ĐỀ ÔN THI CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC NĂM 2011 MÔN TOÁN HỌC

MÃ ĐỀ 006

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
     
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.

Câu II (2 điểm):
1. Giải phương trình :
2
2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (2 )
4
c c x

 
2. Giải phương trình :


Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2
3( ) 2
P x y z xyz
    .

B. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phàn (phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trình chuẩn:

Câu VIa (2 điểm):

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng
:3 4 4 0
x y
   
.
Tìm trên

hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC
bằng15.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 6 4 2 0
S x y z x y z
      
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ
(1;6;2)

Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 6 4 2 0
S x y z x y z
      
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ
(1;6;2)
v

, vuông góc với mặt
phẳng
( ): 4 11 0
x y z

   
và tiếp xúc với (S).

Câu VIIb (1 điểm):

Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn
2
0 1 2
2 2 2 121

2 3 1 1
n
n
n n n n

x mx m
    
có 2 nhiệm phân
biệt

1 0,
m
    
05
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số
là
B(m+1;-2-2m)
025
Theo giả thiết ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m

  
     

  


6 6
18 3
2sin(3 ). osx=0
6
x=
2
x x
x k
x c
k
 
 



    

  

  






Vậy PT có hai nghiệm
2
x k


2
2 2 2 2
2
log (5 2 )
log (5 2 ) 2log (5 2 ) 2log (5 2 )log (2 1)
log (2 1)
x
x x x x
x

      
 05
2
2 2
2
1
4
log (2 1) 1
1
log (5 2 ) 2log (2 1) 2
2
log (5 2 ) 0
2
x

I II



  
 025
Đặt
2
2
1
t anx dt= (tan 1)
cos
t dx x dx
x
   
0 0
1
6
3
x t
x t

  
  
05

 

AM SC
 
(1)
Tương tự ta có
AN SC

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AI SC
 05
V Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB)
Suy ra
1
.
3
ABMI ABM
V S IH

Ta có
2
4
ABM
a

P x y z xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
x y z yz x
 
      
 
    
    
025

2
3 2
( )
27 6 (3 ) ( 3)
2
1
( 15 27 27)
2
y z
x x x
x x x

    
    
14 Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7
1
x y z
   
.

05
1. Gọi
3 4 16 3
( ; ) (4 ; )
4 4
a a
A a B a
 
  . Khi đó diện tích tam giác ABC là

1
. ( ) 3
2
ABC
S AB d C AB
    .

Véc tơ pháp tuyến của
( )

là
(1;4;1)
n
025
Vì
( ) ( )
P


và song song với giá của
v

nên nhận véc tơ

(2; 1;2)
p
n n v   
  
làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0

025
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên
( ( )) 4
d I P

  
     
  05 VIa

k i
i i i
i k
k k k
i k N
 

  
  

     
   
  
  


025
Vậy hệ số của
4
x
là:
4 4 3 1 2 2 2 2
10 10 3 10 2
2 2 3 3 8085
C C C C C   .
025


 

Dấu bằng xảy ra khi
2 2
2
1
3
9 4
2
2
3 2
x y
x
x y
y


 


 

 
 





. Vậy

05

2 1 1
0 1 2
1
2 2 2 3 1 121 3 1

2 3 1 2( 1) 1 2( 1)
3 243 4
n n n
n
n n n n
n
C C C C
n n n n
n
 

 
      
   
   

Vậy n=4.