ứng dụng lý thuyết tiếp xúc kalker
giải bi toán động lực học trong mặt phẳng
nằm ngang của đầu máy toa xe
chuyển động trên đờng rayTS. nguyễn văn chuyên
Bộ môn Đầu máy - Toa xe
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH GTVT

Tóm tắt: Bi báo giới thiệu lý luận tiếp xúc v ứng dụng của nó để giải bi toán động lực
học trong mặt phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe khi chuyển động trên ray.
Summary: This article presents theory of contact and to apply for calculate problem
dynamic in horizontal plane when Rolling Stock run over railroad.
I. Đặt vấn đề
Để giải bài toán động lực học trong mặt
phẳng nằm ngang của đầu máy toa xe, đơn
giản ngời ta giả thiết bánh xe và ray tuyệt đối
cứng. Song thực tế, trong quá trình chuyển
động, tiếp xúc của bánh xe và ray là tiếp xúc
mặt, ở đó không phải là lăn thuần tuý, mà tồn
tại cả hiện tợng trợt, tại đó xuất hiện các lực
tiếp tuyến theo hai hớng dọc, ngang ray và
mômen quay.
Cũng tại vị trí tiếp xúc còn có sự trợt
biến dạng, dùng tỷ số trợt biến dạng có thể
đánh giá độ trợt biến dạng lớn hay nhỏ và lực
biến dạng giữa mặt tiếp xúc bánh xe và ray
biến đổi nh thế nào?
Lý luận và nghiên cứu thực nghiệm tiếp

và ray.
1.1. Tỷ số trợt biến dạng
Carter đã phát hiện hiện tợng trợt biến
dạng giữa bánh xe và ray và đã nhận thức
đợc tính quan trọng của trợt biến dạng đối

với động lực học ngang đầu máy toa xe, do đó
Carter bắt đầu nghiên cứu quy luật biến đổi
quan hệ giữa trợt biến dạng và lực trợt biến
dạng.
Carter đã dùng hệ toạ độ Đề các và định
nghĩa tỷ số trợt biến dạng dọc ray
x
và trợt
ngang
y
đợc tính nh sau :

2
O

x,1
y
3
z
Hình 1. Hai hệ thống toạ độ trên elip
tiếp xúc bánh xe - ray

Đầu năm 70, Uỷ ban C116 của UIC đã
đề xuất [1]: xét đến đặc điểm vận động của

r2
và

r3
. Do đó tỷ số trợt biến dạng có thể định
nghĩa nh sau:
Tốc độ tịnh tiến thực tế của bánh xe - Tốc độ tịnh tiến lăn thuần tuý

x
=
Tốc đ
ộ
t
ị
nh tiến do bánh xe thuần lăn sản sinh

Tốc độ ngang thực tế của bánh xe - Tốc độ ngang thuần lăn

y
=
Tốc độ tịnh tiến do bánh xe thuần lăn sản sinh
Tỷ số trợt biến dạng dọc ray:
(
)
1w1r
1w1r
1
VV
VV2
+

2
1
+
)
trong công thức trên biểu thị
tốc độ bình quân của bánh xe vận hành trên
ray.
Tỷ số trợt biến dạng dọc
1
và ngang
2

không thứ nguyên, thứ nguyên của tỷ số biến
dạng tự quay w
3
là chiều dài.
1.2. Lực trợt biến dạng v hệ số trợt
biến dạng
Lực trợt biến dạng do biến dạng trong
mặt phẳng diện tích tiếp xúc của hai vật đàn
hồi khác nhau gây ra. Khi hai vật đàn hồi có
vận động tơng đối hoặc xu thế vận động

tơng đối, biến dạng trong mặt phẳng diện
tích tiếp xúc do lực tiếp tuyến T(T
x
, T
y
) xuất
hiện, lực tiếp tuyến T này gọi là lực trợt biến

2
(
1
,
2
,
3
) (3)
M
z
= f
3
(
1
,
2
,
3
)
Quan hệ giữa lực trợt biến dạng dọc với
tỷ số trợt biến dạng dọc đợc biểu thị ở hình
2. Từ hình vẽ biết đợc quan hệ biến đổi giữa
lực trợt biến dạng T
x
với trợt biến dạng
1

tơng đối nhỏ, quan hệ giữa chúng là tuyến
tính. Trong phạm vi tuyến tính tang góc
nghiêng của đờng thẳng OA với trục hoành

x
đạt tới trị lớn nhất, T
max
= N ( là hệ số
ma sát tĩnh lớn nhất giữa bánh xe và ray; N là
tải trọng pháp tuyến). Sau khi tỷ số trợt biến
dạng lớn hơn trị số
B
bánh xe bắt đầu trợt
động và T
x
lại giảm xuống. Vì hệ số ma sát
động luôn nhỏ hơn ma sát tĩnh.
O
B
Trợt biến dạng
Trợt động
A

T
max
=

.N
T
Hình 2. Quan hệ giữa lực trợt biến dạng dọc với
ứng suất trợt biến dạng


1

lớn của tốc độ lăn định nghĩa là V = V
Khi đó, trên diện tích tiếp xúc bánh xe -
ray có tốc độ lăn V và tốc độ vòng C, phơng
hớng của chúng gần nh ngợc nhau, tốc độ
tổng hợp của chúng S = V + C là trợt động
rắn của bánh xe trên đờng ray.
Thông thờng: S << V; S 0,001V.
Trợt động rắn là trợt tơng đối trong mặt
phẳng xy khi coi bánh xe và ray là vật rắn cơ
học. Nó hình thành bởi tốc độ di động trong
mặt phẳng xy và tốc độ quay quanh trục z, tức
là:
S = V + C = V[(
x
-
y
).i + (
y
+
x
).j] (5)
Trong đó: i, j là vectơ đơn vị trên trục x và
y, tỷ số trợt biến dạng
x
,
y
, có thể tìm đợc
từ hình 3:
V
CV

y

x
z
Hình 3. Một bánh xe lăn trên ray
C
r

Trong đó: - tốc độ góc lăn của bánh xe.
- tang của góc mặt lăn bánh xe.
- góc xung của bánh xe (chuyển vị
góc lắc đầu) trong mặt phẳng tiếp xúc.
r
0
- bán kính vòng lăn bánh xe.
- trợt biến dạng quay quanh trục z.
z

V

V
C
r

Hình 4. Trợt biến dạng của bánh xe trên ray
C
r

y
x

&
z

V

V
C
r

Hình 4. Trợt biến dạng của bánh xe trên ray
C
r

r
0
y
x

thời gian của hiệu trị số biến dạng vật thể
bánh xe - ray có thể tính đợc khi tốc độ
trợt của chúng là (-V, 0) thì:
W
&
()()
[]
t
u
x
u
Vjx.i.VuSW

hình elip này. Bởi vậy, lực pháp tuyến z trên
diện tích tiếp xúc ray - bánh xe là:
()
22
b
y
a
x
1
ab2
N3
y,xZ



















z.fP =
(10)
Bởi vậy, đối với vấn đề tiếp xúc lăn bánh
xe - ray có thể mô tả nh sau: xác định
P = (X,Y) trên một đợn vị diện tích tiếp xúc.
Đối với toàn bộ lực tiếp tuyến T trên diện tích
tiếp xúc bánh xe - ray là:
(
)
(
)

==
E
yx
dxdyY,XT,TT (11)
Trong đó: T
x
, T
y
là lực trợt biến dạng dọc
và ngang. Cho nên đối với (10) là thoả mãn.
Cùng với (7) và (8) trong đó
x
,
y
, , V, N, a, b
đều đã biết, còn giữa U và T tạo thành quan
hệ tơng hỗ nhất định. Còn quan hệ giữa lực
trợt biến dạng dọc và ngang với tỷ số trợt

)


=0
,


x

0
,


y

0
b)


0,

x
=

y
=0 c) 0,

x
=0,


A - Vùng bám dính
S - Vùng trợt động.
Lý luận này cho rằng, khi các tỷ số trợt
biến dạng
x
,
y
, đều rất nhỏ, vùng trợt
động cũng rất nhỏ, ảnh hởng của nó có thể

bỏ qua. Bởi vậy, có thể giả định vùng bám
dính phủ kín toàn bộ diện tích tiếp xúc của
bánh xe - ray. Nh thế, đối với điều kiện biên
của trạng thái làm việc ổn định, biểu thức (7)
có thể giản hoá nh sau:
Tại vùng tiếp xúc:
()()
[]
x
u
VjiVW0
xyyx


++==
&
(12)
Ngoài vùng tiếp xúc:
0 = P
Tích phân hệ thức (12) đối với x ta đợc:

do kết quả không trợt động (hoặc điều kiện
bám dính) lực tiếp tuyến tăng dần. Cuối cùng,
chất điểm tách khỏi cùng tiếp xúc tại biên
đoạn cuối. Đồng thời lúc này, lực tiếp tuyến lại
giảm đến 0.
Trong lý luận tuyến tính Kalker, giả định
toàn bộ vùng tiếp xúc là vùng bám dính, phân
bố lực tiếp tuyến là đối xứng, cho nên lực trợt
biến dạng dọc không có quan hệ với tỷ số
trợt biến dạng ngang, còn lực trợt biến dạng
ngang cũng không có quan hệ với tỷ số trợt
biến dọc. Từ đó đa ra hệ thức tuyến tính của
lực trợt biến dạng với tỷ số trợt biến dạng
nh sau:
T
x
= - f
11
.
x
T
y
= - f
22
.
y
- f
23
. (13)
M

C
23
Trong đó: a, b - trục dài và ngắn của elip
tiếp xúc, do công thức lý luận của Hertz tìm đợc.
Hình 6. Đờng biến đổi hệ số KalKer
C
ij
theo a/b (

= 0,3)
1.0
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
a/b b/a
2.0
3.0
C
11
C
22
C
23
C
33
C
11
C
22
C
23


C
11
C
22
C
23
C
33
C
11
C
22
C
23
C
33
0.1 1.35 0 3.34 0.9 0.628 0.98 .195 1.70 1.49
0.2 1.37 1.01 0.242 1.74 0.8 1.75 1.56 0.689 0.426
0.3 1.40 1.06 0.288 1.18 0.7 1.81 1.65 0.768 0.366
0.4 1.44 1.11 0.328 0.925 0.6 1.90 1.76 0.875 0.336
0.5 1.47 1.18 0.368 0.766 0.5 2.03 1.93 1.04 0.304
0.6 1.50 1.22 0.410 0.661 0.4 2.21 2.15 1.27 0.275
0.7 1.54 1.28 0.451 0.588 0.3 2.51 2.54 1.71 0.246
0.8 1.57 1.32 0.493 0.533 0.2 3.08 3.26 2.64 0.215
0.9 1.60 1.39 0.535 0.492 0.1 4.06 5.15 5.81 0.183
1.0 1.65 1.43 0.579 0.458
Khi = 25, 0.5; C
ij
có thể tra rong bảng 2, chú ý d ng này, cần đem E

1

= 0
4
1

2
1

=0
4
1

2
1

g0
()


14
2

4
2


()



.59
3.31
.37
4.85
.81
2.51
.59
2.52
.63
2.53
.66
0.334
.483
0.473
.603
0.731
.809
6.42
.46
8.28
.27
11.7
.66
0.2
0.3
0.4
0.5
b
a


0
0.607
0.720
0.827

0
0.715
0.823
0.929

0
0.889
0.977
1.07

3
2.49
2.02
1.74

4
2.96
2.32
1.93

5
3.72
2.77
2.22
0.6

1.23
1.03
1.14
1.25
1.36
1.18
1.29
1.40
1.51
1.56
1.43
1.34
1.27
1.68
1.50
1.37
1.27
1.86
1.60
1.42
1.27
a
b
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
3.40


4.50
3.98

4
4.39
4.67
5.04
1.33

1
1.58
1.76
2.01
1.47

1
1.75
1.95
2.23
1.63

1
1.94
2.18
2.50
1.21

1
1.10
1.05

7.34
8.82
12.9
4.37
4.84
5.57
6.96
10.7
4.90
5.48
6.40
0.14
12.8
5.56
6.31
7.51
9.79
16.0
2.35
2.88
3.79
5.72
12.2
2.62
3.24
4.32
6.63
14.6
2.96
3.70

a
[
III. Kết luận
Dùn
g
phơn
g
pháp tính hệ số tr
ợ
t biến
dạng theo l
ý
lu
ậ
n KalKer vừa có
ý
n
g
hĩa l
ý
lu
ậ
n vừa có
ý
n
g
hĩa th

ọ
c n
g
an
g
đầu
má
y
toa xe, đ
ặ
c biệt là vấn đề ổn đ
ị
nh v
ậ
n
đ
ộ
n
g
rắn bò. Do trớc khi mất ổn đ
ị
nh tốc đ
ộ
vận hành không cao, khi đó
x
,
y
, đều tơn
g
đối nhỏ, phù h

g
tr
ợ
t. Khi n
g
hiên cứu đầu
má
y
toa xe qua đờn
g
con
g
khôn
g
có tr
ợ
t
biến d
ạ
n
g
lớn, dùn
g
l
ý
lu
ậ
n tu
y
ến tính để tính