tính tốn áp lực đất
biên soạn: đặng đình minh
trong thi cơng đào đất, khi tạo mái dốc thành hố đào, gia cường chống sụt lở cho vách
thành hố đào, đào đất thi cơng tường chắn đất hoặc tường tầng hầm nhà cao tầng… chúng ta
đều phải tính tốn áp lực đất của thành hố đào.
tính tốn áp lực đất có hai phương pháp tính tốn chủ yếu:
phương pháp tính tốn của w.j.m rankine.
phương pháp tính tốn của c.a. coulomb.
phương pháp tính của coulomb giản đơn, phạm vi sử dụng tương đối rộng rãi.
phương pháp tính của rankine cũng giản đơn, dễ ứng dụng, nói chung người thi cơng
lập biện pháp sử dụng tương đối nhiều.
i. tính tốn áp lực đất theo phương pháp rankine:
1. tính áp lực đất chủ động:
đất giáp lưng tường thẳng
đứng, đất trên đỉnh tường ngang
phẳng, bỏ qua lực ma sát giữa đất
và mặt đứng của tường chắn,
cường độ áp lực đất chủ động pa
được tính như cơng thức dưới đây.
đối với đất khơng dính:
aa
HKHtgP
γ
ϕ
γ
=−= )
2
45(
02
đối với đất dính:
aaa

0
-ϕ/2). trị số k
a
có thể thm khảo bảng hệ số áp
lực đất k
a
.k
p
trang kế tiếp. nếu khơng có thơng số ϕ để tra cứu k
a
và k
p
thì ta có thể lấy giá trị
k
a
như sau:
đất khơng dính k
a
=0,4-0,5
đất dính đất sét k
a
=0,5-0,6
c: lực dính kết của đất đắp (kn/m
2
)
góc ma sát trong của một số loại đất.
- 1 -
Áùp lực đất dính
(b)
Tường chắn tính áp

đá cuội
đá dăm đất dính
ϕ
0
góc ma
sát trong
15
0
-20
0
20
0
-30
0
25
0
-35
0
30
0
-40
0
40
0
-45
0
10
0
-30
0

2
2
2
0022
2
2
2
12
)
2
45(2)
2
45(
2
1 c
KcHKH
c
cHtgtgHE
aaa
+−=+−−−=
e
a
của đất dính ở tại trọng tâm của tam giác abc, cách chân tường chắn một khoảng
3
0
ZH −
trong đó:
a
K
c

0
+ϕ/2)=γhk
p
.
đối với đất dính:
ppp
KcHKctgHtgP 2)
2
45(2)
2
45(
2
1
002
+=+++=
γ
ϕϕ
γ
k
p
là hệ số áp lực bị động. k
p
=tg
2
(45
0
+ϕ/2). nếu biết ϕ ta có thể tìm giá trị k
p
bằng phương
pháp tra bảng.

10
0
1.000
0.966
0.933
0.916
0.900
0.869
1.000
0.933
0.870
0.840
0.811
0.756
1.000
1.036
1.072
1.091
1.111
1.150
1.000
1.072
1.150
1.190
1.233
1.323
- 2 -
(b)
Tường chắn tính áp
lực bò động

20
0
0.810
0.781
0.767
0.754
0.727
0.700
0.656
0.610
0.589
0.568
0.528
0.490
1.235
1.280
1.303
1.327
1.376
1.428
1.525
1.638
1.698
1.761
1.894
2.040
22
0
24
0

2.770
3.000
32
0
34
0
35
0
36
0
38
0
40
0
0.554
0.532
0.521
0.510
0.488
0.466
0.307
0.283
0.271
0.260
0.238
0.217
1.804
1.881
1.921
1.963

0.147
0.132
2.246
2.356
2.414
2.475
2.605
2.747
5.045
5.550
5.828
6.126
6.786
7.549
tổng áp lực đất bị động e
p
suốt trên chiều cao h của tường chắn được tính theo các
công thức dưới đây.
- với đất không dính:
pp
KHtgHE
2022
2
1
)
2
45(
2
1
γ

6
3
+
+
×
γ
γ
ví dụ tính toán:
tường chắn đất cao 4,8m lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đầu tường bằng
phẳng. đất đắp có dung trọng 18 kn/m
3
. tìm áp lực đất chủ động
và điểm tác dụng áp lực của nó. vẽ biểu đồ phân bố áp lực chủ
động.
bài giải:
biết ϕ=20
0
, tra bảng ta có k
a
=0,49; do đó cường độ áp lực của
đất tại chân tường sẽ là:
- 3 -
H
=
4800
1070
28,3 KN/m
E
a
=

49,018
102
0
=
×
×
=
điểm tác dụng của e
a
cách chân tường một đoạn chiều cao là:
m
ZH
07,1
3
59,18,4
3
0
=
−
=
−
phân bố áp lực chủ động được thể hiện như biểu đồ bên cạnh.
3. tính áp lực đất trong các trường hợp đặc biệt:
a. tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường chắn có tải
trọng phân bố đều:
phía trên mặt đất sau tường chắn có tải trọng phân bố
đều q thì tải trọng q được quy đổi ra trọng lượng đất tương
đương.lớp đất dày tương đương quy đổi h đó là:
γ
q

H
hE
γ
ϕ
γ
)
2
()
2
45()
2
(
02
+=−+=
điểm tác dụng của áp lực chủ động lên tường chắn chính là trọng tâm của hình thang
abcd, cách chân tường một đoạn là:
Hh
HhH
+
+
×
2
3
3
ví dụ tính tốn:
tường chắn đất cao 5,5m, lưng tường thẳng đứng
trơn nhẵn; tại mặt trên đất đỉnh tường có tải trọng phân bố
đều q=12kn/m
2
.dung trọng đất đắp sau tường γ=19kn/m

H
=
5500
h
=
632
E
0
=
99,94 KN/m
32,94 KN/m
B
2000
3,4 KN/m
A
A'
q
=
12 KN/m
Hình 4:
Biểu đồ phân bố áp lực
đất chủ động khi có phụ tải
trên mặt đất đỉnh tường chắn
đem tải trọng phân bố đều q chuyển đổi ra chiều dày lớp đất tương đương h
h=12/19=0,632m
cường độ áp lực đất ở đỉnh tường chắn:
202
/4,3)
2
34

=
+×
×
b. tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường có tải trọng
phân bố đều q và mặt đứng lưng tường chắn là mặt
nghiêng.
tải trọng phân bố đều được quy đổi ra lớp đất tương
đương có chiều dày h:
γ
q
h =
giả thiết mặt đất đắp và cạnh ab lưng tường kéo dài
gặp nhau ở a’. khi tính tốn, ta xem a’b như cạnh của lưng
tường và tính tốn áp lực đất như trường hợp trên mặt đất
khơng có tải trọng. chiều cao tường tính tốn lúc này là
h+h’.
xét tam giác a’ae ta có thể tìm ra h’:
)cos(
coscos
'
βα
αβ
−
= hh
với trường hợp đất khơng dính, cường độ áp lực của đất tại điểm a mặt đất đỉnh tường chắn là:
aaA
KhtghP ')
2
45('
02

'(
02
+=−+=
vị trí điểm tác dụng của lực e
a
là trọng tâm của hình thang abcd.
ví dụ tính tốn:
tường chắn cao 5,5m, lưng tường giáp mặt đất nhẵn, nghiêng một góc α=10
0
. mặt đất
trên đỉnh tường đắp dốc với góc β=30
0
. tải trọng phân bố đều q=12 kn/m
2
. dung trọng đất đắp
ở lưng tường γ=19kn/m
2
, góc ma sát trong của đất ϕ=34
0
; lực dính c=0. hãy tìm ea (áp lực chủ
động của tường chắn) và điểm tác dụng của e
a
.
bài giải:
quy đổi tải trọng phân bố đều: h=12/19=0,632m
- 5 -
A
H
h'
A'

(m)
cường độ áp lực đất trên mặt đất đỉnh tường là:
202
/08,3)
2
34
45(574,019 mKNtgP
aA
=−×=
cường độ áp lực đất ở chân tường là:
202
/63,32)
2
34
45()5,5574,0(19 mKNtgP
aB
=−+=
tổng áp lực chủ động:
e
a
=1/2(3,08+32,63)x5,5=98,2kn/m
điểm tác dụng của áp lực chủ động e
a
là:
m2
63,3208,23
63,3208,32
3
5,5
≈

hình b). tính tốn lực chủ
động, điểm tải trọng trên
mặt đất bắt đầu tác dụng từ
c đến d (từ o và o’ ta kẻ
hai đường xiên tạo với oo’
một góc (45
0
+j/2) và sẽ
gặp ab ở hai điểm c và d).
từ c trở lên xem như
khơng có tải trọng trên mặt
đất tác dụng xuống tường
chắn và từ d đến a cũng
khơng có tải trọng trên mặt
đất tác dụng xuống tường chắn.
- 6 -
q
KN/m2
q
KN/m2
Cách một đoạn l có một đoạn
tải trọng phân bố đều l
1
tác
dụng lên mặt đất đỉnh tường.
Cách một đoạn l bắt đầu có
tải trọng phân bố đều tác
dụng trên mặt đất đỉnh tường.
8
45 +

1
Hình 6:
Tính áp lực đất khi có tải trọng ở đỉnh tường.
D
diện tích hình abcefda chính là tổng áp lực chủ động tác dụng lên lưng tường chắn.
d. tính tốn áp lực đất tường chắn có nhiều lớp:
trường hợp sau lưng tường chắn đắp bằng nhiều lớp đất khác nhau thì khi tính áp lực
đất, trước hết ta tính áp lực đất lớp 1.
biểu đồ áp lực đất lớp 1 chính là tam
giác abc.
khi ta tính áp lực đất do lớp 2 gây ra,
ta đem đất lớp 1 quy đổi ra lớp 2 với chiều cao
tương ứng để tính lớp 1 là h’
1
.

2
1
11
'
γ
γ
hh =
sau đó lấy chiều cao (h’
1
+h
2
) làm chiều
cao tính tốn của tường chắn và ta tiếp tục
tính tốn như đối với trường hợp đất đắp đồng

1
1222
2
11
2
02
2122
1
022
11
2
02
2221212
1
022
11
aaa
a
a
KhhhKhE
tghhhtghE
tghhhhtghE
++=
−++−=
−+++−=
γγ
ϕ
γ
ϕ
γ

γ
cường độ áp lực đất lớp 2:
quy đổi chiều dày lớp 1:
mhh 97,1
19
17
2,2'
2
1
11
===
γ
γ
cường độ áp lực đất trên lớp đất 2 và trên mặt,
gồm hai loại
'
2
a
P
và
2
a
P
:
- 7 -
a
h'
1
h
2

+h
2
).K
a
2
Hình 7:
Biểu đồ áp lực đất
sau tường có nhiều lớp.
Lớp 1:

γ
1
=
17 KN/m
ϕ
1
=
32 C
1
=
0
6,17 KN/m
33,14 KN/m
2500
c
H
=
4700
b
2200

12
ϕϕ
γ
−−−= tgctghP
a
2'
2'
2
0
2
2
02
11
'
/17,607,1524,21
)
2
16
45(102)
2
16
45(2,217
)
2
45(2)
2
45(
2
2
2

2
16
45(102)
2
16
45()5,2192,217(
)
2
45(2)
2
45()(
)
2
45(2)
2
45().(
2
2
2
2
mKNmKNP
tgtgP
tgctghhP
tgctghhP
a
a
a
a
=−=
−×−−×+×=

h
hhE
2
)'(
2
)2(
2
21
21
γγ
γ
+++=
trong đó:
h
1
và h
2
là khoảng cách từ mực nước ngầm lên
đến đỉnh tường và từ mực nước ngầm đến chân tường.
γ’: dung trọng nổi: γ’=γ-1
γ
w
: trọng lượng riêng của nước.
γ và k
a
: như các phần trước.
ví dụ tính tốn:
tường chắn đất cao 6m: đất đắp sau tường là đất
khơng dính. mặt đất đỉnh tường phẳng. dung trọng đất
thiên nhiên γ=18kn/m

a
γ
w
.
h
2
f
e
d
γ .
h
1
.K
a
g
b
γ .
h
1
.K
a
c
a
h
1
h
2
Hình 9:
Tính toán áp lực đất
có mức nước ngầm.

/56,110333,0
2
4
)109(333,0
2
218
)422( mKNE
a
=×++×
×
×+=
nếu gọi y là khoảng cách từ tổng áp lực chủ động đến chân tường thì ta có:
my
y
98,1
3
4
2
333,04
)109(
2
333,04218
)
3
2
4(
2
333,0218
56,110
222

=−=
các ký hiệu vẫn như các vị trí trước.
trọng lượng của khối đất abc (g):
g=diện tích ∆abcxγ
ap lực chủ động tác động lên lưng tường chắn e
a
:
vectơ e
a
= vectơ e
1
+vectơg (như hình vẽ).
điểm tác dụng của e
a
: tính từ dưới chân lên một khoảng
h/3.
* lưng tường nghiêng ngả vào trong:
ta gióng đường thẳng đứng từ a lên gặp đường
nằm ngang ở c. ta xem ac như lưng tường trơn nhẵn và
áp lực đất tác dụng lên mặt ac là:

a
KHtgHE
202
1
2
1
)
2
45(

1
E
a
C
Hình 10:

Áp lực đất tác dụng lên mặt
nghiêng (ra ngoài).
A
Ea
G
E1
C
B
H
/3
Hình 11:

Tính toán áp lực đất cho tường
chắn nghiêng vào trong.
(c)
Phân bố áp lực
chủ động
(b)
(a)
Các lực tác dụng lên
∆
ABC
Tam giác lực
β

ϕ
Hình 12:
Biểu đồ áp lực đất theo phương pháp Coulomb.
ii. tính áp lực đất theo phương pháp coulomb:
1. tính áp lực chủ động:
như hình vẽ: lưng tường nghiêng. đất trên đỉnh tường dốc. giữa lưng tường và đất có
lực ma sát. giả thiết đất đắp sau tường là đất không dính và mặt trượt phá hoại của đất bc là
một mặt phẳng.
khối đất hình nêm abc có mặt trượt xuống ở vào trạng thái cân bằng cực hạn chủ động
thì áp lực chủ động e
a
có thể tính theo công thức:
aa
KHHE
2
2
2
2
2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
2
1
γ
βαδα
βϕδϕ

a
: hệ số áp lực chủ động coulomb.
aa
KHK
2
2
2
2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
γ
βαδα
βϕδϕ
δαα
αϕ
=






−+
−+
++
−

P
a
.).
2
1
(
2
γγ
===
từ công thức trên, ta nhận thấy cường độ áp lực chủ động theo chiều cao của tường
chắn được thể hiện phân bố theo hình tam giác (hình (c)). điểm tác dụng của áp lực chủ động
cách chân tường một khoảng h/3.
ví dụ tính toán:
tường chắn cao 4m, lưng tường nghiêng ra ngoài α=10
0
, β=0. dung trọng đất đắp
γ=18kn/m
2
, ϕ=30, c=0, góc ma sát giữa đất và tường δ=2/3ϕ=20
0
. hãy tìm áp lực chủ động e
a
và điểm tác dụng.
bài giải:
ta có δ=20
0
; α=10
0
; ϕ=30
0

20
0
25
0
30
0
35
0
40
0
45
0
50
0
0
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.589
0.652
0.736
0.540

0.070
0.132
0.194
0.274
0.083
0.043
5
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.556
0.622
0.709
0.503
0.457
0.465
0.536
0.627
0.406
0.352
0.387
0.460

0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.533
0.603
0.695
0.477
0.427
0.447
0.520
0.615
0.385
0.330
0.373
0.448
0.543
0.309
0.252
0.309
0.326
0.419
0.191
0.137

-20
0
0.518
0.592
0.690
0.458
0.405
0.434
0.511
0.611
0.371
0.314
0.363
0.441
0.540
0.298
0.240
0.301
0.378
0.476
0.237
0.180
0.248
0.323
0.419
0.186
0.132
0.201
0.273
0.366

0.377
0.497
0.232
0.174
0.245
0.322
0.422
0.182
0.128
0.199
0.273
0.370
0.140
0.090
0.160
0.229
0.321
0.105
0.061
0.125
0.190
0.277
0.076
0.038
25
0
0
0
10
0

0.037
2. tính áp lực bị động:
với những điều kiện giống như trên, khi tường chắn chịu áp lực của ngoại lực, chuyển
lên đất đắp khiến cho lớp đất đắp sau tường bị phá nứt theo mặt bc, khối đất abc trượt lên trên
ở trạng thái cân bằng cực hạn (như hình bên). trọng lượng bản thân g của khối đất abc, phản
lực r và tác dụng của e sẽ cân bằng. ap
lực đất bị động là.
- 11 -
(c)
γ.
H.Kp
A
β
R
Ep
(a)
B
δ
Ο
ϕ
α
H
G
(b)
R
G
ϕ
+
Ο
H


−−
++
−+
+
=
trong đó k
p
là hệ số áp lực bị động coulomb:
2
2
2
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos






−−
++
++
−
=
βαδα
βϕδϕ
δαα

2
1
(
2
biều đồ phân bố cường độ áp lực bị động được thể hiện như hình (c).
vị trí điểm tác dụng của áp lực bị động tại lưng tường, cách chân tường một khoảng h/3.
- 12 -
Hình 13:
Tính toán áp lực bò động.
Phân bố áp lực bò động
Biểu đồ lực tác dụng của khôí ABC.
(b)
(c)
(a)
Tam giác lực