Một phơng pháp xác định ma trận
độ cứng trong hệ phơng trình vi phân
dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do

PGS. TS. Lê văn doanh
Bộ môn Đầu máy - Toa xe
Khoa Cơ khí - Trờng ĐHGTVT
ThS. Lê quang hng
Bộ môn Cơ kết cấu
Khoa Công trình - Trờng ĐHGTVT

Tóm tắt: BI báo trình by một phơng pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phơng
trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự do. Đây l phơng pháp có u điểm l đơn giản,
thuận lợi cho quá trình tính toán.
Trên cơ sở phơng pháp ny có thể dễ dng xác định các ma trận khối lợng m v ma
trận quán tính J; ma trận cản của hệ phơng trình vi phân dao động.
Summary: The article presents the method to define hardness matrix in the
system of vibrating differential equations of the free finite system. The advantage of
this method is the simplicity and convenience in calculation process. The mass matrix
[M] and matrix [

] in the system of vibrating equations can similarly be defined.
i. ma trận độ cứng
Chúng ta đã biết phơng trình dao động
của hệ có hữu hạn bậc tự do đợc biểu thị:
[
]
{}
[
]

F
1
+ a
i2
F
2
+ a
i3
F
3
++a
in
F
n
trong đó:
- q
i
là biên độ do các lực tổng quát F
1
, F
2
,
F
n
gây ra.
- a
i1
là biên độ theo phơng của q
i
do lực


+++=
+++=
+++=
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
Fa FaFaq

Fa FaFaq
Fa FaFaq

viết dới dạng ma trận:
{}
[
]
{}
Faq
=

suy ra:
{}
{
}
[]
1
aqF

=

















=















= 1, các biên độ q q
j
đều bằng không.
Từ đó ta có quy tắc xác định các phần tử
cột bất kỳ nào đó trong ma trận [K] là lấy biên
độ q
i
của cột nào đó trong ma trận bằng 1 còn
các biên độ q q
j
bằng không. Thí dụ xây
dựng cột thứ nhất của ma trận độ cứng [K] cho
q
1
= 1 còn các q
2
, q
3
, , q
n
= 0 khi đó lực cần
thiết để các toạ độ tổng quát (biên độ) q
i
biến
dạng do q
1
= 1 lần lợt là K
11
, K
21

còn các q
i
khác bằng
không thì lực đàn hồi suy rộng sản sinh trên k
1

là k
11
; trên k
2
là k
12
, trên k
n
là k
1n
.
Khi lấy q
n
= 1 còn các q
i
khác bằng
không thì lực trên các phần tử đàn hồi là k
n1
,
k
n2
, , k
nn
.

'
2n
'
1n
'
n2
'
22
1
21
'
n1
'
12
'
'11
v
K KK

K KK
K KK
k

Gọi b
ii
, b
i j
, b
ji
là các hệ số của các phần

1n
hay có thể viết:
K
11
= [K
11
K
12
K
1n
][b
11
b
12
b
1n
]
T
Tổng quát các phần tử của đờng chéo:
K
ii
= [K
i1
K
i2
K
in
][b
i1
b

][b
11
b
12
b
1n
]
T
.
K
i j
= [K
i1
K
i2
K
in
][b
j1
b
j2
b
jn
]
T
Khi đó ta có ma trận độ cứng viết dới
dạng:











nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
Nhận xét:
- Ma trận
T
nn2n1n
n22221
n11211
nnn2n1
2n2212
1n2111
b bb

b bb
b bb
b bb

b bb
b bb














v
][K
D
]
T
(*)
Để làm rõ hơn cho tính đúng đắn của
công thức (*) chúng ta kiểm tra lại với hệ dao
động có 2 bậc tự do với toạ độ là Z
1
và Z
2
; độ
cứng của hệ đàn hồi là k
1
và k
2
. Khi đó ma
trận độ cứng của hệ phơng trình là:
[]






=




là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I
lên toạ độ Z
j
do Z
j
biến dạng 1 đơn vị
(Z
j
= 1).
Từ định nghĩa và từ hệ dao động 2 bậc tự
do trên ta có thể xác định ma trận [K
V
] .
[]







=









121112111212111111
bb'K'Kb'Kb'KK =+=
]

[]
[
]
T
222122212222212122
bb'K'Kb'Kb'KK =+=

suy ra các phần tử k
i j

K
12
= [k
11
k
12
][b
21
b
22
]
T
K
21
= [k
21


+

=
2212
2111
21
1
211
11
bb
bb
KK
0K
KKK
KK
K

Dễ dàng tìm đợc:
b
11
= -1; b
12
= 0; b
21
= 1; b
22
= -1
nghĩa là:
[]

K
KK
0K
=








là ma trận cơ sở.
[
K
D
] là ma trận hệ số của [K
v
]
từ đó ta có:
[
]
[
]
[
]
T
Dv
KKK =


[2] Nguyễn Văn Khang. Dao động kỹ thuật - NXB
KHKT, 2001.
[3]. versínki c. b. Động lực học toa xe (tiếng
Nga) - NXB Matxcơva, 1999