KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
CẤP TỈNH
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Khóa ngày 25 thng 11 năm 2008
Môn: TOÁN
Câu Nội dung
1
 Điều kiện: x > -1
 Biến đổi về phương trình:
( )
4
x 1 4+ =
 Do đó: x =
2 1−
2
1/ Gọi S
1
, S
2
, S
3
lần lượt là diện tích các tam giác BMN,CNP,
AMP.
Ta có:
ABN
ABC
S BN
S BC
=
Mà:
BC BN NC 1 k 1

 Nên:
NBM
2
k
S S
(k 1)
=
+
hay
1
2
k
S S
(k 1)
=
+
 Vì S
1
, S
2
, S
3
có vai trò như nhau nên:
S
1
= S
2
= S
3
2

Ta có: y’ =
3
3(k 1)
(k 1)
−
+
( k >0)
Lập bảng biến thiên , từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
N
P
M
A
B
C
khi k = 1, khi đó y =
1
4
.
 Do đó: Diện tích tam giá MNP đạt GTNN bằng
S
4
khi k = 1.
3
 Ta có:
( )
7
7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6
a b a b 7a b 21a b 35a b 35a b 21a b 7ab
+ − − = + + + + +


11
, v = 5
y
2
( Đk: u > 0, v > 0 ) ta có hệ phương trình:

x 4
2
x 1
u v 71
u v 21
u v 16
−

− =

+ =


+ =


⇔

x 4
2
x
u v 71 (1)
u 21 v (2)
u (16 v)u (3)

với mọi v
(0; 21)∈
 Vậy f(v) là hàm tăng trên (0;
21
)
 Do đó: f(v) = 0 có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0;
21
).
Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
2
5
 Ta có:
f (a) f (b) a b− ≥ −
với mọi a, b thuộc [a; b]. (1)
Mà: f(a), f(b) thuộc [a; b] nên:
f (a) f (b) a b− ≤ −
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
f (a) f (b) a b− = −
Do đó: f(a) = a, f(b) = b hoặc f(a) = b, f(b) = a.
* Nếu f(a) = a, f(b) = b thì:
.
f (x) f (a) f (x) a x a− = − ≥ −
⇔
f(x) – a
≥
x - a

⇔
f(x)

≥
f(x) với mọi x
[ ]
a;b∈
.
f (x) f (b) f(x) a x b− = − ≥ −
⇔
f(x) – a
≥
b - x

⇔
a + b – x
≤
f(x) với mọi x
[ ]
a;b∈
Do đó: f(x) = a + b - x với mọi x
[ ]
a;b∈
 Kết luận: f(x) = x hoặc f(x) = a + b - x
6
 Ta có: P(x, y) =
3 2 3
x 3xy y− +
=
( ) ( )
3
2 3
y x 3 y x x x− − − −


⇔
V =
1
xyz
3
 Theo định lý Pitago ta có hệ phương trình xác định x, y, z :

2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y b
y z c
z x a

+ =

+ =


+ =

Suy ra:
2 2 2
2 2 2
a b c
x y z
2
+ +
+ + =

3 2
+ − + − + −

2/
 Tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là tâm I của hình
cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật.
Suy ra: I chính là trung điểm của đường chéo hình hộp chữ
nhật.
 Bán kính R =
2 2 2 2 2 2
x y z 2(a b c )
2 4
+ + + +
=
B H

D
G
I 

E C
A F

4