thi tuy n sinh l p 10Đề ể ớ
tr n g THPT chuyên HSP Hà N i 2010ườ Đ ộ
VÒNG 1
( Dành cho mọi thí sinh. Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
Câu 2. (2 điểm) Cho hai đường thẳng
, với m là tham số.
1. Tìm tọa độ giao điểm I của và theo m.
2. Khi m thay đổi, chứng minh rằng điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 3. (2 điểm) Giả sử bộ ba số thực (x;y;z) thỏa mãn hệ
(I)
1. Chứng minh .
2. Tìm tất cả các bộ (x;y;z) thỏa mãn hệ (I) sao cho .
Câu 4. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trong hình vuông đó lấy điểm K sao cho
tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau tại P.
1. Tính độ dài đoạn thẳng KC theo a.
2. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm I sao cho , các đường thẳng CI và BP cắt nhau tại H.
Chứng minh tứ giác CHDP nội tiếp một đường tròn.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CP và KD. Chứng minh .
Câu 5. (1 điểm) Giải phương trình
VÒNG 2
( Dành cho thí sinh vào chuyên Toán, chuyên Tin. Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1. (2 điểm)
1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn .
Chứng minh rằng .
2. Chứng minh rằng
là một số nguyên dương.
Câu 2. (2 điểm) Giả sử bốn số thực a, b, c, d đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau

Cho parabol và đường thẳng
1.Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt parabol tại điểm phân biệt với mọi giá trị
của
2.Gọi và là các giao điểm của và .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 4
Cho tam giác với .Đường phân giác của
cắt đường cao và cắt trung tuyến của tam
giác lần lượt tại các điểm và
1.Tính
2.Tính diện tích tam giác
Bài 5
Cho các số thực và thỏa mãn
Chứng minh
Bài này có thể đối thành với m là số thực bất kì,sao ko
cho là cho đẹp nhỉ,keke!