Một cách tiếp cận mới tính sức chịu tải
của nền đất trong trạng thái giới hạn
gS. vũ đình lai
Bộ môn Sức bền Vật liệu - ĐH GTVT
Tóm tắt: Tính sức chịu tải của nền đất trong trạng thái giới hạn l một bi toán cơ bản của
cơ học vật rời. Nó đã đợc giải bằng các phơng pháp gần đúng hoặc phơng pháp giải tích
trong đó lời giải của Xôkôlôpxki l rất cơ bản.
Trong bi ny, thông qua sự phân tích bằng hình vẽ trạng thái ứng suất thuần nhất ở biên
môi trờng v dựa vo định lý về sự biến thiên trạng thái ứng suất dọc một đờng trợt xoắn
lôga, tác giả đã giải bi toán trong trờng hợp không xét trọng lợng bản thân môi trờng một
cách trực quan.
Summary: The foundation load carrying capacity calculus in the limit state is a in
coherent medium fundamental machanical problem. Its solved either by approximate or by
analytical method, where the work of Sokolovski is fundamental.
In this article, based on the graph analysis of a homogenous stresses state at the free or
loaded straight boundary and the theorem on the stresses state variation along a logarithmic
spiral slip line, the problem in the case of the weightless medium is solved directly.

i. đặt vấn đề
Việc tính toán sức chịu tải giới hạn của nền đất và mái đốc là một trong những bài toán cơ
bản thờng gặp trong thực tế xây dựng. Trong những bài toán ấy, bài toán biến dạng phẳng
theo tiêu chí phá huỷ của Coulomb rút lại là việc giải hệ ba phơng trình dới đây của môi
trờng trong trạng thái giới hạn:

() ( )




x
sin24
0
yx
0
yx
(1)
trong đó:
- góc ma sát trong;

c
- áp suất kết cấu trong;
- trọng lợng riêng của đất.

Vì mô hình của tiêu chí Coulomb hoàn toàn tơng tự nh mô hình của tiêu chí Mohr trong
bài toán vật rắn có biến dạng dẻo, do đó việc giải bài toán phẳng của hai môi trờng này, rời và
rắn, hoàn toàn tơng tự và theo một tiêu chí chung thờng gọi là tiêu chí Coulomb Mohr.
Việc giải pháp phơng trình (1) đã đợc B.B. Sôkôlôpxki thực hiện một cách rất tổng quát
trong [1].
ở đây, từ việc tiếp cận bài toán theo hớng phân tích trạng thái ứng suất trong trạng
thái giới hạn và dựa vào định lý biến thiên trạng thái ứng suất dọc đờng trợt xoắn lôga, chúng
tôi giải bài toán trong trờng hợp không xét trọng lợng bản thân một cách trực quan hơn.
ii. một số quan hệ trong trạng thái ứng suất giới hạn
Trong bài báo này, chúng tôi tận dụng tính trực quan của việc biểu diễn một trạng thái ứng
suất bằng vòng tròn Mohr. Do đó ở đây qua hình 1, chúng tôi giới thiệu các quan hệ giữa các
ứng suất trong trạng thái giới hạn mà ngời đọc có thể tính lại một cách không khó khăn.
Trong trạng thái ứng suất giới hạn, ta quy ớc đặt áp suất p là tổng của ứng suất với áp
suất kết cấu trong

c





















=


=


=
+
=


pp
;
cos
sin1
p
sin1
1
pp
cos
p
p
m
(2)
(dấu trên khi p
x
> p
tb
, dấu dới khi p
x
< p
tb
).
iii. hai trờng hợp điều kiện biên, trạng thái ứng suất v đờng trợt
Ta đã biết trong bài toán phẳng theo tiêu chí
Coulomb Mohr ở trạng thái giới hạn tồn tại hai họ
đờng trợt
và cùng xiên góc

Hình 1.








+++

=










+

=
,
sin
sin
arcsin
22
1
,
sin











+

=
,
sin
sin
arcsin
22
1
,
sin
sin
arcsin
22
1
q
qq
q
qq
(4)

Hình 4.
Trong miền trợt hình quạt, trạng thái ứng suát không đồng nhất. Dới đây ta nghiên cứu
quy luật biến thiên của một trạng thái ứng suất (ở trạng thái giới hạn) dọc một đờng xoắn lôga.
Giả sử có phân tố ở trạng thái giới hạn (hình 4 c). Trên mặt AA có các ứng suất


,

r
thoả mãn
phơng trình cân bằng:

0
r
2
rr
1
rr
=

+


+



(6)
Với r = r
0

r
2
= const (7)
Quan hệ trên cho ta định lý: Dọc đờng xoắn lôga, áp suất mặt trợt biến đổi tỉ lệ nghịch
với bình phơng bán kính véc tơ. Thí dụ nếu để ý 2 điểm C
1
và C
2
trên cùng đờng xoắn lôga
(hình 4 a), quan hệ (7) kết hợp với (5) cho ta tính đợc:


==
tg2
2
1
2
2
2TC
1TC
e
)OC(
)OC(
p
p
(8)
trong đó là góc giữa 2 bán kính véc tơ.
V. tính sức chịu tải giới hạn của nền đất v mái dốc
á
p dụng những kết quả thu đợc ở trên, có thể dễ dàng tính đợc sức chịu tải giới hạn của


+
+=

Tại miền trợt I, p
x
=
c
+ P. Cũng theo (2):

()
q
2
q
2
p
cp
cos
coscoscos
Pp


+=


Theo (8) ta rút ra:
() ()




(10)
hay:













+=

sin
sin
arcsin
sin
sin
arcsin
2
1
qp
qp
(11)
Dới đây là hai trờng hợp đặc biệt:
Trờng hợp 1: (hình 6a). Mái dốc có góc nghiêng , q = 0,



= 2
sin
sin
arcsin
2
1
p
p

Trờng hợp 2: (hình 6b).
q
= 0.

c
tg2
2
p
22
pp
c
e
cos
sinsincoscos
)sin1)(q(P





p
gh
= N
q
q + N
c
c
trong đó c=
c
tg. Các hệ số của bảng rút ra từ (12):









+
+=
tg2
2
p
22
pp
q
e
cos
sinsincoscos

14,83
10,66
20,72
18,4
30,12
33,30
46,12
64,20
75,31
134,87
133,87
0
N
q
N
c
1,24
2,72
2,16
6,57
3,46
9,13
5,56
12,53
9,17
17,53
15,63
25,34
27,86
38,35

1,79
2,94
3,64
7,27
6,12
10,99
10,37
16,23
18,12
24,46
33,26
38,45
65,58
64,58
15
N
q
N
c
2,09
3,00
4,58
7,68
7,96
12,05
13,94
18,48
25,39
29,07
49,26

N
q
N
c
3,08
2,97
8,43
8,86
16,81
15,81
35
N
q
N
c
3,42
2,28
10,20
9,20
40
N
q
N
c
3,74
2,74
45

Tài liệu tham khảo
[1] B. B. Xôkôlôpxki. Xtatika xputsei xredu. Goxudarxtvennoe izdatelxtvo tekniko teoritsexkoi literatur