
ờ
ữ
ỗ
Ê
ữ
ỗ
ờ
ữ
ỗ
Ê Ê
ữ
ỗ
ờ
ố ứ

1
2
1
1 0
1
2
0
2
1
2 1 0
1
(0) 0
2
m
m m m
m
m m
ag
m
m
m
s
m m
m
ag
é
é
ì
ì
ï

ê
í
³
+ - ³
ê³
ê
í
í
ï
ê
ê
ï
ï
ï
ê
ê
Û Û Û Û - £ £
ê
ï
ê
ï
ï
- - £ ê
ïê £
ï
ï
ê
ê
ï
ï

t Đặ
t x m= -
, đi u ki n ề ệ
0t ³
. B t ph ng trình có d ng:ấ ươ ạ
2
( ) 2 2 1 0h t t t mx m= + + + - £
(4)
V y b t ph ng trình có nghi mậ ấ ươ ệ
min ( ) 0( 0)h t tÛ £ ³
(5)
Nh n xét r ng h(t) là 1 Parabol có đ nh t=-1<0, do đó ậ ằ ỉ
min ( ) (0)( 0)h t h t= ³
. Do đó:
2
1
(5) 2 1 0 1
2
m m mÛ + - £ Û - £ £
.V y b t ph ng trình có nghi m khi ậ ấ ươ ệ
1
0
2
m< £
CH 3: H PH NG TRÌNH MỦ ĐỀ Ệ ƯƠ Ũ
BÀI TOÁN 1: S D NG PH NG PHÁP T N PHỬ Ụ ƯƠ ĐẶ Ẩ Ụ
I. Ph ng pháp:ươ
Ph ng pháp đ c s d ng nhi u nh t đ gi i các h m là vi c s d ng các n ph . ươ ượ ử ụ ề ấ ể ả ệ ũ ệ ử ụ ẩ ụ
Tu theo d ng c a h mà l a ch n phép đ t n ph thích h p.ỳ ạ ủ ệ ự ọ ặ ẩ ụ ợ
Ta th c hi n theo các b c sau:ự ệ ướ

x
y
u
v
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
đi u ki n u, v>0. Khi đó h (I) đ c bi n đ i v d ng:ề ệ ệ ượ ế ổ ề ạ
2
2 2
1
1
9 6 1 0
1
9 4 17
3
3
3
8 6
1
6 3 8
2

ï
ï
ï ï ï
Û Û Û Û
í í í í í
-
ï ï ï ï ï
=
+ =
=
ï ï ï ï ï
=
=
î
ï
î
ï ï ï
î
ï ï
î î
V y h có c p nghi m (-1;1)ậ ệ ặ ệ
VD2: Cho h ph ng trìnhệ ươ :
1
1
3 2 2
3 2 1
x y
x y
m m
m m

ï
=
ï
ï
î
đi u ki n uề ệ
3³
và v>0. Khi đó h (I) đ c bi n đ i v d ng:ệ ượ ế ổ ề ạ
20

2
1
mu v m
u mv m
ỡ
ù
+ =
ù
ớ
ù
+ = +
ù
ợ
(II). Ta cú:
1
m
D =

2
1

+
a) H cú nghi m duy nh t khi:

2
0
1 0
1
2 1
3 3 2 1 2 1
1
1 0
0
1
u
v
D
m
m
D
m
u m m
D m
m m
D
m
v
m
D
ỡ
ỡ

ợ
ù ù
>
=
ù ù
ù ù +
ợ
ợ
V y h cú nghi m khi
2 1m- Ê < -
.
a) V i m nguyờn ta cú m=-2 khi ú h cú nghi m l:

1
3 0
3 3
1 1
2 1
1
2 2
x
y
u x
x
v y
y
+
ỡ
ỡ
ù

m
+
ỡ
ù
=
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
a) Gi i h ph ng trỡnh v im=1
b) Tỡm m h cú c p nghi m (x;y) tho món
0
2
y
p
Ê Ê
Gi i: Bi n i h v d ng:
2
. 3
u v m
uv
ỡ
ù
+ =
ù
ớ

ù
ù
ờ
- - = ơắắắắđ
ớ ớ
ờ
ù ù
= = -
- = -
ờ
ù ù
ở ợ
ù
ợ
2
6
1
; 2
sin
5
2 6
; ,
2
2
5
6
cot 0
; 2
2 6
2

ù
ùù
= + = = +
ờ
ù
ùù
=
ù
ùù
ù ù
ờ
ẻ
ớ ớ ớ
= +
ờ
ù ù ù
ở
ù ù ù
=
= + = = +
ù ù ù
ợ
ù ù
ù
ợ
ù
= +
ù
ù
ù

2
2
2
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x
x y y
y x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ -
-
ỡ
ù
ù
ù
- + =
ù
ớ
ù
ù
ù
- =

Khi đó h (I) đ c bi n đ i v d ng: ệ ượ ế ổ ề ạ
2 2
2
4 1(1)
4 4(2)
u uv v
v uv
ì
ï
- + =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ï
î
(II)
gi i h (II) ta có th s d ng 1 trong 2 cách sau:Để ả ệ ể ử ụ
Cách 1: Kh s h ng t do t h ta đ c:ử ố ạ ự ừ ệ ượ
2 2
4 13 3 0u uv v- + =
(3)
t u=tv, khi đó: Đặ
( )
2 2
3
(3) 4 13 3 0
1

1
2
1 1
1 0
4 1
4 2
2
2 4
x
y
u x
x
v y
y
-
ì
ï
ì
ì ì
ï
ï ï
= = ±
ï
- =
=
ï
ï ï
ï ï
Þ Û Û Û
í í í í

2 2
16
1
(5) 2 31 16 0 16 4
1
4
(1)
2
t
u
t t v v
v
t
ì
ï
=
ì
ï
ï
=
ï
ï
Û - - = Û Û = Û = Þ
í í
ï ï
=
= -
ï ï
î
ï

Û Û Û
í í í
ï ï ï
=
=
=
ï ï ï
î
ï
î
ï
î
V y h ph ng trình có 2 c p nghi m (1;2) và (-1;2)ậ ệ ươ ặ ệ
VD5: Gi i h ph ng trìnhả ệ ươ :
2 1
2
2
2
2 3.2 2
2 3 2 2
x x
x
y
y y
+
ì
ï
ï
= = -
ï

u y u y
y u
ì
ï
- = -
ï
ï
Þ - - - = - -
í
ï
- = -
ï
ï
î
ì
ï
=
ï
Û - + - = Û
í
ï
= -
ï
î
+ V i u=y, h ph ng trình t ng đ ng v i:ớ ệ ươ ươ ươ ớ
22
2 2 2
2 1 0
1 1
1

ì ì
ï
ì
ê
ï ï
ï
= =
= =
ï
= =
ï
ê
ï ï
ï
ï
ï ï
ï
î î
ê
Û Û Û Û
í í í
ê
ê
ì ì
ï ï ï
= =
ï ï
- = - - + = = ±
ê
ï ï ï

1
3 1 0
2 3 1 2
y u
y u
u u
u u u
ì
ì
ï
= -
ï
= -
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + =
- = - -
ï ï
ï
î
ï
î
vô nghi mệ
V y h có 3 c p nghi m là (0;1), (1;2) và (-1;2).ậ ệ ặ ệ
VD6: Gi i ph ng trìnhả ươ :
( )

. Khi đó ph ng trình (1) có d ng:ươ ạ

( )
log 3
2 2
2
9 3 2 2 3 3 2.3 3 2.3 3 0
t t t t t t
- = Û - = Û - - =
(3)
t Đặ
3 , 0
t
u u= >
, khi đó ph ng trình (3) có d ng: ươ ạ

2
1(1)
2 3 0 3 3 1 2
3
t
u
u u t xy
u
é
= -
ê
- - = Û Û = Û = Û =
ê
=

1
2
x y
xy
ì
ï
+ =
ï
í
ï
=
ï
î

Khi đó x, y là nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươ
2
2 0X X- + =
vô nghiêm
V i x+y=-3, ta đ c: ớ ượ
3
2
x y
xy
ì
ï
+ = -
ï
í
ï
=

=
ï
í
ï
=
ï
î
V y h có 2 c p nghi m (1;2) và (2;1)ậ ệ ặ ệ
VD7: Gi i h ph ng trìnhả ệ ươ :
3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1(2)
x y y x
x xy x
+ - +
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
+ + = +
ï
ï
î
Gi i: ả
23
Ph ng trình (2)ươ

ê
ï
ï ï
é ì
ï
= ³ -
Û Û Û Û
í í í
ê
ï
ê
ï ï ï
+ - =
+ + = +
í
ê
ï ï ï
ê
ï
î
ï
î
ï
+ - = = -
ï
ê
ê
ï
ï
ë î

(3)
t Đặ
3 1
2
x
t
+
=
vì
1t ³ -
nên
1
4
t ³
( ) ( )
2 3 1
2 2
3 8(1)
1
(3) 6 6 1 0 2 3 8
3 8
1
log 3 8 1 2 log 3 8
3
x
t
t t t
t
t
x y

ï
î
và
( )
( )
2
2
1
log 3 8 1
3
2 log 3 8
x
y
ì
ï
é ù
ï
= + -
ï ê ú
ï
ë û
í
ï
ï
= - +
ï
ï
î
BÀI TOÁN 2: S D NG PH NG PHÁP HÀM SỬ Ụ ƯƠ Ố
I. Ph ng pháp:ươ

( ) 3
t
f t t= +
đ ng bi n trên R. ồ ế
V y ph ng trình (3) đ c vi t d i d ng:ậ ươ ượ ế ướ ạ
( ) ( )
f x f y x y= Û =
. Khi đó h có d ng:ệ ạ
2 2 2
2
2 2
12 3 12
x y x y
x y x y
x x y
x xy y x
ì ì
ì é
ï ï
= =
ï
= = =
ï ï
ï
ï ï
ê
Û Û Û
í í í
ê
ï ï ï

x
x y
y
x y
x y
x y
ì
ï
+ = +
ï
ï
Þ + + = + +
í
ï
+ = +
ï
ï
î
(1)
24
Xét hàm s ố
( )
2 3 3
t
f t t= + +
là hàm đ ng bi n trên R.ồ ế
V y ph ng trình (1) đ c vi t d i d ng: ậ ươ ượ ế ướ ạ
( ) ( )
f x f y x y= Û =
.

ì
ï
=
ï
Û = =
í
ï
=
ï
î
V y h đã cho có nghi m x=y=1.ậ ệ ệ
VD3: Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
( ) ( )
2 2
2 2 2 (1)
2(2)
x y
y x xy
x y
ì
ï
- = - +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î

x y x y
x x y
x y x
ì ì
ì ì
ï ï
= =
ï ï
= = =
ï ï
ï ï
ï ï
Û Û Û
í í í í
ï ï ï ï
= ± = = -
+ = =
ï ï ï ï
î î
ï ï
î î
V y h có 2 c p nghi m (1;1) và (-1;-1)ậ ệ ặ ệ
BÀI TOÁN 3: S D NG PH NG PHÁP ÁNH GIÁỬ Ụ ƯƠ Đ
I. Ph ng pháp:ươ
Nhi u bài toán b ng cách đánh giá tinh t d a trên các:ề ằ ế ự
+ Tam th c b c haiứ ậ
+Tính ch t hàm s mấ ố ũ
+B t đ ng th cấ ẳ ứ
+……..
Ta có th nhanh chóng ch ra đ c nghi m c a h ho c bi n đ i h v d ng đ n gi n ể ỉ ượ ệ ủ ệ ặ ế ổ ệ ề ạ ơ ả

x
y
u
v
-
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
đi u ki n u>0 và ề ệ
1
3
v ³
. H có d ng: ệ ạ
2(1)
1(2)
u v u v
uv
ì
ï
- + + =
ï
ï