Mục lục
Ký hiệu toán học 3
Mở đầu 4
1 Cơ sở toán học 7
1.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . 10
1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ . . . . . . . . . . . 12
1.3 Các mệnh đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với
trễ hằng 15
2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ
hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên
1
với nhiễu phi tuyến 24
3.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên
với nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
2
Ký hiệu toán học
R
n
Không gian Euclid n chiều với chuẩn .
x, y Tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈ R
n

(A) min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λ
max
(A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
µ(A) Độ lớn của ma trận A ∈ C
m×n
: µ(A) =
1
2
λ
max
(A
∗
+ A)
∗ Các phần tử đối xứng trong ma trận
C
1
([−h, 0], R
n
) Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0] nhận giá
trị trong R
n
với chuẩn ϕ = sup
−h≤t≤0
{ϕ(t),  ˙ϕ(t)}.
diag{a
1
, . . . , a
n
} Ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính

hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là sự ghép thành của các hệ phương
trình với ma trận trễ với các hệ phương trình đại số nên việc nghiên cứu các
hệ như vậy phức tạp hơn việc nghiên cứu các hệ phương trình vi phân thông
thường. Đặc trưng chính của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là phương
trình đặc trưng của các hệ đó có vô hạn nghiệm nên việc kiểm tra tính ổn định
nghiệm của hệ suy biến có trễ rất khó khăn. Cũng giống như với hệ phương
trình vi phân thông thường, người ta cũng dùng hai phương pháp đã nêu ở trên
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ suy biến có trễ.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng hai phương pháp đó để nghiên cứu
tính ổn định cho một số lớp hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Đó là hệ
phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ hằng và hệ phương trình suy
biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến. Luận văn gồm phần mở đầu, phần
kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba chương với nội dung như sau.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về bài toán ổn định, phương
pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân thường và
hệ phương trình vi phân có trễ. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình
bày lại một số mệnh đề bổ trợ được sử dụng trong việc chứng minh các định lý
ở chương sau.
Chương hai trình bày về điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ phương trình
vi phân suy biến với trễ hằng. Trong đó, Định lý 2.2 sử dụng phương pháp phổ
để đánh giá tính ổn định cho hệ phương trình vi phân trong trường hợp trễ hằng
với tốc độ mũ α. Kết quả của chương này được chúng tôi tham khảo trong bài
báo [13] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Chương ba nghiên cứu mở rộng kết quả trong bài báo [10] về tính α−ổn định
mũ của hệ phương trình vi phân suy biến với trễ biến thiên để đưa ra điều kiện
đủ về tính α−ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có
5
trễ với nhiễu phi tuyến. Điều kiện này được cho dưới dạng các bất đẳng thức
ma trận tuyến tính và các bất đẳng thức này được giải dễ dàng bằng phần mềm
Matlab.

(1.1)
ở đó x(t) ∈ R
n
là véctơ trạng thái, f : R
+
× R
n
→ R
n
là hàm cho trước. Giả thiết
rằng hàm f(·) thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi (t
0
, x
0
) ∈ R
+
× R
n
thì hệ (1.1)
có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t
0
, x
0
) và nghiệm kéo dài được trên [t
0
, +∞).
Nghiệm này được ký hiệu là x(t; t
0
, x
0

= δ
0
(t
0
) >
0 sao cho với nghiệm x(t; t
0
, x
0
) bất kỳ của hệ (1.1), nếu x
0
 < δ
0
thì
lim
t→+∞
x(t; t
0
, x
0
) = 0;
(iii) ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x
0
∈
R
n
, t
0
∈ R
+

hàm toàn phương V (x) = x
T
P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định
8
dương. Hệ (1.2) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Q đối xứng,
xác định dương, phương trình Lyapunov : A
T
P + PA = −Q có nghiệm P là ma
trận đối xứng, xác định dương. Hai kết quả quan trọng này tiêu biểu cho hai
phương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định của một hệ phương trình vi phân.
Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov. Trong luận văn này,
chúng tôi sẽ sử dụng cả hai phương pháp để nghiên cứu bài toán ổn định.
1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov
Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân (1.1). Cho
D là lân cận mở tùy ý của 0. Kí hiệu K là tập hợp các hàm liên tục tăng chặt
a(·) : R
+
→ R
+
, a(0) = 0.
Định nghĩa 1.2 (xem [1, tr. 134]). Hàm V : R
+
× D → R khả vi liên tục, thỏa
mãn điều kiện V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn.
(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃ a ∈ K : V (t, x) ≥ a(x), ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
(ii)

2
x
2
, ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
,
(ii) ∃ λ
3
> 0 :
˙
V (t, x(t)) ≤ −2λ
3
V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov là λ
3
và N =

λ
2
λ
1
.
1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân
có trễ
1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ
Như chúng ta đã biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan
hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của
trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình

(s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, x
t
là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t] của
hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi x
t
 := sup
s∈[−h,0]
x(t + s). Cho
D ⊂ R
n
× C là một tập mở và hàm f : D → R
n
. Một phương trình vi phân có trễ
trên D là phương trình dạng [8]
˙x(t) = f (t, x
t
). (1.3)
10
Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.3) trên
[t
0
− h, t
0
+ σ) nếu tồn tại t
0
∈ R, σ > 0 sao cho x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ σ), R

0
, ϕ, f) = ϕ. Khi t
0
và f đã rõ, ta viết x(t, ϕ) thay cho x(t
0
, ϕ)(t). Sự tồn
tại duy nhất nghiệm toàn cục, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện
ban đầu của hệ (1.3) có thể xem trong [8]. Ở đây, chúng tôi giả thiết rằng hàm
f(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t
0
, ϕ) ∈ R
+
×C, hệ (1.3) có nghiệm
duy nhất đi qua điểm (t
0
, ϕ) và nghiệm xác định trên [t
0
, +∞). Chú ý rằng khi
h = 0, thì hệ (1.3) chính là hệ phương trình vi phân thường (1.1) đã xét trong
mục trước. Ta cũng giả thiết f(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.3) luôn có nghiệm không.
Khi đó, ta cũng có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận tương tự hệ phương
trình vi phân thường. Tương tự, ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov để
nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3). Ta có một tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.3)
như sau.
Định lý 1.5 ([8, 12]). Giả sử f : R
+
× C → R
n
. Nếu tồn tại hàm V : R
+

3
> 0 :
˙
V (t, x
t
) ≤ −2λ
3
V (t, x
t
), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3), thì hệ
11
(1.3) là ổn định mũ và nghiệm x(t
0
, ϕ)(t) của hệ thỏa mãn đánh giá
x(t
0
, ϕ)(t) ≤

λ
2
λ
1
ϕe
−λ
3
(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0

t→∞
x(t) = 0.
Định nghĩa 1.9 ([9]). Hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số α > 0
và γ > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, ϕ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điều
kiện sau
x(t, ϕ) ≤ γϕe
−αt
, ∀t ≤ 0.
12
Chúng ta có một số mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.10 ([9, 14]). Nếu hệ phương trình (1.4) là chính quy và impulse-
free thì tồn tại duy nhất một nghiệm liên tục trên [0, +∞].
Mệnh đề 1.11 ([14]). Hệ suy biến
E ˙x(t) = Ax(t)
là chính quy, impulse - free và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận
P sao cho
EP
T
= P E
T
≥ 0
và
AP
T
+ P A
T
< 0.
1.3 Các mệnh đề bổ trợ
Chúng tôi đưa ra một số mệnh đề sẽ được sử dụng để chứng minh các kết
quả chính trong các chương tiếp theo.


T
M


γ
0
ω(s) ds

≤ γ


γ
0
ω
T
(s)Mω(s) ds

.
13
Mệnh đề 1.14 ([11]). Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M, ma trận
N bất kì có chiều thích hợp và x, y ∈ R
n
, ta có bất đẳng thức sau là đúng
2x
T
Ny ≤ x
T
Mx + y
T

2
, λ, δ
1
, δ
2
là các số nguyên dương sao cho
δ
1
e
λh
2
< 1, và f (t) là một hàm liên tục thỏa mãn
0 ≤ f(t) ≤ δ
1
sup
−h
2
≤s≤0
f(t + s) + δ
2
e
−λt
, ∀t ≥ 0.
Khi đó bất đẳng thức sau là đúng
f(t) ≤

δ
1
e
λh

˜
A
0
x(t) +
˜
A
1
x(t − τ
1
), ∀t ≥ 0 (2.1-a)
x(t) = ϕ(t), ∀t ∈ [−τ
1
, 0] (2.1-b)
với x(t) ∈ R
n
là véc tơ trạng thái của hệ,
˜
A
0
∈ R
n×n
,
˜
A
1
∈ R
n×n
, đối số trễ
rời rạc τ
1


.
Đặt
z(t) = Q
−1
2
x(t) =



z
1
(t)
z
2
(t)



, ∀t ∈ [−τ
1
, 0].
Khi đó Q
2
z(t) = x(t) hay Q
2
˙z(t) = ˙x(t). Thay vào (2.1 − a) ta có
EQ
2
˙z(t) = E ˙x(t) =

1
)
= Q
1
˜
A
0
Q
2
z(t) + Q
1
˜
A
1
Q
2
z(t − τ
1
).
Không mất tính tổng quát, đặt
Q
1
˜
A
0
Q
2
= A
0
:=

1,12
A
1,21
A
1,22



,
Ta có hệ (2.1 − a) tương đương với



I
r
0
r×(n−r)
0
(n−r)×r
0
(n−r)×(n−r)






˙z
1
(t)

z
2
(t − τ
1
)



=



A
0,11
A
0,12
A
0,21
A
0,22






z
1
(t)
z

(t − τ
1
)



. (2.2)
Suy ra hệ này tương đương với hệ







˙z
1
(t) = A
0,11
z
1
(t) + A
0,12
z
2
(t) + A
1,11
z
1
(t − τ

và z(t) = Q
−1
2
ϕ(t) :=



z
1
(t)
z
2
(t)



với mọi t ∈ [−τ
1
, 0].
Chú ý 2.1. Để đảm bảo cho tính chính quy, tính impulse-free, sự tồn tại nghiệm
tương thích với điều kiện ban đầu trong hệ (2.1), ta giả sử det(sE −
˜
A) không
đồng nhất bằng 0, deg det(sE − A
0
) = rank(E) và
A
0,21
z
1

1
2
min
i


λ
i

A
0,22
+ A
∗
0,22



> A
0,21
 + A
1,21
 + A
1,22
.
Chứng minh. Đặt
f
1
(x) := µ(A
0,11
) + x + A

− A
0,21
 − e
τ
1
x
(A
1,21
 + A
1,22
).
Từ điều kiện (i) và (ii) ta thấy f
1
(0) < 0 và f
2
(0) > 0. Mặt khác ta có
f

1
(x) = 1 + τ
1
e
τ
1
x
(A
1,11
 + A
1,12
) > 0,

(x) = 0 có duy nhất một nghiệm
17
dương, kí hiệu là α
3
. Đặt
α
2
:=







α
3
nếu f
2
(0) > 0 và (||A
1,21
||
2
+ ||A
1,22
||
2
) = 0.
∞, trường hợp còn lại .
và α = β − , trong đó β := min{α

2
(x) là hàm giảm nên
f
2
(β) =
1
2
min


λ
1

A
0,22
+ A
∗
0,22



− A
0,21
 − e
τ
1
β
(A
1,21
 + A

A
0,12
A
0,21
A
0,22



− e
−τ
1
λ



A
1,11
A
1,12
A
1,21
A
1,22







λ



I
r
0
r×(n−r)
0
(n−r)×r
0
(n−r)×(n−r)



−



A
0,11
A
0,12
A
0,21
A
0,22







= 0.
Từ đó suy ra
λI
r
v
a
− A
0,11
v
a
− A
0,12
v
b
− e
−τ
1
λ
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) = 0, (2.5)

1
thỏa mãn Re(λ
1
) > −β. Đặt
z
1
:= (λ
1
v
∗
a
v
a
) + (λ
1
v
∗
a
v
a
)
∗
= (λ
1
+ λ
∗
1
)v
∗
a

+ v
∗
a
A
0,12
v
b
+ e
−τ
1
λ
1
v
∗
a
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) + v
∗
a
A
∗
0,11
v

∗
a
A
0,12
v
b
+ v
∗
b
A
∗
0,12
v
a
≤ |v
∗
a
A
0,12
v
b
+ v
∗
b
A
∗
0,12
v
a
|


2
A
0,12
, (2.9)
và
e
−τ
1
λ
1
v
∗
a
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) + e
−τ
1
λ
∗
1
(A
1,11

1
A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
v
a

≤ (e
−τ
1
λ
1
+ e
−τ
1
λ
∗
1
)v
a

2
(A
1,11
 + A

1
)
= e
−τ
1
Reλ
1
e
−τ
1
iImλ
1
+ e
−τ
1
Reλ
1
e
−τ
1
iImλ
1
= e
−τ
1
Reλ
1
2 cos(τ
1
Imλ

(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
)
∗
v
a
≤ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12
). (2.11)
Kết hợp các bất đẳng thức (2.9), (2.10) và (2.11) ta có
z
1
≤ v
∗


A
0,11
+ A
∗
0,11

v
a
, v
a

+ 2A
0,12
v
a

2
+ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12

2
(A
1,11
 + A
1,12
)
≤ 2µ(A
0,11
)v
a

2
+ 2A
0,12
v
a

2
+ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12

+ (v
∗
b
A
0,22
v
b
)
∗
= v
∗
b

A
0,22
+ A
∗
0,22

v
b
. (2.12)
Áp dụng Mệnh đề 1.15 với công thức (2.12) ta có
|z
2
| ≥ v
b

2


a
+ A
1,22
v
b
).
20
Thay A
0,22
v
b
vào đánh giá (2.4), (2.12) và tương tự như trường hợp thứ
nhất ta có
|z
2
| = |v
∗
b
A
0,22
v
b
+ v
∗
b
A
∗
0,22
v
b

b
A
1,21
v
a
− e
−τ
1
λ
1
v
∗
b
A
1,22
v
b

+  − v
∗
a
A
∗
0,21
v
b
− e
−τ
1
λ

τ
1
β
v
b

2
(A
1,21
 + A
1,22
)
≤ v
b

2


λ
min

A
0,22
+ A
∗
0,22



.



,
˜
A
0
=






−1.25 2.25 3
−4.25 0.25 −2
−0.75 −4.25 −2






,
˜
A
1
=







, Q
2
=






1 0 −1
1 0 1
−1 1 0






sao cho
Q
1
EQ
2
=










−5 1 0
0 − 5 1
1 0 8






z(t) +






0 0 0
0.5 0 0
0 1 1








z(t − 1).
Ta có
µ(A
0,11
) + A
0,12
 + A
1,11
 + A
1,12
 = −3.5 < 0
và
1
2


λ
min

A
0,22
+ A
∗
0,22



= 8 > 3 = A

1,21

2
+ A
1,22

2
= 0
22
nên nghiệm của phương trình trên là α
2
= ln(
7
2
) = 1.2527.
Khi đó β = min{α
1
, α
2
} = 1.2527. Ta chọn α = β −  = 1.25 với  là số dương đủ
nhỏ.
Vậy hệ phương trình trên là ổn định mũ với hệ số α như trên.
23
Chương 3
Ổn định mũ hệ phương trình vi
phân suy biến có trễ biến thiên với
nhiễu phi tuyến
Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện đủ về tính α−ổn định mũ hệ phương
trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến. Điều kiện này được
xây dựng dựa trên việc mở rộng bài báo [10] khi thêm nhiễu phi tuyến.

1
≤ h(t) ≤ h
2
và
˙
h(t) ≤ µ.
24
Các nhiễu phi tuyến f, g liên tục, nhận giá trị trong R
n
, thỏa mãn f (t, 0) = 0 và
g(t, 0) = 0 sao cho tồn tại U
1
, U
2
∈ R
n×n
thỏa mãn điều kiện Lipschitz







f
T
(t, x(t))f(t, x(t)) ≤ x
T
(t)U
T

P
T
+ P A + Q + Q
1
+ Q
2
+ 2αP E + X
1
E + E
T
X
1
+ 
1
U
T
1
U
1
,
Ξ
12
= P D − X
1
E + E
T
X
T
2
+ Y

2
− X
2
E − E
T
X
T
2
− Z
2
E − E
T
Z
T
2
+ 
2
U
T
2
U
2
,
Ξ
210
= D
T
[h
2
W

2
),
Ξ
1010
= −[h
2
W
1
+ (h
2
− h
1
)W
2
],
γ
21
=
e
2αh
2
− 1
2α
, γ
22
=
e
2αh
2
− e