http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao ñề ) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số 2)2()21(
23
++−+−+= mxmxmxy (1) m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2. Tìm tham số m ñể ñồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với ñường thẳng d: 07
=
+
+
yx góc
α
,
biết
26
1
cos =
α
.
Câu II (2 điểm)
1. Giải bất phương trình:
54
4
2
dx
x
x
.
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh A, AB
2a= . Gọi I là trung ñiểm của BC, hình
chiếu vuông góc H của S lên mặt ñáy (ABC) thỏa mãn:
IH
IA
2
−
=
, góc giữa SC và mặt ñáy (ABC) bằng
0
60 .
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung ñiểm K của SB tới (SAH).
Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thay ñổi và thỏa mãn: xyzzyx ≤++
222
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+
121 xaxaxaaxxx ++++=+++ . Hãy tìm giá trị của
6
a .
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng
11
2
và trọng tâm G
thuộc ñường thẳng d: 043
=
−
+
yx . Tìm tọa ñộ ñỉnh C.
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) 01
=
+
−
+
zyx ,ñường thẳng d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
1
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Khối A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.
Câu ý Nội dung Điểm
1(1ñ)
Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x
3
− 3x
2
+ 4
a) TXĐ: R
b) SBT
•Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
•Hàm số ñạt cực ñại tại x = 0, y
CĐ
= y(0) = 4;
Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= y(2) = 0.
0,25
c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0)
Tâm ñối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1ñ)
Tìm m
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn
α0,5
I(2đ)
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình:
1
/
ky = (1)
và
2
/
ky = (2) có nghiệm x
⇔
=−+−+
=−+−+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx
⇔
http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9522
⇔
≥−−
≥−−
034
0128
2
2
mm
mm
⇔
≥−≤
≤
−
≤
−≤
−
≤−
⇔
≤
−
≥−
−
⇔
)2(3
4
2
log2
)1(2
4
2
log3
. Giải (1): (1)
5
16
3
8
0
4
165
0
4
83
8
4
2
4 ≤≤⇔
≤
−
−
≥
−
−
⇔≤
−
≤
−
−
≥
−
−
⇔≤
−
≤⇔ x
x
x
x
x
x
x
0,25
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
4 4 8 16
; ;
17 9 3 5
xxxxx
π
π
kx +−=⇔
6
0,25 •
)(
2
3
2
2
3
2
01cos2 Zk
kx
kx
x ∈
0,25
III(1đ)
1(1ñ)
Tính tích phân.
http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9523
I
( )
∫
++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
tdt
t
ttt
dt
t
ttt
∫∫ ∫
−+−=
−+−
=
−+−
4
2
2
4
2
4
2
2
23
2
2
24
3
=
4
1
2ln2 − 0,25
(1ñ) Tính thể tích và khoảng cách •Ta có ⇒−= IHIA 2 H thuộc tia ñối của tia IA và IA = 2IH
BC = AB
2 a2
=
; AI=
a
; IH=
2
IA
=
2
aAH = AI + IH =
2
3a IV •
6
15
2
15
)2(
2
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9524• )(SAHBI
SHBI
AHBI
⊥⇒
⊥
⊥Ta có
22
1
)(;(
2
1
))(;(
2
1
))(;(
))(;( a
.
Vì 0;;
>
zyx , Áp dụng BĐT Côsi ta có:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
222
222
++≤ =
++=
xyzxyz
222
4
1
+++++≤
xyz
zyx
xyz
xyzxyz
yxxzzy
222
2
1
2
1111111
4
1
2
1
2
1
=
21
=−−=++ yxdyxd
1
d có véctơ pháp tuyến
)1;1(
1
=n và
2
d có véctơ pháp tuyến )1;1(
2
=n
• AC qua ñiểm A( 3;0) và có véctơ chỉ phương
)1;1(
1
=n
⇒
phương trình
AC: 03
=
−
−
yx .
⇒∩=
2
dACC Tọa ñộ C là nghiệm hệ: )4;1(
022
03
−−⇒
02
2
3
01
−⇒
=−−+
=++
B
y
x
yx
B
B
BB0,25 • Gọi phương trình ñường tròn qua A, B, C có dạng:
022
22
=++++ cbyaxyx .
Thay tọa ñộ ba ñiểm A, B, C vào pt ñường tròn ta có:
−=+
3
2
1
1782
12
96
c
b
a
cba
ca
ca
⇒
Pt ñường tròn qua A, B, C là:
0342
22
=−+−+ yxyx . Tâm I(1;-2) bán kính R =
22
0,5
2(1ñ)
Viết phương trình mặt phẳng (P)
•Gọi Ocban ≠= );;( là véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c
7
0,5
•TH1:
c
a
=
ta chọn 1
=
=
ca ⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0
TH2: ca 7
=
ta chọn a =7; c = 1 ⇒Pt của (P):7x+5y+z+2=0 0,25
VII.a
(1 ñ)
Tìm hệ số của khai triển
• Ta có
4
6
x là:
6
14
6
2 C
Trong khai triển
(
)
12
21 x+ hệ số của
6
x là:
6
12
6
2 C
Trong khai triển
(
)
10
21 x+ hệ số của
6
x là:
6
10
6
2 C
VI.b(2đ)
1(1ñ)• Gọi tọa ñộ của ñiểm )
3
;
3
1();(
CC
CC
yx
GyxC +⇒ . Vì G thuộc d
)33;(3304
33
13 +−⇒+−=⇒=−+
+⇒
CCCC
CC
xxCxy
yx
•Đường thẳng AB qua A và có véctơ chỉ phương
11
);(.
2
1
=
−−+
⇔=⇔==
∆
CC
ABC
xx
ABCdABCdABS
=
−=
⇔=−⇔
5
17
1
1165
C
C
C
x
x
x
)(
−=
P
n và d có véc tơ chỉ phương
)
3;1;1(. −−=u
)4;2;1()( IPdI
⇒
∩
=
• vì
∆
⇒
⊥
∆
⊂
∆
dP);( có véc tơ chỉ phương
[
]
)2;2;4(;
)(
−−==
∆
unu
P
)1;1;2(2
−
Gọi
11
)()( dQPd ⇒∩= có vécto chỉ phương
[
]
)1;1;0(3)3;3;0(;
)()(
==
QP
nn và
1
d qua I
+=
+=
=
⇒
tz
ty
x
ptd
4
2
1
:
1
0,5
• TH1:
1
7
1
5
2
1
:)7;5;1(3
−
−
=
−
=
−
−
∆⇒⇒=
zyx
ptHt
TH2:
1
1
1
1
2
1
:)1;1;1(3
+
= ta có phương trình: 0)1)(1(1
23
=++−⇔= wwww 0,5
http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.9527
31
2
31
1
01
1
2
i
w
i
w
w
ww
w
• Với
011 =⇔=
−
+
⇒= z
z
i
iz
w
• Với
333)31(
2
31
i
z
i
izi
w
Vậy pt có ba nghiệm
3;0 == zz và 3−=z .
0,5
http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao ñề ) A. PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH
Câu I (2 ñiểm).
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x
4
– 4x
2
+ 3
2. Tìm m ñể phương trình
4 2
e x
x
−
→
+ − −
−
2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi , BAD
α
∠ =
. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại hợp với ñáy một góc
β
. Cạnh SA = a. Tính diện tích xung quanh
và thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu IV (1 ñiểm). Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )
a b c abc a b c b c a c a b
+ + + ≥ + + + + +
B. PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va (3 ñiểm). Chương trình cơ bản
1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ñường thẳng
: 2 3 0
x y
∆ + − =
và hai ñiểm A(1; 0), B(3; - 4).
=
= +
= −
.
Lập phương trình ñường thẳng ñi qua M(1; 0; 1) và cắt cả d
1
và d
2
.
3. Tìm số phức z thỏa mãn:
2
2 0
z z
+ =
Câu Vb. (3 ñiểm). Chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng tọa ñộ cho hai ñường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
= 13 và (C
2
): (x - 6)
d y t
z t
=
= +
= −
.
Lập phương trình mặt cầu có ñường kính là ñoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
.
3. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện
1 2 1
z i
+ + =
, tìm số phức z có modun nhỏ nhất.
http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
y
→±∞
= +∞Sự biến thiên : y’ = 4x
3
- 8x
y’ = 0
0, 2
x x⇔ = = ±
Bảng biến thiên x
−∞
2
− 0
2
+∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
+∞
025
025
025 025
2 1 hay m = 1 hoặc 2<m<9 http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2 2
1 1
Viết lại bất phương trình dưới dạng
5 1 5 1
2 2 0
2 2
x x
− +
+ − ≤
Đặt t =
2
2 2 1 0
t t
⇔ − + ≤2 1 2 1
t
⇔ − ≤ ≤ +5 1 5 1
2 2
5 1
2 1 2 1
2
log ( 2 1) log ( 2 1)
x
x
+ +
+
⇔ − ≤ ≤ +
⇔ − ≤ ≤ +
2
– x(y - 1) – 2y – 2y
2
= 0
( 2 )( 1) 0
2 0( 1 0)
x y x y
x y do x y
⇔ − + + =
⇔ − = + + ≠2
2 1
4 4 0
2
x x
x x
x
⇒ = −
⇔ − + =
⇔ =
025
025
x
x x
x x
e x e x
x x
x
x
e x
x x x x x
x x
x x x x x
− −
→ →
−
→ →
→ →
+ − − − + −
= + +
−
−
− −
= + + + + + +
− −
= + + + + + + =
(Định lí 3 ñường vuông góc) do ñó SIA
β
∠ =
S AI = a.cot
β
, AB = AD =
cot
sin
a
β
α
, SI =
sin
a
β2 2
cot
. .sin
sin
ABCD
a
S AB AD
β
α
α
2
cot 1
.(1 )
sin sin
a
β
α β
+
025
025
025
025
1 IV
Ta có
Do ñó
3
cos cos cos
2
A B C
+ + ≤
025
025 05
3
1 1
Gọi I là trung ñiểm của AB, J là trung ñiểm của IB. Khi ñó I(1 ; -2), J(
5
; 3
2
−
)
Ta có : 3 ( ) 2 2 2 4
MA MB MA MB MB MI MB MJ
⇔
− − =
=
vậy M(
19 2
;
5 5
−
)
025
025
025 025 Va
.
Gọi
( ),( )
α β
là các mặt phẳng ñi qua M và lần lượt chứa d
1
và d
2
. Đường thẳng cần tìm
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) à ( )
v
α β
Ta có
(0;0; 3), ( 1;1;0)
MA MB= − = −
1 1 2 2
1
; (2;1;0), ; (1;1;4)
3
n MA u n MB u
= = = − =
là các vecto pháp tuyến của
Gọi z = x + y.i. Khi ñó z
2
= x
2
– y
2
+ 2xy.i,
z x yi
= −
2 2 2
2 2
2 0 2 2( 1) 0
2 0
( 1; 3),( 0; 0),( 2; 0)
2( 1) 0
z z x y x x yi
x y x
x y x y x y
x y
+ = ⇔ − + + − =
− + =
⇔ ⇔ = = ± = = = − =
− =
Vậy có 4 số phức thỏa mãn z = 0, z = - 2 và z = 1
Từ (1) và (2) ta có hệ
2 2
2 2
13
(2 ) (6 ) 25
x y
x y
+ =
+ + − =
Giải hệ ta ñược (x = 2 ; y = 3) ( loại) và (x =
17
5
−
; y =
6
5
). Vậy M(
17
5
−
;
6
5
)
Gọi M (1- t ; 2t ; -2 + t)
1
d
∈
, N(t’ ; 1+3t’ 1- t’)
2
d
∈
Đường thẳng d
1
có vecto chỉ phương là
1
( 1;2;1)
u = −
, ñường thẳng d
2
− + =
⇔
− − =
=
3
'
5
7
5
t
t
=
⇔
=
2 14 3
; ;
5 5 5
− −
), N(
3 14 2
; ;
5 5 5
).
Mặt cầu ñường kính MN có bán kính R =
2
2 2
MN
= và tâm I(
1 14 1
; ;
10 5 10
−
) có phương tr
ình
2 2 2
1 14 1 1
( ) ( ) ( )
10 5 10 2
x y z
− + − + + = Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là ñiểm biểu diễn số phức z.
2 2
1 2 1 ( 1) ( 2) 1
z i x y
+ + = ⇔ + + + =
Đường tròn (C) :
2 2
( 1) ( 2) 1
x y
+ + + =
có tâm (-1;-2)
Đường thẳng OI có phương trình y = 2x
Số phức z thỏa mãn ñiều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi ñiểm
Biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa ñộ O nhất, ñó chính là một trong hai
giao ñiểm của ñường thẳng OI và (C)
Khi ñó tọa ñộ của nó thỏa
mãn hệ
2 2
1 1
1 1
2
5 5
,
2 2
025
025
025
025
http://tuhoctoan.net
I HC S PHM H I THI TH I HC CAO NG 2011
KHOA TON-TIN
MễN: TON- KHI A
Thi gian lm bi: 180 phỳt ( khụng k thi gian giao ) A. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im )
Cõu I: (2,0 im) Cho hm s:
2 1
1
x
y
x
ộ ự
+ - + - - = + -
ờ ỳ
ở ỷ
.
Cõu III. (1,0 im) Tớnh tớch phõn
( )
1
2
0
ln 1
I x x x dx
= + +
ũ
.
Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú
AB AD a
= =
,
3
AA '
2
a
= , gúc
BAD
bng
0
60
. Gi
M, N ln lt l trung im ca cnh AD v AB. Chng minh AC vuụng gúc vi mt phng (BDMN) v tớnh th
2
: x + y 6 = 0. Trung im mt cnh l giao im ca d
1
v tia Ox. Tỡm
ta cỏc nh ca hỡnh ch nht.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im I(1;1;1) v ng thng d:
14 5
4 1 2
x y z
- +
= =
-
. Vit phng
trỡnh mt cu (S) tõm I v ct d ti hai im A, B sao cho di on thng AB bng 16.
Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm h s cha x
2
trong khai trin:
4
1
2
n
x
x
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
, bit n l s nguyờn dng tha món:
2 3 1
1
log log 0
2
,( )
0
x y
m R
x y my
ỡ
- =
ù
ẻ
ớ
ù
+ - =
ợ
. Tỡm m h cú nghim.
Ht
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh:
http://tuhoctoan.net
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613 091.5657.952I HC S PHM H IP N THANG IM
)
(
)
;1 1;v
-Ơ +Ơ
0,25
Gii hn:
lim lim 2
x xđ+Ơ đ-Ơ
= =
; tim cn ngang: y = 2
1 1
lim , lim
x x
+ -
đ đ
= +Ơ = -Ơ
; tim cn ng: x = 1
0,25
Bng bin thiờn: 0,25
ã
th:
0,25
2
1,0
Gi M(m;
), B(2m-1; 2)
0,25
IA =
2 1
2 2
1 1
m
m m
- =
- -
, IB =
2 2 2 1
m m
- = -
0,25
1
. 2
2
IAB
S IA IB
D
= =
.
Vy din tớch tam giỏc IAB khụng i khi M thay i trờn (C).
0,25
II
1
1,0
2 2 2 2 8
1
2 os2 os2 . os4
2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
- - + +
+ =
- =
0,25
3
1 1
os os2
8 2
c x c x
= =
0,25
http://tuhoctoan.net
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613 091.5657.952I HC S PHM H I( )
ai
6
x
Ê Ê
t u =
( )
3
1
x
+ , v =
3
(1 )
x
- ; u,v
0
H thnh:
2 2
3 3
2
1 ( ) 2
u v
uv u v uv
ỡ
+ =
ù
ớ
+ - = +
ù
ợ
u v
u
u v
ỡ
+ =
ù
ị ị = +
ớ
- =
ù
ợ
0,25
2
2
xị =
0,25
III
1,0
t
( )
2
2
2
2 1
ln 1
2 3 2
2
0
1
1 2
2
ln 1
2 2 1
0
x x x
I x x dx
x x
+
= + + -
+ +
ũ
0,25
( )
1
1
2 2 1
0
2
0
0
1 1 1 3
ln 3 ln( 1)
2 2 4 4 1
3 3
. t
1 3
tan , ;
2 2 2 2
x t t
p p
ổ ử
+ = ẻ -
ỗ ữ
ố ứ
3
6
2 3 3
3 9
J dx
p
p
p
= =
ũ
0,25
Vy I =
3
ln 3
4
-
3
12
3, ' AA '
2
a
CC = =
0,25
http://tuhoctoan.net
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952I HC S PHM H I~ '
'
AO SA
SAO ACC
AC CC
Þ = Þ D D
' ~
ACC AIO
Þ D D
(I là giao đim ca AC’ và SO)
'
SO AC
Þ ^
(1)
Mt khác
( ' ') '
BD ACC A BD AC
AA' '
7
32
BDMN SABD SA MN
a
V V V= - =
0,25
V
1,0
Do a, b, c > 0 và
2 2 2
1
a b c
+ + =
nên a, b, c
(
)
0;1
Î
Ta có:
(
)
2
2
5 3
3
ax
0;1
M
(
)
f x
=
2 3
9
0,25
0,25
( ) ( ) ( )
2 3
3
f a f b f cÞ + + £
Þ
đpcm
ng thc xy ra
1
3
a b cÛ = = =
0,25
VI.a
1
1,0
I
2
3 0
2
1
3 2
x y
x
y
x y
+ - =
ì
=
ì
ï
Û
í í
=
- + =
î
ï
î
hoc
4
1
x
y
=
ì
í
= -
R
Þ =
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 81
C x y z
- + - + - =
0,25
VII.a
1,0
http://tuhoctoan.net
Gv: Trn Quang Thun Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952I HC S PHM H I
Ta có:
( )
2
2 3 1
0 1 2
0,25
7
14 3
7
4
7
4
0
1 1
2
2
k
k
k
x C x
x
-
æ ö
+ =
ç ÷
è ø
å
0,25
S hng cha x
2
ng vi k tha:
14 3
2 7
Þ
AB:
3 4 32 0; : 4 3 1 0
x y AD x y
- + = + + =
0,25
Gi I là tâm hình vuông
Þ
I(
1 9
; )
2 2
-
(
)
3; 4
CÞ
: 4 3 24 0; : 3 4 7 0
BC x y CD x y
Þ + - = - + =
0,25
KL: 0,25
2
1,0
Ta có: A, B nm khác phía so vi (P).Gi B’ là đim đi xng vi B qua (P)
Þ
B’(-1; -3; 4)
k: x
¹
0, y > 0
( )
( )
2
3 3
3 3
3
2
3
2
2
3 2
1
log log
log log 0
2
0
0
, 1
, 2
0
x y
x y
x y ay
x y my
y x
y x
y y
+
>0 ,
"
y > 0
0,25
Do đó pt f(y) = a có nghim dng khi a>0 0,25
Vy h có nghim khi a > 0 0,25
http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN-TIN
ĐỀ THI THỬ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2011
Môn thi : TOÁN - khối A.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao ñề)
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
=
.
Câu III (2,0 ñiểm).
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn
2 2
4 3
x xy y .
+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:
3 3
8 9
M x y xy
= + − .
2. Chứng minh
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
với mọi số dương
; ;
a b c
.
x x x
+ + + > −
.
2. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)
y x m x m m x m m
= − + + + + − +
có cực ñại và cực tiểu.
Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại và cực tiểu khi ñó.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) , cho ñiểm
1
3;
2
M
. Viết phương trình chính
tắc của elip ñi qua ñiểm M và nhận
(
)
1
3;0
F − làm tiêu ñiểm.
Câu VI.b (2,0 ñiểm).
1. Giải hệ phương trình
2 2
1
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn thi : TOÁN - khối A.
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
Tập xác ñịnh:
{
}
\ 1
D R
= −
.
0,25 ñ
Sự biến thiên:
• Giới hạn và tiệm cận:
lim 1; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là TCN.
( ) ( )
1 1
+
1
1
y
y'
x
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
(
)
(
)
; 1 , 1;
−∞ − − +∞
Và không có cực trị.
0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ)
Đồ thị: ĐT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và ñối xứng qua
(
)
1;1
− .
4
2
-2
-5 5
x = -1
x
−
⇔ = + +
+
có 2 nghiệm PB khác
1
−
.
0,25 ñ
Câu I
(2,0ñ) Ý 2
(1,0ñ)
Hay:
(
)
2
2 4 0
f x kx kx k
= + + + =
có 2 nghiệm PB khác
1
−
0,25 ñ
http://tuhoctoan.net
0
k
∀ <
.
0,25 ñ
KL: PT ñường thẳng cần tìm là
1
y kx k
= + +
với
0
k
<
.
0,25 ñ
Chú ý: Có thể chứng minh ñồ thị ( C) có I là tâm ñối xứng, dựa vào
ñồ thị ( C) ñể kết luận kết quả trên.
2 3 2
2
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin )
3 3 0
2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ + − − + + − − =
⇔− − − − + − =
.
0,50 ñ 0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ) ,
3
2
x k
k
x k
π
π
π
= +
⇔ ∈ Ζ
=
0,25 ñ
Ta có :
2 2
9 3
X X X− − = ⇔ = ±
0,25 ñ
Vậy ngiệm của PT là
3 3
2 31, 2 31
x y= + = − −
Hay
3 3
2 31, 2 31
x y= − = − + .
0,25 ñ
Câu II
(2,0ñ)
Ý 2
(1,0ñ)
Khi:
3
xy
= −
, ta có:
3 3
4
x y
− = −
và
(
)
2 30
5
t ≤
0,25 ñ
• Khi ñó
( ) ( )
3
3 3
8 9 2 6 2 9
M x y xy x y xy x y xy
= + − = + − + −
(
)
3 2
3 6 9
t t t f t
= − − + + =
0,25 ñ
Câu III
(2,0ñ)
Ý 1
(1,0ñ)
• Xét hàm f(t) với
2 30 2 30
5 5
t ;
ab
= − ≥ − = −
+ +
(1)
0,50 ñ
Tương tự:
2
1
2
b
b bc
b c
≥ −
+
(2),
2
1
2
c
c ca
c a
≥ −
+
(3).
0,25 ñ
Ý 2
(1,0ñ)
Cộng (1), (2), (3), ta có:
( )
0,25 ñ
Mặt khác:
2 2 2
1 1 1 6
'
4
'
a
AA
AH A A AM
= + ⇒ = .
0,25 ñ
Câu IV
(1,0ñ)
KL:
3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V = .
0,25 ñ
Gọi d là ĐT cần tìm và
(
)
(
)
;0 , 0;
0,25 ñ
Khi
8
ab
= −
thì
2 8
b a
+ = −
. Ta có:
2
4 4 0 2 2 2
b b b+ − = ⇔ = − ± .
Với
(
)
(
)
2
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
= − + ⇒ − + + − =
0,25 ñ
Câu Va
(1,0ñ)
Với
(
⇔ + > − ⇔ + − >
0,25 ñ
Vậy:
18
x
< −
hay 2
x
<
0,25 ñ
Ý 1
(1,0ñ)
So sánh với ñiều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6
x
< <
. 0,25 ñ
Ta có
2 2
' 3 6( 1) 2( 7 2)
y x m x m m
= − + + + +
0,25 ñ
Câu VIa
(2,0ñ)
2 2
( ) ( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
r x m m x m m m
= − − − + + + +
0,25 ñ
Toạ ñộ ñiểm cực trị là nghiệm của hệ
'( ) 0
( )
'( ). ( ) ( )
y x
y r x
y y x q x r x
=
⇒ =
= +
Vậy phương trình ñường thẳng cần tìn là
2 3 2
2 2
( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
y m m x m m m
= − − − + + + +
Ta có:
4 2 2 2
3
4 3 0 1( ), ( )
4
b b b th b kth
− − = ⇔ = = −
0,25 ñ
Câu Vb
(1,0ñ)
Do ñó:
2
4
a
=
. KL:
2 2
1
4 1
x y
+ =
0,25 ñ
(
)
(
)
2 2
3
x
x x
x
+
= ⇔ = ⇔ =
.
0,25 ñ
Gọi M(a;b) là một ñiểm thoả mãn ñề bài. Khi ñó ñường thẳng qua M
có dạng
( )
y k x a b
= − + Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc cho ta hệ
2
1
1
1 ( )
1 ( ) (1)
1
1
1
1
0,25 ñ
Lấy (1) – (2) ta có
[ ]
1 1
(1 )
1 2
k a b
x
= − +
−Kết hợp với (*) cho ta
[ ]
2
2 2 2
1
1
(1 )
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
1
2
k
k
k a b
a k a b k b
k
sao cho
1 2
. 1
k k
= −http://tuhoctoan.net
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
========================================================================
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5
Hay
[ ]
2
2 2
2
2 2
1 0
1
4
1 ( 1) 4
( 1)
1 0
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
a
a
− + =
trừ bỏ ñi 4 giao ñiểm của ñường tròn này với 2 ñường
thẳng : x = 1 và –x + y + 1 = 0.
0,25 ñ
HẾT
Copyright: Tài liệu đại học ©