Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Đề số 1 (Năm học 1992-1993)

Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:







cd1ab
dcba

Chứng minh rằng: c = d.
Bài 2: Chứng minh:






2
2
2
2
2
2
1x2dcxxbaxx 
Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện
1

45
MBA
 . Đề số 2 (Năm học 1993-1994)

Bài 1: Cho phương trình: k5xx4  .
a) Giải phương trình với k = 3.
b) Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phương trình
0
1
ax
x
2
 và
0
2
bx
x
2
 có một nghiệm chung.
ii) Tổng ba  nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình:

05x2x3y
22


.
xcos1
xcos1
xcos1
xcos.xsin
A






(với
00
180
x
0

)
Bài 2: Cho hàm số
1x68x1x2x)x(f 

a) Tìm tập xác định D của hàm số.
b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số.
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với
đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,
N, P thoả mãn
0
CM


vµ . Chứng minh rằng:
6accbba 
b) Gọi
21
x,x là nghiệm của hệ:












0,
1xx
0xx
21
21

Chứng minh rằng:
4
1
x.x
21



Đề số 5 (Năm học 1996-1997)

Bài 1: Giải hệ phương trình:
















0
yx
x3y
y
3
yx
y3x
x
22
22

đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn
nhất. Tính các giá trị đó.
Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998)
Bài 1: a) Cho




43x/RxB;32x/RxA  .
Tìm BA;BA


?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng


654321
A;A;A;A;A;A
trong đó không có 3 điểm
nào thẳng hàng. Mỗi đoạn
ji
AA
nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác
kji
AAA
có 3 cạnh đồng màu.
Bài 2: Cho phương trình:
0
1

Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh:
A
sin
Ccos
C
sin
Bcos
B
sin
Acos
CgcotBgcotAgcot
3
3
3
3
3
3
333

b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2
hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh:
BN
AR

.

Đề số 7 (Năm học 1998 –1999)
Bảng A
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phương trình:


 .
Hãy tìm công thức đơn giản của
)
n
(
f
?
Bài 3: Giải phương trình:
20xx1x59x14x5
22

.
Bài 4: a) Cho n véc tơ
n21
a, ,a,a đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n
véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại.
Chứng minh rằng: 0a aaa
n21
 .
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau).
b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng:

tgB
1
tgA
1
tgC
2
BNAM 
.

b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c).
Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì:
2
1
2
B
tg.
2
A
tg 
.
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho )3,2,1i(,b,a
ii


R .
a) Chứng minh rằng:






2
332211
2
3
2
2












3
zy
yz
2
zx
xz
1
yx
xy

b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình:

0z9y3x
333


Bài 3: a) Cho 0b,0a  .
Chứng minh rằng:


mx
x
22

có nghiệm
]
1
;
1
[
x


.
b) Cho hệ phương trình:
















Tính giá trị biểu thức
'
CC
.
AB
'
BB
.
CA
'
AA
.
BC
S

b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P. Tính
AP.
Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất.
b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc giữa hai đường chéo đó
có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
Đề số 11 (Năm học 2001-2002)
Bảng A
Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác đều có một
đường tròn ngoại tiếp nó”.
b) Giải phương trình: 03x24x4x
24
 .
Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn:
4
xyz

)
1
x
(
xP



.
Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho
0
OC
OB
OA

 . Đường thẳng () cắt các đường thẳng
OA, OB, OC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)

0
'
OC
OC
'
OB
OB
'
OA
OA


OC
OB
OA


.
a) Chứng minh O là trọng tâm ABC.
b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3
cạnh. Chứng minh rằng:
6
cba
MO3MC.MB'MA.MA2
222
2


Đề số 13 (Năm học 2002-2003)
Bảng A
Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì:
3
a
c
c
b
b
a
 .
b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của
góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng:


Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của
phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia.
Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn
222
k
PB
PA



(k là số thực không âm).
b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác
định vị trí của M để
MN
AN
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề số 14 (Năm học 2002-2003)
Bảng B:
Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A.
b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
6accbba  .
Bài 2: Bài 2 – Bảng A.
Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A.
b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lượt là hình chiếu
vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng
222
AMCLBK 
nhỏ nhất.


b
a
y
2
y
x
1
x2
s



Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P
sao cho .ax0,xAP;
3
a2
CN;
3
a
BM 
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
a. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.
b. Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H
1
H
2
H
3
lần lượt là các điểm
đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác

3
4
c,b,a
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P
sao cho .ax0,xAP;
3
a2
CN;
3
a
BM 
a. Chứng minh )AB
a
x3
AC(
3
1
PN  .
b. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.