Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
1
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các pương trình sau:
a)
1
2sin1
1cos223sin2cos
2
x
xxx
b)
xxxx sin122sin4
4
2cos
4
2cos
2
xxx
b)
022
2
cos32cos2
2
cos
22
xxx
c)
x
x
x
xx
xxxx
e)
0cot2cot1
sin
2
cos
1
48
24
xx
xx
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4
tan
2cos2sin
2
1
cossin2cossin
244
d)
0
sin22
1cossin4cossin2
44
x
xxxx
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
1cos21coscos21sin xxxx
d)
xxxxx cossin3sin23cossin4
b)
0sin2sincos4sin4
23
xxxx
e)
x
x
x
e)
2
5
sin2cos4cossin34
22
xxxx
c)
xxxxx cossin2cos32tansin
2
f)
x
xx
xx
2cos2
cos4sin5
cos2sin6
3
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a)
2
23
cos2cossin3sin
22
xxxx
c)
a)
xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin
b)
0cossinsin3cos3sin4
233
xxxxx
c)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222
d)
xxxx
x
xx
22
22
tansin1
2
1
sintan
sin14
cos1cos1
Bài 8: Giải các phương trình sau:
a)
cos
x
x
xx
x
x
d)
5
8
cos31
5
6
cos2
2
xx
Bài 9: giải các phương trình sau:
a)
2
sin2
cossin
24
cos8
cos
sin13
tantan3
2
2
3
x
x
x
xx
c)
01cossin1tan
332
xxx
d)
xxxxx 2coscoscos2sinsin2
33
e)
xxxxx 2cos2sincos3cossin1
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
h)
02cossin32cos2sin xxxx
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bài 1. Cho các số gồm chín chữ số gồm năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.Có bao nhiêu
cách xếp nếu:
a) Năm chữ số 1 xếp kề nhau.
b) Năm chữ số 1 xếp tùy ý.
Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7. Lập được bao nhiêu số 4 chữ số chia hết chọ.
Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số 5 chữ số khác nhau trong đó:
a) Số tạo thành chẵn.
b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.
c) Nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
d) Phải có mặt hai chữ số 0 và 1.
Bài 4: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số và nhỏ hơn 276 ?
Bài 5: Tính tổng các số có 5 chữ số phân biệt được thành lập từ các số sau: 3,4,5,6,7.
Bài 6: Với các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện ba lần, mỗi
chữ số khác có mặt đúng một lần.
Bài 7: Cho tập A
9 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,
. Từ A lập được bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau và mỗi
số có chứa chữ số 5. Trong đó có bao số không chia hết cho 5.
Bài 8: Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem
thư đã chọn. Mỗi bì thư dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm ?
1
lấy 10 điểm phân biệt, trên d
2
lấy n điểm phân
biệt
1n
. Biết có 2800 tam giác có 3 đỉnh là các điểm đã lấy. Tìm n.
Bài 17: Trong một mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút của chúng thuộc P.
b) Có bao nhiêu vect tơ khác
0
mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P.
Bài 18: Một đoàn tàu nhỏ có ba toa khách đỗ ở sân ga. Có ba hành khách bước lên tàu. Hỏi:
a) Có bao nhiêu khả năng trong đó ba hành khách bước lên ba toa khác nhau.
b) Có bao nhiêu khả năng trong đó hai hành khách cùng bước lên một toa còn hành khách thứ ba lên
toa khác.
Bài 19: Có bao nhiêu cách chian vật khác nhau thành k nhóm mà nhóm thứ nhất có n
1
vật, nhóm thứ
hai có n
2
vật, nhóm thứ k có n
k
vật và hai nhóm bất kỳ không chứa vật nào chung ?
Bài 20: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác
nhau và tổng chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Bài 21: Cho đa giác đều A
1
A
72
9
53
8
10
74
PP
P
PP
P
P
PP
A
4
n
5
n
6
n
A
AA
B
23
2
5
7
17
7
15
6
15
5
15
kn
4
n
1n
C
C2CC
PA
P
D
2
5
2
2
5
Bài 24: Rút gọn biểu thức:
a)
n
2k
n
k!
1k
A
b)
n
1k
n
kk!A
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
5
c)
!2n
P
A!3n
n!
A
P
1
P
1
P
n
b)
n
kn
21n
kn
2n
kn
AkAA
c)
5
5n
2
5n
2
3n
2
1r
2n
1r
1n
r
n
c)
nkN,3kn, ;CC3C3CC
k
3n
3k
n
2k
n
1k
n
k
n
d)
1n
Bài 27: a) Chứng minh:
3nZ,n ;2n!
1n
.
b) Chứng minh:
2
n
2n
n
k2n
n
k2n
C.CC
; với
nk0 vàZkn,
.
Bài 28: 1) Tìm n nguyên dương, biết: a)
33!1nn!3
b)
!1n
15
!2n
A
5
2n
1
.
Bài 29: Tìm k sao cho các số
2k
7
1k
7
k
7
C,C,C
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Bài 30: Giải các phương trình sau:
a)
2
2x
2
x
A502A
b)
1x
2
x
3
x
P3AA2
x
14CCA
c)
x
2
7
CCC
3
x
2
x
1
x
d)
2
2x
2
1x
3
1x
A
3
2
CC
e)
n
4
n
3
n
3A2CA
i)
6
1
!1x
!1xx!
Bài 32: Giải các bất phương trình sau:
a)
303A2C
2
x
2
1x
b)
3
4
1x
3x
Bài 33: Giải các hệ phương trình sau:
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
6
a)
802C5A
905C2A
y
x
y
x
y
x
y
x
b)
y1x
x
y
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1.
2
8
8
32
4
9.
9
1
243.3
x
x
x
x
9.
x
x
xx
16
8
43
64
255
x
x
3.
78323412
2
10.55.4
xxxx
11.
125,0.228.42
3
3
121
xxx
4.
1
1
3
12
417417
xxx
6.
4
2
45
2
33
2
xxx
xx
14.
3
3
2
1
5
2
xxx
8.
x
x
xxx
2
12
1
7.
121
2222
3322
xxxx
2.
21121
333555
xxxxxx
8.
9477333
11
xxx
3.
933.63.2
11
xxx
9.
4
2
7
2
9
52
xxxxxx
11.
12
2
1
2
3
3229
x
xx
x
6.
7503333
4321
xxxx
12.
12
2
1
2
1
2334
x
x
6.
02.93.923
2
xxxx
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
7
3.
02323347
xx
7.
0223.39
22
22
xx
xx
4.
1
2
12
2
1
4
7
34
34
5
327
xx
xx
2.
132232
1122
x
xxx
x
x
7.
2
9
1
993
3
1
8.
02222
3
2
9
2
2
xxxx
x
4.
x
x
x
x
4.
2
1
2
1
15
x
x
x
10.
2
33
2
xx
xx
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
1.
xxx 3413154
2
1
2
1
2
1
2
12
2
2
1
2
1
2
2.
xxx 5711179
2
1
2
1
2
x
x
x
10.
1
1
1212
x
x
x
17.
21432
55222
xxxxx
4.
xxx
xxx
5.
1
2
2
2
1
2
x
xx
12.
13
1
12
1
22
x
x
19.
32
4
3232
1212
7.
1221
5353
xxxx
14.
4
2
642
1
x
x
x
21.
2
1
424
x
x
x
Bài 6: Giải các phương trình sau:
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
22
xxxx
5.
0324
2
2
sin
1
cot
x
x
2.
093.363
152
xx
4.
699
22
cossin
xx
6.
54.94
22
cos2sin21
xx
xxxx
xxx
8.
2
2
1212222
xxx
4.
xx
xxxxxxx 34253232253
222
9.
53
45
5.2
5
2
x
x
x
5.
212
xxxx
xxx
2.
093.613.73.5
1112
xxxx
4.
035.2.5.335.
1112
xxxxx
xx
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
1.
x
x
xx
993.2
2
1
4
4
xx
xx
Bài 10: Giải các phương trình sau:
1.
xx
32
loglog
6.
413log1log
53
xx
2.
xxxx
20432
loglogloglog
7.
xx
2332
loglogloglog
3.
xxx
2
2
3
log133log
3
3
2
2
xx
Bài 11: Giải các phương trình sau:
1.
32log22log
2
5
2
6
xxxx
6.
2
5
1
223log
13
2
3
2
xxxx
8.
2
2
1
2
3
log
xxx
x
4.
x
x
xx
x 99.
3
2
27log1log33.29
2
1
73
xxxx
xx
10.
xx
xx
324log18log39
33
Bài 12: Giải các phương trình sau:
1.
05
10
1
2
1cos2sin2
7lgsincos
1cos2sin2
2
1
26
2
8
2
13
3
x
x
x
x
3.
642222
622124
2222
xxxx
7.
xxxx
xx
08log5log2log
2
122
xx
4.
2
2
2
2
2
3
2
6
2
43loglog8log.43log
2
1
xxxx
5.
xxxxxx
532532
log.log.loglogloglog
6.
3log
xxx
8.
3
8
2
2
4
4log4log21log xxx
9.
1log1log1log1log
24
2
24
2
2
2
2
2
xxxxxxxx
10.
x
x
x
x
2
3
323
log
5
xxx
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
10
13.
2
1
log31log1log2log
2234
x
14.
12cos3log
2
1
2cos
2
1
2
2
12cos
xx
x
Bài 14: Giải các bất phương trình sau:
1log
382114
2
x
xx
xx
5.
x
xx
3
2
2003201220032012
33
loglog
6.
1loglog1log
9
9
12
4
1
9.
3log
2
1
2log65log
3
1
3
1
2
3
xxxx
10.
1
114
2
log34log
2
2
1
2
2
1
1
ln
1
ln
2
2
1
2
2
3
1
VẤN ĐỀ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1: Trong mpOxy cho điểm A
2;1
và đường tròn
C
có tâm I
2;1
, bán kính R
3
và đường tròn
trực tâm H của tam giác ABC biết H nằm trên đường thẳng
01yx:d
.
Bài 4: Trong mpOxy cho các đường thẳng
012yx:d
,
042yx:D
và hai điểm A
2;3
,
B
0;5
. Tìm M
d
, N
D
sao cho
NBMA
ngắn nhất.
Bài 5: Trong mpOxy cho điểm A
2;3
. Tìm trên trục Ox và đường thẳng
0yx:d
, đường tròn
022y2xyx:C
22
. Tìm
A
C
, B
d
sao cho điểm I
2;3
là trung điểm AB.
Bài 9: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các
tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các
đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh tam giác BMN đều.
Bài 10: Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt
AB tại E và AD tị F, gọi
ADCMN
. Chứng minh rằng:
a)
EFCNCM
b)
222
AB
1
2;5
. Viết
phương trình đường thẳng đi qua M, cắt d
1
, d
2
lần lượt tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB.
Bài 13: Trong mpOxy cho đường tròn
42y1x:C
22
. Hãy viết phương trình đường tròn
C'
là ảnh của
C
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỷ số
2k
và phép tịnh tiến vec tơ
1;2v
.
Bài 14: Trong mpOxy, gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn,(A là điểm có hoành độ dương):
2y1x:C'1;1y1x:C
2
222
MNP là ảnh của
ABC qua phép vi tự tâm G tỷ số
2
1
k
. Từ đó suy ra bốn điểm H,
G, O, I thẳng hàng và I là trung điểm OH.
b) Chứng minh phép vị tự tâm H, tỷ số
2
1
k
biến đường tròn ngoại tiếp
ABC thành đường tròn
ngoại tiếp
MNP. Từ đó suy ra: trong một tam giác, trung điểm ba cạnh, các chân ba đường cao, điểm
các đoạn nối với trung trực với ba đỉnh là 9 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 17: Cho
21yx:C1;2A
2
2
và điểm B
012yx:d23;
. Hãy xác định trên
a) Tìm giao điểm H của DM với (SAC). Tính tỷ số
HS
HO
.
b) Tìm giao điểm K của GM với (ABCD). Cm: 3 điểm K, C, D thẳng hàng và
2KDKC
.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là hai điểm cố định lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho EF
không song song với BC. Điểm M di động trên CD.
a) Tìm điểm
MEFBDN
.
b) Tìm tập hợp điểm
FNEMI
.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
13
lượt trên SA, SB, SC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Tính tỷ số
IM
IA
.
b) Tìm giao điểm F của SD và (ABM).
c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm K của MN với (SBD).
b) Chứng minh mp(CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(CGM).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(AGM).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M, P là
trung điểm SA, BC; G là trọng tâm
SCD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MPG).
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD. M là trung điểm SA, N và P lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC
và ACD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mp(MNP).
Bài 12: Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mp(P) cắt AB, SB tại B', B
1
. Qua B dựng mp(Q) cắt AC, SC
tại C', C
1
;
OCB'BC'
,
O'BCCB
11
. Giả sử
ISAOO'
.
a) Chứng minh AO, SO', BC đồng quy.
b) Chứng minh I, B
1
, B' và I, C
1
, C' thẳng hàng.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD, lấy các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AB, AC, AD sao cho:
2
α
; SA, SB cắt
β
lần lượt tại C, D. Giả sử
aABE
.
a) Chứng minh S, A, B không thẳng hàng.
b) Chứng minh C, D, E thẳng hàng. Từ đó suy ra AB, CD, a đồng quy.
Bài 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lấy các điểm E, F, G bất kỳ.
a) Tìm
BCDEFG
. Tìm
EFGCDS
suy ra thiết diện của mp(EFG) với tứ diện.
b) Khi EG không song song với AD tìm
EFGADR
. Chứng minh F, S, R thẳng hàng.
c) Khi EF không song song với BC. Chứng minh các đường thẳng EF, GS, BC đồng quy.
Bài 16: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Lấy E đối xứng với B qua C, F đối xứng với B qua D. Gọi
M là trung điểm AB.
a) Tìm giao điểm I của ME với mp(ACD).
b) Tìm giao tuyến của (MEF) và (ACD). Từ đó suy ra thiết diện của tứ diện với mp(MEF).
c) Tính thiết diện của tứ diện với mp(MEF).
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có AB//CD. Một mp(P) qua AB và cắt SC tại E.
a) Tìm
CFBEQ
. Cm:AQ//Bx//Cy.
c) Chứng minh (QMN) chứa một đường thẳng cố định.
Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm AB, CD, AC, BD, AD, BC. Gọi
A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh các đoạn thẳng
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
15
MN, PQ, RS, AA', BB', CC', DD' đồng quy tại G và
3GA'GA
.
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AD, BC và G là trọng tâm của
SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì ? Tìm điều kiện của AB
và CD để thiết diện đó là hình bình hành.
Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam
giác SAB, SAD; M là trung điểm CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJM).
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang với
bBCa,AD
. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm
của các tam giác SAD, SBC.
a) Tìm đoạn giao tuyến của mp(ADJ) với mp(SBC) và đoạn giao tuyến của mp(BCI) với mp(SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD).
Bài 24: Cho hình chóp S.ABC, O là một điểm nằm bên trong tam giác ABC. Qua O dựng các đường
thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC và cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) lần lượt tại các
điểm A', B', C'.
KJ
EF
.
Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy các điểm M, N. Mp(P) đi qua MN và song
song với SB.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mp(P).
b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Bài 27: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và
SAB đều. Điểm M di động trên BC
với BM
x; K
SA sao cho AK
MB.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
16
a) Chứng minh KM//(SDC).
b) Tìm thiết diện của hinh chóp với mp(P) đi qua M song ong với SA, SB. Thiết diện đó là hình gì ?
Tính diện tích thiết diện theo a và x.
c) Tìm x để KN//(ABCD).
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C' là trung điểm của SC, M di động
trên cạnh SA. Mp(P) di động luôn đi qua C'M và song song với BC.
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Xác định thiết diện mà (P) cát hình chóp S.ABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình
hành.
Bài 29: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA', AC. Dựng
DN
x,
2ax0
.
a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một ,ặt phẳng cố định.
b) Chứng minh rằng khi
3
2a
x
thì MN//A'C.
Bài 33: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên ba cạnh AB, DD', CB' lần lượt lấy ba điểm M, N, P không
trùng với các đỉnh sao cho
C'B'
PB'
DD'
ND'
AB
AM
.
a) Chứng minh mp(MNP)//mp(AB'D').
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(MNP).
Bài 34: Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là một điểm di động trên AC, mp
α
đi qua I và song
song với mp(BDD'). Xác định thiết diện của mp
.
c) Gọi G là trọng tâm
SCD. Tìm
SACBGI
. Tính tỷ số
IB
IG
.
Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
AB, AD, SC.
a) Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SDC) và (SAC).
b) Gọi
MNPSBDd
. Chứng minh d//MN.
c) Tìm giao điểm của SO với mp(MNP).
Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AD, BC,
SC.
a) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNP).
b) Gọi
NPMQI ,MNPSDQ
. Chứng minh SA//(MNP) và tứ giác SNB là hình bình hành.
c) Gọi H là trung điểm MC,
NQMPK
. Chứng minh K thuộc SH.
Bài 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi E, F lần lươt là trung điểm
SA, SD;
α
để A'B'C'D' có A'B'//C'D'.
c) Tìm điều kiện của mp
α
để A'B'C'D' là hình bình hành. Có bao nhiêu mp
α
thỏa điều kiện trên ?
Bài 41: Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A'B'C'D'. Trên AB, CC', C'D', AA' lần lượt lấy các điểm M,
N, P, Q sao cho:
ax0x,QA'PC'CNAM
.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
b) Tìm x để (MNPQ)//(A'BC').
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
18
c) Xác định thiết diện của hình lâp phương và mp(MNPQ).
Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mp(ABM).
b) Gọi N là trung điểm BO, hãy xác định
AMNSDI
. Cm:
3
2
ID
4
1
, điểm N chia đoạn A'C
theo tỷ số
3
2
. Chứng minh: MN//(BC'D).
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Các điểm M, n lần lượt chia các đoạn thẳng AD' và DB
theo cùng tỷ số k,
1k0,k
.
a) Chứng minh: MN//(A'D'BC).
b) Khi
2
1
k
. Chứng minh MN//A'C và MN là đoạn vuông góc chung của AD' và DB.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mp(P) cắt SA, SB, SC,
SD theo thứ tự tại K, L, M, N. Chứng minh:
SN
SD
SL
SB
SM
SC
SK
SA
c, giả sử
cba
. Gọi
δβ,α,
lần
lượt là góc giau74 AB và CD, AC và BD, AD và BC. Chứng minh:
cosδccosαacosβb
222
.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O. SA
ABCD
. Gọi K là hình chiếu của
B trên SC. Tìm điểm cách đều năm điểm S, O, A, K, B.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình chữ nhật với AB
a, AD
2a, SA
ABCD
,
SA
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 12: Môt tứ diện được gọi là tứ diện trực tâm nếu chân ba đường cao hạ từ một đỉnh trùng với trực
tâm của mặt đối diện.
a) Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:
BCD đều, gọi BH là đường cao của
BCD. O là trung điểm của BH và
AO
BCD
, AO
BH
2a, trên OH lấy I sao cho BI
x,
2ax0
, mp
α
qua I và vuông góc với
OH. Dựng và tính diện tích thiết diện của tứ diện tạo bởi
α
.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO
(ABCD) và
SO
2
6a
SABSOM
.
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SA
(ABCD), SA
2a. Xác định thiết diện
của hình chóp S.ABCD tạo bởi mp(P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua tâm O của đáy và trung điểm M của SD đồng thời vuông góc với mp(ABCD).
b) (P) qua A và trung điểm N của CD đồng thời vuông góc với mp(SBC).
Bài 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với mặt
đáy một góc 60
0
. Mp(P) chứa AB và tạo với mặt đáy một góc 30
0
. Xác định thiết diện của hình chóp cắt
bởi mp(P) và tính diện tích thiết diện đó.
Bài 21: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bằng A, gọi O là tâm của đáy và SO
3
3a
. Gọi I là
trung điểm BC và K là hình chiếu của O lên SI.
a) Tính khoảng cách từ O đến SA.
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB
a, AC
0
.
a) Các mặt của của hình chóp S.ABC là hình gí ?
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
21
b) Gọi I, J lần lượt là tung điểm BC, SA. Tính độ dài IJ.
Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và
ABCDSAB
.
a) Chứng minh tam giác SCD cân.
b) Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AB và SC.
Bài 27: Cho mp(P)//mp(Q), trên (P) cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 3a, điểm M thuộc (Q) sao cho
MA
MB
MC
2a. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 28: Cho tứ diện ABCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh: MN là đoạn
vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi AC
BD và AD
BC.
Bài 29: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau,
ba
x,
ax0
.
a) Chứng minh khi
a154x
thì góc giữa DA và AC' bằng 60
0
.
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(B'DI). Tìm x để diện tích
ấy nhỏ nhất.
c) Tính khoảng cách từ C đến mp(B'DI).
BÀI TẬP CUỐI NĂM
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đay lớn là AB
2a, AD
CD
a. Mặt
bên (SAB) là tam giác đều. Gọi M thuộc AD sao cho AM
x,
ax0
và mp
α
qua M và song song
BD sao cho PQ//SC. Tính PQ theo a.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA
2a
.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là hình vuông.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
c) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cach giữa hai đường thẳng SC và BD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại A, lấy điểm S
sao cho SA
a.
a) Chứng minh các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông.
b) Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (SBC).
c) Trên cạnh AB lấy M. Mp(P) qua M vuông góc với AB cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác
MNPQ là hình gì ? Đặt AM
x tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a và x.
Bài 5: Cho tam giác SAD đều và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi I
là trung điểm AD, M là trung điểm AB và F là trung điểm SB;
BICMK
.
a) Chứng minh mp(CMF)
mp(SBI).
b) Tính BK, KF suy ra
BFK cân.
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA.
SBCSDE vàABCDSD
.
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Mp(P) qua AD và vuông góc với (SBC). Xác định thiết diện hình chóp với (P).
d) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB
c, AC
b. Mp(P) qua BC và vuông góc với mp(ABC); S
là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên (SAB), (SAC) hợp với đáy
ABC hai góc có số đo lần lượt là
α
2
π
vàα
. Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC,
AB và AC.
a) Chứng minh rằng:
HI.HJSH
2
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của
α
.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh a. SA
ABCD
Copyright: Tài liệu đại học ©