Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
1

1
1
.
.N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
NH
H
À
À
M
M


:Hàm số
()
Fx
được gọi là nguyên hàm của
()
fx
trên K, nếu
'
()()Fxfxx
="Î
K

Khi đó ta viết:
()(),fxdxFxCC
=+"Î
ò
¡

1
1
.
.
2
2T

g
u
u
y
y
ê
ê
n
nh
h
à
à
m
m
:
:1.
'
()()
fxdxfxC
=+
ò

2.
()()

n
n
g
g
u
u
y
y
ê
ê
n
nh
h
à
à
m
mc
c
ủ
ủ
a
a
ấ
ấ
p
pv
v
à
àh
h
à
à
m
ms
s
ố
ốh
h
ợ
ợ

sin
11
ln
1
arctan
1
1
arcsin
1
xx
x
x
dxC
dxxC
x
xdxC
dxxC
x
edxeC
a
adxCaa
a
xdxxC
xdxxC
dxxC
x
dxxC
x
dxaxbC
axba

ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò

1
2
2
0
(0)
1
1
ln
(1,0)
ln
cossin
sincos
1
tan
cos
1
cot
sin
11
ln

=+¹
+
=+
=+
=+¹>
=+
=-+
=+
=-+
=+
+
=+Þ+=++
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
òò

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu

p
pt
t
í
í
n
n
h
hn
n
g
g
u
u
y
y
ê
ê
n
nh
h

a
+=++

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu
()
uux
=
và
()
vvx
=
có đạo hàm liên tục trên K thì
''
()()()()()()
uxvxdxuxvxvxuxdx
=+
òòHay ngắn gọn dễ nhớ hơn:
udvuvvdu
=+
òò

Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được áp dụng cho những nguyên hàm có
dạng sau:
()ln;();()sin;()cos;cos;sin
axaxax
PxxdxPxedxPxaxdxPxaxdxebxdxebxdx

()()
PxTx
Rx
QxQx
=+ rồi tìm cách tính.
Nếu bậc của
()()
PxQx
<
:
Nếu
()()(,1)
k
QxxakNk
=-Î>
thì
1 1
1
()

()()()()
kk
kkk
AA
A
Px
xaxaxaxa
-
-
=+++

là hằng)
ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯỢNG GIÁC: Khi cần ta có thể đặt
tan
2
x
t =
Khi đó ta có:
2
222
212
sin,cos,
111
tt
xxdxdt
ttt
-
===
+++

Bài Áp Dụng
1
1
.
.T
T
ì
ì

a
ac
c
á
á
c
ch
h
à
à
m
ms
s
ố
ốs
s
a
a

d)
1
()
21
fx
x
=
+
e)
2
1cos2
()
cos
x
fx
x
-
= f)
2
21
()
1
x
fx
xx
+
=
++

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng

=
k)
2
()10
x
fx=

2
2
.
.T
T
ì
ì
m
ma)
3
()
xxdx
+
ò
b)
2
xxx

h
hc
c
á
á
c
cn
n
g
g
u
u
y
y
ê
ê
n
nh
h
à
à

n
n
g
gp
p
h
h
á
á
p
pđ
đ
ổ
ổ
i
ib
b
i
i
ế
ế

ò

d)
22
(1)
x
dx
x+
ò
e)
(1)
dx
xx
-
ò
g)
2
(ln)
x
dx
x
ò

h)
3 2
sin
cos
x
dx
x

dx
hdux
x
=+
-
ò
n)
22
4
1(:1)
xxdxhdux
-=-
ò

4
4
.
.Á
Á
p
pd
d
ụ
ụ

t
t
í
í
n
n
h
ht
t
í
í
c
c
h
hp
p
h
h
â
â
n
n
í
í
n
n
h
ha) (12)
x
xedx
-
ò
b)
x
xedx
-
ò
c)
ln(1)
xxdx
-
ò

d)
2
sin
xxdx
ò
e)

.T
T
í
í
n
n
h
hc
c
á
á
c
cn
n
g
g
u
u
y
y
ê

2
(23)
xx
dx
-
ò
c) 25
xxdx
-
ò

d)
2
ln(sin)
cos
x
dx
x
ò
e)
(1)(1)
dx
dx
xx-+
ò
f)
1
(2)(3)
x
dx

ò
k)
3
25
(1)
18
x
xdx
-
ò
l)
2
111
sincos
dx
xxx
ò

m)
3 x
xedx
ò
n)
39x
edx
-
ò
o)
2
cos2

g
gc
c
á
á
c
c
h
hb
b
i
i
ế
ế
n
nđ
đ
ổ
ổ
i
i

g
g
i
i
á
á
c
ch
h
ã
ã
y
yt
t
í
í
n
n
h
h
:
:
1sin
1cos
x
dx
x
+
+
ò

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
4

2
2
.
.T
T
Í
Í
C
C
H
HP

g
h
h
ĩ
ĩ
a
aHàm số
()
fx
liên tục trên
[;]
ab
. Giả sử
()
Fx
là một nguyên hàm của
()
fx
trên đoạn
[;]
ab
. Hiệu số
()()
FbFa
-
được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số
()

()()
ba
ab
abfxdxfxdx
>Þ=-
òò

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến dưới dấu tích phân, có nghĩa là:
()()() ()()
aaa
aaa
fxdxftdtfuduFbFa
====-
òòò

2
2
.
.
2
2T
T
í
í
n
n
h


p
p
h
h
â
â
n
n1.
()(),()
bb
aa
kfxdxkfxdxkconst
==
òò

2.
[()()]()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò

3.
()()(),
bcb

P
P
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gp
p
h
h
á
á
p
pt
t
í
í
n
n

có đạo hàm liên tục trên đoạn
[;]
ab
sao cho
(),()
ab
jajb
==
và
(),[;]
atbt
jab
££"Î
Khi đó:
'
()(())()
bb
aa
fxdxfttdt
jj
=
òò

Định lí 2: Giả sử
()
uux
=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[;]
ab

ux
và
()
vx
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[;]
ab
thì
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
5

''
()()[()()]()()
|
bb
b
a
aa
uxvxdxuxvxvxuxdx
=-
òò

Hay dễ nhớ hơn:
|
bb
b
a
aa
udvuvvdu

í
í
c
c
h
hp
p
h
h
â
â
n
ns
s
a
a
u
u
:
:a)
1

ss
ds
-
ò
e)
3
3 2
0
3
cos3cos3
xdxxdx
p
p
p
+
òò
g)
3
2
0
2
xxdx

ò

8
8
.
.


p
h
h
â
â
n
ns
s
a
a
u
ub
b
ằ
ằ
n
n
g
gp
p
h

b
i
i
ế
ế
n
ns
s
ố
ố
:
:a)
2
5
1
(1)
xxdx
-
ò
b)
ln2
0
1
x

11
(:)
x
dxHDt
xx
+
=
ò
f)
2
0
sin
1cos
xx
dx
x
p
+
ò

g)
1
0
1
xdx
+
ò
h)
2
2

0
4
1
x
dx
x +
ò
l)
6
0
(1cos3)sin3
xxdx
p
-
ò

9
9
.
.Á
Á
p
pd
d
t
t
í
í
c
c
h
hp
p
h
h
â
â
n
nt
t
ừ
ừ
n
n
g
g

ò
b)
ln2
2
0
x
xedx
-
ò
c)
1
0
ln(21)
xdx
+
ò

d)
3
2
[ln(1)ln(1)]
xxdx
+
ò
e)
2
1
1
2
1

+
ò
i)
0
cos
x
exdx
p
ò
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
6

3
3
.
.Ứ
Ứ
N
N
G
GD
D
Ụ

AT
T
Í
Í
C
C
H
HP
P
H
H
Â
Â
N
N
3
3
.
.
1
1D

p
h
h
ẳ
ẳ
n
n
g
gHình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
()
fx
liên tục trên đoạn
[;]
ab
, trục hoành và hai đường
thẳng ,
xaxb
==
được tính theo công thức:
()
b
a
Sfxdx
=
ò
12
()()
b
a
Sfxfxdx
=-
ò
Chú ý: Ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Cụ thể, đầu tiên ta giải phương
trình
12
()()0
fxfx
-=
. Giả sử ta tìm được các nghiệm của nó là:
123
,,
ccc
và thỏa
123
acccb
<<<<

1
()
fx

2
()
fx

xa
=

xb
=

1
c

2
c

3
c

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
7

3
3
.


t
t
h
h
ể
ể
Một vật thể v được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ
,,()
xaxbab
==£
.
()
Sx
là diện tích thiết diện của hình V. Khi đó ta có:
()
b
a
VSxdx
=
ò

3
3
.
.
3
3
r
r
ò
ò
n
nx
x
o
o
a
a
y
yHình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số
()
yfx
=
liên tục trên đoạn
[;]
ab
, trục
Ox
và hai
đường thẳng ,
xaxb

.
.T
T
í
í
n
n
h
hd
d
i
i
ệ
ệ
n
nt
t
í
í
c
c

ớ
ớ
i
ih
h
ạ
ạ
n
nb
b
ở
ở
i
ic
c
á
á
c
c
+=+= =-=-
c)
32
12,
yxxyx
=-=

d)
2
11
,
12
yy
x
==
+
e)
3
1
yx
=-
và tiếp tuyến với
3
1
yx
=-
tại điểm (-1;-2)
f) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
sin1
yx

yx
=
và
42
2
yxx
=-
trong miền
0
x
³

j) Đồ thị hàm số
22
4,2
yxyxx
=-=
và hai đường thẳng
3,2
xx
==-

k) Đồ thị hàm số
2
4
yx
=-
và
2
2

h
ể
ểt
t
í
í
c
c
h
hc
c
ủ
ủ
a
av
v
ậ
ậ
t
t


là một
hình vuông.
Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
8

1
1
2
2
.
.T
T
í
í
n
n
h
ht
t
h
h
ể
ể
x
x
o
o
a
a
y
yk
k
h
h
i
iq
q
u
u
a
a
y
y
đ
đ
ị
ị
n
n
h
hb
b
ở
ở
i
i
:
:a)
2
2,1
yxy
=-=
,quanh trục
Ox
b)
2
2,

Ox

B
B
à
à
i
iT
T
ậ
ậ
p
pT
T
ổ
ổ
n
n
g
gH
H
n
n
g
g
u
u
y
y
ê
ê
n
nh
h
à
à
m
ms
s
a
a
u
u

x
xx
edx
hdue
ee
-
=+
+
ò

d)
sinsin
dx
x
a
-
ò
e)
sin(:)
xxdxhdtx
=
ò
g)
ln
1
x
xdx
x
+
ò

í
c
c
h
hp
p
h
h
â
â
n
ns
s
a
a
u
u
:
:a)
1
2

(cossin)
d
p
jjj
-
ò
e)
3
0
coscos3
d
p
aaa
ò

f)
2
2
0
sin2
xxdx
p
ò
g)
2
2
1
(21)
xxdx
+


d
d
i
i
ệ
ệ
n
nt
t
í
í
c
c
h
h

c
c
á
á
c
c


ih
h
ạ
ạ
n
nb
b
ở
ở
i
ic
c
á
á
c
cđ
đ
ư

32
yxx
=-
,
1
(1)
9
yx
=-
c)
22
11,
yxyx
= =

d) Đồ thị hàm số
2
4,2
yxyx
=-=-+

e) Các đường cong có phương trình
24
44,1
xyyy
=-=-

1
1
6

c
h
hh
h
ì
ì
n
n
h
hp
p
h
h
ẳ
ẳ
n
n
g
gg
g
i

tiếp tuyến của nó tại điểm M(3;5) và trục tung.
b) Parabol
2
43
yxx
=-+-
và tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0;3);
1
1
7
7
.
.T
T
í
í
n
n
h
ht
t
h
h
ể


t
t
r
r
ò
ò
n
nx
x
o
o
a
a
y
yt
t
ạ
ạ
o
ot


h
h
ì
ì
n
n
h
hp
p
h
h
ẳ
ẳ
n
n
g
gx
x
á
á
c
c


yx
=
tại điểm có hoành độ x=1, quanh Oy.
b)
1
1,0,2
yyyx
x
=-==
quanh
Ox

c)
2
2,0,3
yxxyx
=-==
quanh trục Ox; quanh trục Oy.
Túm tt lý thuyt-Bi tp-Nguyờn hm-Tớch phõn-ng dng
www32.websamba.com/toan30ctu
9

d) Tớnh th tớch ca vt th nm gia hai mt phng x=-1 v x=1, bit rng thit din ca vt th b ct
bi mt phng vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x (
11
x
-ÊÊ
) l mt hỡnh vuụng cnh
2
21

quay hỡnh B quanh trc tung.
h) Cho hỡnh phng B gii hn bi cỏc ng
2
5,0,1,1
xyxyy
===-=
. Tớnh th tớch khi trũn xoay
to thnh khi quay hỡnh B quanh trc tung.
B
B


i
iT
T


p
pN
N
õ
õ
n
n

t
t
ớ
ớ
c
c
h
hp
p
h
h
õ
õ
n
ns
s
a
a
u
u
:
:
3)
2
3
0
sin
(sin3.cos)
xdx
I
xx
p
=
+
ũ

4)
2
2sin
0
2coscos
2
x
x
Ixxedx
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ
ũ
5)

()
xx
Idx
x
-
=
ũ

7)
2
3
1
1
dx
I
xx
=
+
ũ
8)
2
4
0
sin2
1cos
xdx
I
x
p
=

Idx
xx
p
p
=
+
ũ
12)
3
2
42
0
cos
cos3cos3
x
Idx
xx
p
=
-+
ũ

13) Cho bit
2
0
sin
2cos3sin
x
Idx
xx

G
GT
T
H
H
Ứ
Ứ
C
CL
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
GG
G
I
I
C
C
ô
ô
n
n
g
gt
t
h
h
ứ
ứ
c
cl
l
ư
ư
ợ
ợ
n
n

ê
ê
n
nn
n
h
h
ớ
ớ
2
2
.
.
i
i
á
á
c
cc
c
ủ
ủ
a
ac
c
u
u
n
n
g
gc
c
ó
ó

b
b
i
i
ệ
ệ
t
t Cung đối nhau:
a
và
a
-
l
l
ư
ư
ợ
ợ
n
n
g
gg
g
i
i
á
á
c
c

sin()sin
cos()cos
tan()tan
cot()cot
apa
apa
apa
apa
+=-
+=-
+=
+=

Cung bù nhau:
a
và
pa
-

Cung hơn kém
p
:
a
và
pa
-

sincos
2


Cung phụ nhau:
a
và
2
p
a
-

sincos
2
cossin
2
tancot
2
cottan
2
p
aa
p
aa
p
aa
p
aa
æö
+=
ç÷
èø
æö

1tan,,
cos2
1
1cot,,
sin
tan.cot1,,
2
kk
kk
kk
aa
p
aap
a
aap
a
p
aaa
+=
+=¹+Î
+=¹Î
=¹Î
¢
¢
¢

33
33
4422
4422

1tantan
ababab
ababab
ababab
ababab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
-=+
+=-
-=-
+=+
-
-=
+
+
+=
-
Công thức cộng
2222
2
3
3
3
2
sin22sincos
cos2cossin2cos112sin

www32.websamba.com/toan30ctu
11
B
B
Ả
Ả

H
H
À
À
M
MS
S
Ố
ỐS
S
Ơ
ƠC
C
Ấ
Ấ
P
P1
'

=-
ç÷
èø

()'.'
kuku
=
(k là hằng số)
(
)
'
1
2
x
x
=
(
)
'
1
.'
2
uu
u
=

2
2
2
(sin)'cos

uxu
uu
u
uuuu
u
=
=-
=
=-=-+1
(ln||)'
1
(log||)'
ln
a
x
x
x
xa
=
=

1
(ln||)'.'
1
(log||)'.'
ln
a

1cos2
aaa
aa
aaa
aa
a
a
a
++
==

==
-
=
+

Công thức hạ bậc
[ ]
[ ]
[ ]
1
coscoscos()cos()
2
1
sinsincos()cos()
2
1
sincossin()sin()
2
ababab

-=

Công thức biến đổi tổng thành tích
sincos2sin()
4
2cos()
4
sincos2sin()
4
2cos()
4
p
aaa
p
a
p
aaa
p
a
+=+
=-
-=-
=-+

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
www32.websamba.com/toan30ctu
12

B
B

H
HĐ
Đ
Ạ
Ạ
O
OH
H
À
À
M
M()''''
uvwuvw
++=++

()'.'
auau
=
(a là hằng số)
()'''
uvuvuv


(Công thức tính vi phân)
M
M
Ộ
Ộ
T
TV
V
À
À
I
IC
C
Ô
Ô
N
N
G
GT
T

M
M
Ở
ỞR
R
Ộ
Ộ
N
N
G
G1
22
1
1)ln||
1()
2)()(1,0)
(1)
11
3)arctan
1
4)
1
5)(01)
ln

++
++
=++
+
+
+=+¹-¹
+
=+
+
=+
=+<¹
+=++
+=-++
+
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
2
2
2
2
22
22
11
n()]tan()
cos()

ò
ò