Câu V (1,0 điểm)
Cho
,,
x
yz
là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
.
23
=++
++
+
x
yz
P
x
yyzzx

Tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ứ
ng minh:
11 2
(*),
11
1
ab
ab

(a
+
b)
ab
+ 2
ab
≥
a +
b
+ 2
ab
⇔
( ab – 1)( a – b )
2
≥ 0, luôn đúng với a và b dương, ab ≥ 1.
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, ta có:
11
23
11
x
P
zx
xy
y z
=++
+
++
≥
12

y

=

t
, t

∈
[1; 2]. Khi
đ
ó:
P

≥

2
2
2
231
t
tt
+⋅
++

Xét hàm
f
(
t
)
=


<
0.
⇒
f
(
t
) ≥

f
(2)
=

34
;
33
dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: t = 2
⇔

x
y

=
4
⇔
x

=
4, y =
⇒

P
b
ằ
ng
34
;
khi
x

=
4,
y

=
1,
z

=
2.
Lấ
y
đạ
o hàm theo z ta có : P’ (z) =
22
0
()()
y x
y zzx



yx




Kh
ả
o sát hàm P theo z, ta có P nh
ỏ
nh
ấ
t khi z =
x
y
33
www
.
l
a
i
s
ac
.
pag
e.
t
l

Ạ
Ọ


n
h
i
ềut
á
c
giả
t
r
ênI
n
t
er
n
e
t
)

C
ác
h

1
C
ác
h

2
ĐỀ

C

C
Á

Á

Á
C

C

C
H
H
H
G
G
G
I
I
I
Ả

Ả

Ả
I
I
I

U

U

U

C

C

C
Â

Â

Â
U

U

U

5

5

5

Đ


I
I
I
H
H
H
Ọ
Ọ
Ọ
C

C

C

K
K
K
H
H
H
Ố
Ố
Ố
I
I
I
A

A


0

0
1

1

1
1

1

1
Đặ
t t =
x
y
 P thành f(t) =
2
2
2
231
t
tt



(t  (1; 2])
 f’(t) =

1,1
4
aabc
££=
và
12.
t
££

Biểu thức
P
được viết lại thành
111
.
3211
P
abc
=++
+++

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
11221
1
11(1)(1)11
122
1.
1
211
bcbcbc
bcbcbcbcbcbc

Khảo sát hàm
()
ft
trên đoạn

[1,2],
ta thấy
222
31
()20
(23)(1)
t
ft
tt
éù
êú
¢
=-<
êú
++
ëû

vì
222
323
3(1)(23)(1)(23)(1)(23)
22
(41)(1)
0.
2

34
min.
33
P =

Xét hàm số
f(x) =
x
2x+3y
+
y
y+z
+
z
z+x
⇒ f

(x) =
3y
(2x+3y)
2
−
z
(z+x)
2
Ta sẽ chứng minh
3y(x + z)
2
≤ z(2x + 3y)
2

z+4
= f(y)
⇒ f

(y) =
z
(y+z)
2
−
12
(3y+8)
2
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
z(3y + 8)
2
≥ 12(y + z)
2
⇔ z(48 − 12z) + 9y
2
(z −1) + 3y(8z −y) ≥ 0 bởi vì 4 ≥ z ≥ 1; y ≤ 4z
⇒ f(y) đồng biến trên khoảng [1;4]
⇒ f(y) ≥ f (1) =
4
11
+
1
1+z
+
z
z+4

23
yzyzy
fx
y
x
z
y
x
'() vì tử số của nó là:

(
)
zxx
yxx
xx
x
xx
x
æö
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
èø
-
=
+

3648
4
302
yxzz
x
yyxy
y
yy
xyy
yy
y
()

Từ đó
³=
+
++=
++
4
83
4
4
yz
P
z
y
fgy
yz
()()
để rồi lại thấy


>
2222222
12126412120
6499483
y
zyyy
y

Vì
=-+

³
-
2
144
4
8
4
3
30
zzy
yy
()(); ()()
vậy nên:

()
³=++=
++
11

'()
đổi dấu từ âm qua dương khi z chạy qua 2 vì vậy giá trị nhỏ
nhất của h(x) là =
3
2
34
3
h()
Tóm lại giá trị bé nhất cần tìm là
34
33
nó đạt được khi x
===
412
yz
;;
C
ác
h

5
ĐỀ
Khố
i
B
.
2011
Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
+ b ) + ab = (a + b)(ab + 2).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a
2
b
+

ab
2

+ 2(
a
+

b)
⇔ 2
ab
ba
⎛
+
⎜
⎞
⎟

+
1
=
(
a +

b) +
2

⎝⎠

=
22 2
ab
ba
⎛
++
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, suy ra:
2
ab
ba
⎛
+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟

+
1
≥

22 2
ab
ba

=
4(t
3
– 3t) – 9(t
2
– 2)
=
4t
3
– 9t
2
– 12t
+
18.
Xét hàm
f
(
t
)
=
4
t
3
– 9
t
2
– 12
t

+

t
⎡⎞
+∞
⎟
⎢
⎣⎠

=

5
2
f
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

=
–
23
.
4

Vậy, minP
=
–
23
;
4
khi và ch
ỉ

ta

c
ó

(

)

(

)
(

)

2
2

2
2

a
b
ab
a
b
a
b


b
a
a
b

æ
ö
æ
ö

+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷

è
ø
è
ø

h
a
y

2

d
ụ
n
g

b
ất
đ
ẳ
n
g

th
ứ
c

C
a
u
c
h
y
,
ta
có
:
2
2
2
2

=

a
b
b
a

+

,
ta

su
y
r
a

:
2
t
+1
³

2
2
2

t
+
Þ


3
3
2
2

4
9

a
b
a
b

b a
b a
æ
ö
æ
ö
+
-
+
ç ÷ ç ÷
è
ø
è
ø

=

2
t

+

1
8

=
f
(
t)
f
’
(
t)
=

1
2
t
2

–
1
8
t
–
1
2

f
(
t
)
=

23
4

-

k
h
it
=

5
2
V
ậ
y
m
in

P=

23
4

-

C
ác
h

1
C
ác
h

2
C
ác
h

3
Từ đó suy ra

2(a
2
+b
2
) +ab

2
≥8ab(a +b)
2
.
Bất đẳng thức này có thể viết lại thành

2

5
2
.
Bây giờ, biến đổi biểu thức P theo t, ta có
P =4(t
3
−3t) −9(t
2
−2) =4t
3
−9t
2
−12t +18 = f (t).
Xét hàm f (t) trên

5
2
, +∞

, ta có
f
′
(t) =12t
2
−18t −12 =6(2t
2
−3t −2) >0,
vì 2t
2
−3t −2 = t(2t −5) +2(t −1) >0.