CÁC TẬP HỢP SỐ 170
HOẠT ĐỘNG 1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ Q
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:
Tìm hiểu nguyên nhân phải mở rộng tập số hữu tỉ không âm Q
+.
NHIỆM VỤ 2:
Trình bày xây dựng tập số hữu tỉ Q, khái niệm số hữu tỉ dương, số hữu tỉ âm.

HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU CÁC PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG Q
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:
Phát biểu định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân và chia các số hữu tỉ.
NHIỆM VỤ 2:
Phát biểu định nghĩa các quan hệ: <, ≤, >, ≥ trong tập Q.

HOẠT ĐỘNG 3. TÌM HIỂU ĐỊNH NGHĨA SỐ NGUYÊN VÀ SỐ THẬP PHÂN
TRONG Q
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:
Phát biểu định nghĩa số nguyên, tập số nguyên.
NHIỆM VỤ 2:
Phát biểu định nghĩa số thập phân trong Q.

ĐÁNH GIÁ
1. Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β, biết rằng:
CÁC TẬP HỢP SỐ


5
và β =
−
7
10
.
2. Chứng minh rằng:
a) Tổng của hai số hữu tỉ dương là một số hữu tỉ dương;
b) Tổng của hai số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ âm;
c) Tích của hai số hữu tỉ cùng dấu là một số hữu tỉ dương;
d) Tích của hai số hữu tỉ trái dấu là một số hữu tỉ âm.
3. Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số nguyên bằng 1 khi và chỉ khi hai số đó đều bằng 1 hoặc –1.
b) Tích của hai số nguyên bằng –1 khi và chỉ khi một trong hai số đó bằng 1 và số thứ hai
bằng –1.
4. Viết các số thập phân sau dưới dạng thu gọn:
a)
α = −
3
4
b) β = −
15
4
c) γ = −
127
40
.
5. Viết các số thập phân sau dưới dạng số hữu tỉ:
a)
α = –4,08, b) β = –6,09 c) γ = –13,15.

Điều này vô lí vì (p, q) = 1. Ta có điều phải chứng minh.
Tương tự
4
2 , 5 , 6 , đều không thể là số hữu tỉ.
+) Nhiều phương trình không tìm được nghiệm hữu tỉ, chẳng hạn: x
2
– 3 = 0 hoặc x
4
– 4 = 0 v.v
+) Số đo của nhiều phép đo đại lượng không biểu diễn được, chẳng hạn, số đo của đường
chéo một hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài; số đo của đường chéo hình chữ nhật có
chiều dài là 2 đơn vị độ dài, chiều rộng là 1 đơn vị độ dài đều không phải là số hữu tỉ.
– Vì những lí do trên đây, ta phải mở rộng tập s
ố hữu tỉ Q thêm những số mới để đáp ứng yêu
cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học khác.
3.8.2. Xây dựng tập số thực
Có nhiều cách xây dựng tập số thực, dưới đây ta trình bày cách xây dựng tương đối đơn giản:
mở rộng tập số thập phân để được tập số thực.
Trong các tiểu chủ đề trước, chúng ta đã xét hai loại số thập phân: số thập phân (có hữu hạn
chữ số ở phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta còn gặp một loại “số thập phân” thứ ba: đó là những
số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân, các chữ số ở phần thập phân không lặp đi lặp
lại theo bất kì một quy luật nào. Mỗi số thập phân như thế ta gọi là số thập phân vô hạn không
tuần hoàn. Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ. Tập tất cả các số
vô tỉ ta kí hiệu là
I.
Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ tạo thành
tập các số thực, kí hiệu là R.
Như vậy: R = Q ∪ I
Ví dụ 8.1:

n
và y = b,y
1
y
2
y
3
y
n

Ta gọi
a) Tổng gần đúng cấp k của x và y là số:
s = a,x
1
x
2
x
3
. . . . . . . . . x
k
+ b,y
1
y
2
y
3
. . . . . . . . . y
k

b) Hiệu gần đúng cấp k của x và y là số:

3
. . . . . . . . . . y
k

lấy gần đúng đến k chữ số thập phân
d) Thương gần đúng cấp k của x và y là số:
d = a,x
1
x
2
x
3
. . . . . . . . x
k
: b,y
1
y
2
y
3
. . . . . . . . . . y
k
lấy gần đúng đến k chữ số thập phân.
Ví dụ 8.2:
Cho x = 2,47 và y = 11,3.
Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp hai của x và y.
Ta có:
x + y = 2,47 + 11,30 = 13,77
x – y = 2,47 – 11,30 = –8,83
xy = 2,47

≈ –1,4 – 1,6 = –3
xy
≈ –1,4 x 1,6 = –2,24 ≈ –2,2
x : y
≈ –1,4 : 1,6 = – 0,875 ≈ – 0, 9
Ví dụ 8.5:
Cho x = – 3 và y = – 5 .
Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y.
Ta có –
3
= –1,7320508. . . . . . . . . và –
5
= –2,2360679. . . . . . . . . . . .
x + y
≈ –1,732 – 2,236 = –3,968
x – y
≈ –1,732 + 2,236 = 0,504
xy
≈ (–1,732) × (–2,236) = 3,872752 ≈ 3,873
x: y
≈ (–1,732) : (–2,236) = 0,7745974 ≈ 0,775
CÁC TẬP HỢP SỐ 175
HOẠT ĐỘNG 1. XÂY DỰNG TẬP SỐ THỰC R
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:
Nêu các nguyên nhân phải mở rộng tập số hữu tỉ Q.
NHIỆM VỤ 2:

(v) Tích của một số hữu tỉ khác 0 với một số vô tỉ là một số vô tỉ

CÁC TẬP HỢP SỐ 176
THÔNG TIN PHẢN HỒI CHO CHỦ ĐỀ 3

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1.
1. a) S b) S c) Đ d) Đ
2. a) r =
{
}
36 9
; ; ;
51012
b) r =
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩⎭
71421
; ; ;
4812

c) r =
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭


Các câu b, c cũng tương tự.

HOẠT ĐỘNG 2.
1. a) r – s có phân số đại diện là
24
41

b) s – r không thực hiện được
c) r : s có phân số đại diện là
9
1
.
2. Tương tự bài 2, hoạt động 1.
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3
CÁC TẬP HỢP SỐ 177
1. Điền dấu
a) = b) > c) =
d) < e) = f) >
2. Đ
4.
>
11
.
rs

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5.
4. a) Đ; Đ; Đ; S; S.

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6.
3. a) S b) Đ c) S d) Đ
e) Đ f) Đ.

4. 12,03; 12, 30; 20,13; 20,31; 21,03; 21,30; 23,01;
23,10; 30,12; 30,21; 31,02; 31,20; 32,01; 32,10;
102,3; 103,2; 120,3; 123,0; 201,3; 203,1;
210,3; 230,1; 301,2; 302,1; 310,2; 320,1.
5. Tương tự bài 4.
CÁC TẬP HỢP SỐ 178
8. 63,79
9. Tương tự bài 8.
12. a) Dư 0,001
Câu b tương tự.
15. 48g nước.
16. 18,75g muối.

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.8.
1 và 2. Xem ví dụ mẫu.
3. (i) S (ii) S (iii) S (iv) S (v) Đ.