Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 75
M > 0 : z

, | g(z) | < M



dz)z(g M




0
0 (2)
Tham số hoá cung

: z = b + e
it
với t [, 0].
Tính trực tiếp






dz
bz
c
1


+


2
iz
)iz(
1z
lim =
iz
32
)iz(
)1z(2
)iz(
1
=








+


+
=
4


=
p
1k
k
)a(sgRe
+

i

=
q
1j
j
)b(sgRe (4.9.4)
Chứng minh
Lập luận tơng tự nh chứng minh hệ quả 1.
Ví dụ Tính tích phân I =

+
0
dx
x
xsin
=

+

Cho đờng cong

R
= {
|
z
|
= R, Rez



} và hàm f giải tích trong nửa mặt
phẳng D = { Rez <

} ngoại trừ hữu hạn điểm bất thờng và
z
lim f(z) = 0.



> 0,
+R
lim



R
dze)z(f
z
= 0 (4.9.5)

a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.

i
i
z
dz)z(fe
i2
1
=

<
k
aRe
k
)a(sgRe (4.9.6)
Chứng minh
Kí hiệu
=
R
[ - i, + i] với R đủ lớn để bao hết các cực điểm của hàm f(z)
Theo công thức (4.7.6)

i2
1




dz)z(fe
z
=
i2




i
i
z
dz)z(fe
i2
1
=

<
k
aRe
k
)a(sgRe
-



R
dze)z(f
zi

Cho + và sử dụng hệ quả 3 chúng ta nhận đợc công thức (4.9.6)
2
n
n2n
)iz(i)1n(2. Tìm miền hội tụ của chuỗi Marlaurin của các hàm sau đây.
a.
)5z2()3z(
19z2z
2
2
+
+
b.
2
z
4
z
+
c.
3
)2z(
1z3

+

d. (1 - z)e
-2z
e. sin

, a = 2 f.
1z4z
2
e
+
, a = 2

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.

w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 77
4. Xác định cấp không điểm của các hàm số sau đây.
a. (z
2
+ 9)(z
2
+ 4)
5

4
2
n
1n
+
, n



*
c. f(
n
1
) = sin
2
n

, n



*6. Tìm miền hội tụ của chuỗi Laurent tại điểm a của các hàm sau đây.
a.
2z
1

, a = 0 và a =

+
+
, 1 <
|
z
|
< 2 b.
)2z)(1z(
z1

+
, 1 <
|
z
|
< 2
d.
)3z)(1z(
z
2
+
, 1 <
|
z
|
< 3 d.
z1
zsin

,


8. Xác định cấp của điểm bất thờng (kể cả

) của các hàm sau đây.
a.
2
5
)z1(
z

b.
3
)1z)(1z(z
2z
+
+
c. sinz +
2
z
1
d. cos
iz
1
+

e.
z
sin
1
f. e

4
)1z(
z
+
d.
n
n2
)1z(
z


e.
)e1(z
1
z2

f.
)4z(z
e
22
z
+
g.
3
z
zcos
h.
2
1
zsin

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 78 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
a.


)2z)(1z(
zdz
,

:
|
z - 2
|
= 2 b.


+
4z
dze
2

: x
2
+ y
2
= 2x
e.


+
)1z)(3z(
dz
5
,

:
|
z
|
= 2 f.


+
1z
dz
10
,

:
|
z


: 4x
2
+ 2y
2
= 3

11. Tính các tích phân xác định sau đây
a.


+

2
0
cos1
d
b.


+

0
2
)cos1(
d
c.




13. Tính các tích phân suy rộng sau đây.
a.

+

+
22
)9x(
dx
b.

+

+
+
dx
1x
1x
4
2
c.

+
++
0
22
)4x)(1x(
dx

d.






dx
x
xsin
2
h.

+
+
0
2
2
dx
x1
xln
i.

+
+
0
22
2
dx
)x1(
xlnx


X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

t
r
a
c
k
.
c
o
m

Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 79
Chơng 5
Biến đổi fourier và Biến đổi laplace
Đ1. Tích phân suy rộng

Trong chơng này chúng ta kí hiệu
F(3, ) = { f : 3 } là đại số các hàm biến thực, trị phức
|| f ||

= Sup
R
| f(t) | và || f ||
1
=

+


} là đại số các hàm khả tích tuyệt đối trên
3

Chúng ta đ biết rằng hàm khả tích tuyệt đối là liên tục từng khúc, dần về không tại vô
cùng và bị chặn trên toàn
3
. Tức là
L
1


CM
0


L

Cho khoảng I


3
và hàm F : I
ì

3



I
ì

3
, F(x, t)


|


(t)
|Định lý
Tích phân suy rộng bị chặn đều có các tính chất sau đây
1. Nếu hàm F(x, t) liên tục trên miền I
ì

3
thì hàm f(x) liên tục trên khoảng I
2. Nếu các hàm F(x, t),
x
F


liên tục trên miền I ì 3 và tích phân

+


3
thì hàm f(x) khả tích địa phơng trên khoảng I


[a, b]

I,

b
a
dx)x(f =

+









dtdx)t,x(F
b
a


Kí hiệu
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o