Chơng 3. Tích Phân Phức
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 55
giải tích trong miền D sao cho u = Ref hoặc u = Imf.
Chứng minh
Do hàm u điều hoà trong miền D đơn liên nên dạng vi phân
= dyudxu
xy

+


là dạng vi phân đúng. Suy ra tích phân của nó không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân.
Cố định a D với mọi z D, hàm
v(x, y) =


+


z
a
xy
yduxdu (3.7.2)
thuộc lớp C
2
trong miền D và thoả mn điều kiện Cauchy - Riemann

x
v

= -

y
u

= - 2y = -
x
v

và u =
yyxx
uu


+


= 0
Tìm hàm v điều hoà liên hợp với hàm u
v(x, y) =


dxv
x
=

ydx2 = 2xy + (y)
Đạo hàm theo biến y

y
v


2
0
it
dt)Rea(u
2
1
(3.7.3)
Chứng minh

Tơng tự nh trên u = Ref với f là hàm giải tích. Theo công thức (3.6.1) với n = 0
u(a) = Ref(a) =


+

2
0
it
dt)Rea(fRe
2
1



Hệ quả 3
Hàm u điều hoà đạt trị lớn nhất, trị bé nhất trên D.
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

i.t
i.t
i.t
Re
Re
u(Re
2
0
dt
a
a
)
2
1
+ iv(0) (3.7.4)
Chứng minh
Với mọi a B(0, R)
f(a) =
dz
a-z
f(z)
i2
1
B



=



a
R
2
B(0, R) suy ra
0 =
dz
a-z
f(z)
i2
1
B
1



=



i.t
i.t
i.t
e
e
f(Re

2
0
dt
Ra

dt
Ra
a
)
2
1
=



i.t
i.t
e
R-
f(Re

2
0
dt
Ra
)
2
1

0 =


+

i.t

1

Suy ra
f(0) =


+

i.t-
-i.t
i.t
e
e
f(Re

2
0
dt
aR
aR
)
2
1
và


+
=

i.t

dt
aR
aR
)
2
1
])0(f)0(f[
2
1
)a(f

Hàm
S(a, t) =
a
R
aR

+
i.t
i.t
e
e

gọi là
nhân Schwartz
. Theo công thức (3.7.4) nếu biết giá trị trên biên của phần thực u
và giá trị v(0) thì suy ra đợc giá trị của hàm f bên trong hình tròn B(0, R).
Biến đổi
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o


+
+



Hàm
P(a, t) = ReS(a, t) =
2it
22
|
a
Re
|
|a|R
+


gọi là
nhân Poisson
. Từ công thức (3.7.4) suy ra
u(a) = Ref(a) =
dt
|aRe|
|a|R
)(Reu
2
1
2it
22

, 0 y 1
3.


zdzImz với là đờng gấp khúc nối các điểm 1, i, -1 và -i
4.


+ dz)zzz(
2
với là cung tròn | z | = 1, 0 arg z
5.



dz
1z
z
với là đờng ellipse x
2
+ 4y
2
= 4

Sử dụng định lý Cauchy để tính các tích phân sau đây.
6.


zdzsinz
với là đờng cong bất kì nối hai điểm 0 và i

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

a
c
k
.
c
o
m
Chơng 3. Tích Phân Phức
Trang 58 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
11.


+1z
dz
2
với

là đờng cong kín không đi qua điểm

i


Sử dụng công thức tích phân Cauchy để tính các tích phân sau đây.
12.



i2z
dzz
2

z + 2i
|
= 1
14.


+
z2z
dz
2
với

là các đờng tròn
|
z
|
= 1,
|
z - 2
|
= 1 và
|
z
|
= 3
15.


+
1z

2
với

là đờng tròn
|
z
|
= 3
18.


+
3
z
)iz(
dzze
với

là đờng tròn
|
z + i
|
= 1
19.


+
)3z()1z(
shzdz
2

với

là đờng ellipse 4x
2
+ y
2
- 2y = 0


Tìm hàm giải tích biết phần thực, phần ảo.
22. u(x, y) = x
3
- 3xy
2
23. u(x, y) = x
2
- y
2
+ 5x + y -
22
yx
y
+

24. u(x, y) = arctg
y
x
25. u(x, y) =
22
yx

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m

Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 59
Chơng 4
CHUỗI hàm PHứC và Thặng d
Đ1. Chuỗi hàm phức

Cho dy hàm (u
n
: D )
n

. Tổng vô hạn

+
=0n
n
)z(u
= u
0
(z) + u
1
(z) + + u

)z(u
gọi là tổng riêng
thứ n và hàm R
n
(z) = S(z) - S
n
(z) gọi là phần d thứ n của chuỗi hàm phức.
Chuỗi hàm phức gọi là
hội tụ đều
trên miền D đến hàm S(z), kí hiệu
)z(S)z(u
D
0n
n
=

+
=
nếu
> 0, N > 0 sao cho z D, n N

| S(z) - S
n
(z) | <

Tiêu chuẩn Weierstrass
Nếu có chuỗi số dơng

+
=0n

Do tính hội tụ đều
N > 0 : n > N , z D

| S(z) - S
n
(z) | < / 3 và | S(a) - S
n
(a) | < / 3
Do tính liên tục
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m