S giáo d c và đào t o Hà n i ở ụ ạ ộ
Tr ng THPT Liên Hà ĐÊ THI TH ĐAI HOC NĂM 2011ườ ̀ Ử ̣ ̣
**************** Môn : TOAN; khôi: A,B(́ ́ Th i gian lam bai: 180 phut, không kê th i gian phat đê)ờ ̀ ̀ ́ ̉ ờ ́ ̀
PHÂN CHUNG CHO TÂT CA CAC THI SINH ̀ ́ ̉ ́ ́ (7,0 điêm)̉
Câu I (2 điêm)̉
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a ham sô ả ự ế ẽ ồ ị ủ ̀ ́
2 1
1
x
y
x
−
=
−
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n b ng ế ươ ế ế ủ ế ả ừ ể ế ế ế ằ
2
.
Câu II (2 điêm)̉
1) Giai ph ng trình ̉ ươ
2
17
sin(2 ) 16 2 3.s in cos 20sin ( )
2 2 12
x
x x x
π π
+ + = + +
2) Giai hê ph ng trình : ̉ ̣ ươ
4 3 2 2
3 2
1

ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +
PHÂN RIÊNG ̀ (3 điêm)̉ Thi sinh chi đ c lam môt trong hai phân (phân A hoăc B)́ ̉ ượ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣
A. Theo ch ng trinh Chuânươ ̀ ̉
Câu VI.a (1 điêm)̉
Trong măt phăng toa đô Oxy cho điêm A(1;1) và đ ng th ng ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ườ ẳ
∆
: 2x + 3y + 4 = 0.
Tim t a đ đi m B thu c đ ng th ng ̀ ọ ộ ể ộ ườ ẳ
∆
sao cho đ ng th ng AB và ườ ẳ
∆
h p v i nhau góc 45ợ ớ
0
.
Câu VII.a (1 điêm̉ ): Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho điêm M(1;-1;1) ớ ̣ ̣ ̣ ̉
va hai đ ng th ng ̀ ườ ẳ
1
( ) :
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
1 4
( ') :

( )C
căt ́
( )d
tai A va B sao cho diên tich tam giac ABO l n nhât.̣ ̀ ̣ ́ ́ ớ ́
Câu VII.b (1 điêm)̉
Trong không gian v i hê toa đô Oxyz, cho ba m t ph ng:ớ ̣ ̣ ̣ ặ ẳ
(P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đ ng th ng ườ ẳ
1
∆
:
2
2
−
−x
=
1
1+y
=
3
z
. G i ọ
2
∆
là giao tuy n c a (P) và (Q).ế ủ
Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ớ ắ ả ườ ẳ
1
∆
,
2

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ố ị ế ả
( ;1)−∞
và
(1; )+∞
*Hàm s không có c c tr ố ự ị
*Gi i h n ớ ạ
1x
Lim y
+
→
= +∞

1x
Lim y
−
→
= −∞
2
x
Lim y
→+∞
=

2
x
Lim y
→−∞
=
Đ th có ti m c n đ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2 ồ ị ệ ậ ứ ệ ậ
*B ng bi n thiên ả ế

2 2
2
1 ( 1)
x
x
−
⇔ =
+ −

gi i đ c nghi m ả ượ ệ
0
0x =
và
0
2x =
*Các ti p tuy n c n tìm : ế ế ầ
1 0x y+ − =
và
5 0x y+ − =
0.25
0.25
0.25
0.25
2.1 *Bi n đ i ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ế ổ ươ ươ ươ ớ

os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
π
− + + + =

6 2
c x
π
+ = −
đ c nghi m ượ ệ
2
2
x k
π
π
= +
và
5
2
6
x k
π
π
= − +
0.25
0.25
0.25
0.25
2.2
*Bi n đ i h t ng đ ng v i ế ổ ệ ươ ươ ớ
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1
x xy x y


*Gi i h trên đ c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3) ả ệ ượ ệ
*T đó gi i đ c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0) ừ ả ượ ệ
0.25
0.25
0.25
0.25
3 *Đ t t=cosx ặ
Tính dt=-sinxdx , đ i c n x=0 thì t=1 , ổ ậ
4
x
π
=
thì
1
2
t =
T đó ừ
1
1
2
2 2
1
1
2
ln lnt t
I dt dt
t t
= − =
∫ ∫

I = − −

0.25
0.25
0.25
0.25
4 *V hình ẽ
*G i H là trung đi m BC , ch ng minh ọ ể ứ
( )SH A B C⊥
*Xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t đáy là ị ữ ặ ẳ ớ ặ

0
60SEH SFH= =
*K ẻ
HK SB⊥
, l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) vàậ ậ ữ ặ ẳ
(SBC)
b ng ằ
HK A
.
*L p lu n và tính đ c AC=AB=a ,ậ ậ ượ
2
2
a
HA =
,
0
3
tan 60
2

0.25
0.25
0.25
5
*Bi n đ i ế ổ
1 1
1 (1 )(1 )
a b c c
ab c ab b a a b
+ − −
= =
+ + − − − −
0.25
*T đó ừ
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T
a b c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
Do a,b,c d ng và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-cươ ộ ả
d ng ươ
*áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta đ c ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
3
1 1 1
3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a

∆

(1 3 ; 2 2 )A t t⇒ − − +

*Ta có (AB;
∆
)=45
0

1
os( ; )
2
c A B u⇔ =
uuuur ur

.
1
2
.
A B u
A B u
⇔ =
uuuur ur
ur

2
15 3
169 156 45 0
13 13
t t t t⇔ − − = ⇔ = ∨ = −

 
uur uur ur
,
1 2
(0;2;4)M M =
uuuuuuur
Xét
1 2 1 2
; . 16 14 0u u M M
 
= − + =
 
uur uur uuuuuuur
 (d) và (d’) đ ng ph ng .ồ ẳ
*G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d’) => (P) có vtpt ọ ặ ẳ ứ
(1;2; 1)n = −
ur
và đi
qua M
1
nên có ph ng trình ươ
2 2 0x y z+ − + =
*D th y đi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t đó ta có đpcm ễ ấ ể ộ ừ
0.25
0.25
0.25
0.25
8.a *Đi u ki n :x>0ề ệ
*TH1 : xét x=1 là nghi m ệ
*TH2 : xét

x⇒ + = −2 3
.(24 1) 1x x⇔ + =
(*)
Nh n th y ậ ấ
1
8
x =
là nghi m c a (*) ệ ủ
N u ế
1
8
x >
thì VT(*)>1
0.25
0.25
0.25
0.25
N u ế
1
8
x <
thì VT(*)<1 , v y (*) có nghi m duy nh t ậ ệ ấ
1
8
x =
*K t lu n : Các nghi m c a ph ng trình đã cho là x=1 và ế ậ ệ ủ ươ
1

có ph ng trình tham s ươ ố
2 2
1
3
x t
y t
z t
= −


= − +


=

*
2
∆
có ph ng trình tham s ươ ố
2
5 3
x s
y s
z s
= +


= +



A
và có vtcp
(1;2; 3)n = −
ur
=> d có ph ng trình ươ
23
1 1
8
12 12
1 2 3
z
x y
−
− −
= =
−
0.25
0.25
0.25
0.25
8.b
*Đi u ki n : ề ệ
3
0
log (9 72) 0
9 72 0
x
x
x >


⇔

≤



2x
⇔ ≤
*K t lu n t p nghi m : ế ậ ậ ệ
9
(log 72; 2]T =
0.25
0.25
0.25
0.25
L u ý : N u thí sinh làm cách khác đúng thì giám kh o ch m theo các b c làm c a cách đó .ư ế ả ấ ướ ủ