Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:
1.1. Các khái niệm cơ bản:
1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số
{ }
n
u
. Tổng vô hạn
1 2
1

n n
n
u u u u
∞
=
+ + + + =
∑
(1)
được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số
n
u
được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1).
Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó.
Tổng của n số hạng đầu tiên của (1)

1 2

n n
S u u u= + + +

.
Ta có

lim lim( ) 0
n n
n n
r S S S S
→∞ →∞
= − = − =
.
1.1.3 Định nghĩa 3:
- Chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ (suy ra chuỗi
1
n

phân
kỳ.
1.1.4 Định nghĩa 4:
Trang 1
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là chuỗi số dương nếu
0,≥ ∀
n
u n
.
1.1.5 Định nghĩa 5:
Chuỗi số có dạng
( )
1
1
1 , 0,
n
n n
n
u u n
∞
−

S
, ,
n
S
, (2)
trong đó

1 2
1

n
n k n
k
S u u u u
=
= = + + +
∑
.
Ngược lại, cho trước dãy số
{ }
n
S
. Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương ứng:
1 2
1

n n
n
u u u u
∞

n
S
.
Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn
có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2).
Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ là
lim 0
n
n
u
→∞
=
và nếu
n
u
không dần tới số không khi
n → ∞
thì chuỗi
1
n
n
u

+ Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì.
Đặc biệt, nếu
lim 0,
n
n
n
u
k k
v
→∞
= ≠ ≠ ∞
thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc
cùng phân kì.
1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert:
Cho chuỗi dương
1
n
n
u
∞
=
∑
(1) . Khi đó
+ Nếu
1
lim 1
n
n
n
u

=
, khi đó nếu
1u <
thì chuỗi (1) hội
tụ, nếu
1u >
thì chuỗi (1) phân kì.
1.3.2 Chuỗi đan dấu:
Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu
1
1
( 1) , 0,
n
n n
n
u u n
∞
−
=
− > ∀
∑
. Nếu dãy số
{ }
n
u
đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ.
2. Các tính chất của chuỗi số:
Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn vì
trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này, chúng
ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và tổng hữu

1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ thì chuỗi
1
n
n
v
∞
=
∑
cũng hội tụ và hai chuỗi có tổng
bằng nhau.
Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược lại thì
không đúng.
Ví dụ: Chuỗi
(1-1)+(1-1)+ +(1-1)+
là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi
1-1+1-1+ +1-1+
Trang 4
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
là chuỗi phân kì.
2.2 Tính chất giao hoán:
2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet)
Nếu chuỗi
1

1
n
n
u
∞
=
∑
bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có
thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước.
Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối
nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ.
3. Các phép toán về chuỗi:
3.1 Cộng các chuỗi:
3.1.1 Định lí 3:
Nếu các chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
và
1
n
n
v
∞
=
∑

=
1
n
n
u
∞
=
∑
±
1
n
n
v
∞
=
∑
=U
±
V;
2.
1
n
n
ku
∞
=
∑
=k
1
n

±
∑
phân
kì.
Trang 5
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
2. Nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kì, k là hằng số khác 0 thì chuỗi
1
n
n
ku
∞
=
∑
phân kì.
3. Nếu cả hai chuỗi
1
n
n
u
∞
=

∞
=
∑
và
0
n
n
v
∞
=
∑
, tích Cauchy của hai chuỗi là chuỗi
0
w
n
n
∞
=
∑
, trong đó
0 1 1 0
w ,
n n n n
u v u v u v n
−
= + + + ∀
.
3.2.1 Định lí 4:(Mertens)
Giả sử các chuỗi
0

=
∑
UV=
.
Chứng minh:
Giả sử chuỗi
0
w
n
n
∞
=
∑
hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu
, ,W
n n n
U V
lần lượt là các tổng
riêng thứ n của các chuỗi
0
n
n
u
∞
=
∑
,
0
n
n

∑
nên
n n
V V r= −
với
lim 0
n
n
r
→∞
=
.
Vậy
0 1 1 0
W ( )
n n n n n
VU u r u r u r
−
= + + + +
.
Bây giờ ta chứng minh
0 1 1 0
lim( ) 0
n n n
n
u r u r u r
−
→∞
+ + + =
.

1n l≥ +
thì
1

2
l n
u u
m
ε
+
+ + <
.
Như vậy, với
n l k≥ +
thì ta có
0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
( ) ( )
n n n n n l n l l n l n
u r u r u r u r u r u r u r u r
− − − + − +
+ + + ≤ + + + + + +

0 1 1
( ) ( ).
2
l l n
u u u u u m
M
ε
+

u
∞
=
∑
và
0
n
n
v
∞
=
∑
hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là U,V thì
chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng
( , 1,2, )
i k
u v i k =
sắp xếp theo một thứ tự
tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV.
Chú ý:
Trang 7
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
1. Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì.
Ví dụ: Xét chuỗi
1
1
1
( 1)
n
n

1 1 1
w ( 1)
1. . 1 .1
n
n
n k n k n
−
 
= − + + + +
 ÷
− +
 
Ta có
1 1 1 1 1 1
w
. 1
n
n
n n n
n k n k n
 
= + + + + > + + +
 ÷
− +
 
1 44 2 4 43
.
Suy ra
w 1
n

và
0
n
n
v
∞
=
∑
lần lượt là hai chuỗi dương hội tụ và phân kì. Chuỗi
0
w
n
n
∞
=
∑
là tích Cauchy của hai chuỗi dương trên.
Khi đó
0 1 1 0 0
w
n n n n n
u v u v u v u v
−
= + + + >
.
Vì chuỗi
0
n
n
v

∑
và
1
1
1
3 1
1 2
2 2
n
n
n
n
−
∞
+
=
   
+ +
 ÷  ÷
   
∑
Giả sử
0
w
n
n
∞
=
∑
là tích Cauchy của hai chuỗi trên.

u v u v
−
+
   
= = = − = +
 ÷  ÷
   
.
Do đó
1 1
1
1 1
1
3 1 3 3 1
w (2 ) 2
2 2 2 2 2
n n n
n
n n k
n
n n k
k
− −
−
−
+ − +
=
       
= + − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷

3 1
.
2 2
n
n
 
=
 ÷
 

3
4
n
 
=
 ÷
 
mà chuỗi
1
3
4
n
n
∞
=
 
 ÷
 
∑
là chuỗi hội tụ.

n
x x
→∞
=
,
lim
n
n
n
y y
→∞
=
thì
lim
n
n
z x iy
→∞
= +
.
4.2 Kiến thức 2:
Trang 9
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
arctan arctan arctan
1
a b
a b
ab
−
− =

2
x x x x k k
π
= + ≠ ∈¢
.
Chứng minh:
Từ công thức
2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−
,
, ,
4 2 2
x k x k k Z
π π π
π
≠ + ≠ + ∈
ta suy ra
2
tan 2 tan 2 tan 2tanx x x x− =
.
Chia hai vế của đẳng thức cho
tan 2 tanx x
với

=
∑
và tổng của nó nếu biết trước dãy
tổng riêng
{ }
n
S
qua các bài toán sau:
Bài toán 2.1.1:
( )
2
( 2)
1
n
n n
S
n
+
=
+
.
Giải:
Số hạng tổng quát
1n n n
u S S
−
= −

( )
2

( )
2
( 2)
1
n n
n
+
+
=
1.
Bài toán 2.1.2:
1
1
1
n
S
n
= −
+
.
Giải:
Ta có
1 1
1
n
n
S
n
+ −
=

n
n n
S
→∞ →∞
=
1 1
1
n
n
+ −
+
=
1.
Bài toán 2.1.3:
2011
arctan
n
S n=
.
Giải:
Số hạng tổng quát
1n n n
u S S
−
= −

2011 2011
2011 2011
2 2011
arctan arctan( 1)

=
2
π
.
Thông thường để tính tổng của chuỗi thì ta quan tâm đến số hạng tổng quát
của chúng. Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy. Đó chính là
dạng toán sau
2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:
* Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân tích
số hạng tổng quát thành các số hạng có tính chất truy hồi. Từ bài toán xuất phát
sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số
hạng tổng quát của chuỗi.
Trang 12
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi
1
1
( 1)n n n
∞
= +
∑
.
Giải:
Ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau

1 1 1
( 1) 1
n
u
n n n n

1
n
n n
S
n
→∞ →∞
= −
+
=
1.
2.2.2 Bài toán tổng quát: Cho cấp số cộng
{ }
n
a
với các số hạng khác không và
công sai
0d >
. Tính tổng của chuỗi số
1
1
1
n
n n
a a
∞
=
+
∑
.
Giải:

= −
 ÷
+ − +
 
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Trang 13
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

1 2

n n
S u u u
= + + +1 1
1 1 1
d a a nd
 
= −
 ÷
+
 
.
Tổng của chuỗi cần tìm là S
=
1 1 1
1 1 1 1
lim lim

= = −
+ +
,
m N∈
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 )
2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
(1 ).
2 1 2
m m m m m n n m
m m m m n m m n m
m m n n n m
     
= − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
+ + +

Giải:
Rõ ràng ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau

1 1 1 1
( )
( 1)( 1) 1 1
n
u
kn kn k k kn kn k
= = −
− + − − + −
,
k ∈¡
Trang 14
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 3 1 1 1
1 1 1
( ).
1 1

∞
=
∈
+ +
∑
.
Giải:
Ta phân tích số hạng tổng quát

1 1 1
( )
( 1) ( 1) ( 1) ( )
n
u
k n n n k n n k
= −
+ + − + +
.
Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là

1 2

n n
S u u u
= + + +

1 1 1
( )
1.2 ( 1) ( )k k n n k
= −

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Số hạng tổng quát của chuỗi là

n
u =
2
( 1)( 2)( 3)( 4)
n
n n n n+ + + +

2 1 11 1 1
( 1)( 2) ( 3)( 4) 2 ( 1)( 3) ( 2)( 4)n n n n n n n n
 
= − − −
 
+ + + + + + + +
 11 1 1
4 ( 1)( 4) ( 2)( 3)n n n n
 
+ −
 
+ + + +
 
.

Tổng riêng thứ n của chuỗi là
1 2

 
+ + + +
   
 
=
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 4 4 2 2 3 3 1 3 4
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 3 2 3 4 2 3 4 3 3
n n n n n n n n
n n n n
 
       
− − − − + − − − + − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
+ + + + + + +
       
 
 
   
+ + + − − − − −
 ÷  ÷
 
+ + + +
   
 

Như vậy, tổng của chuỗi là: S
53

n
u
n n
=
+ +
1
arctan
1
( 1)(1 )
( 1)
n n
n n
=
+ +
+
Sử dụng công thức arctana-arctanb
arctan
1
a b
ab
−
=
+
ta được

1 1
arctan arctan
1
n
u

Bài toán 2.2.5.4: Tính tổng của chuỗi
1
(2 1)
ln
( 1)(2 1)n
n n
n n
∞
=
+
+ −
∑
.
Giải:
Ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi như sau

(2 1)
ln ln ln( 1) ln(2 1) ln(2 1)
( 1)(2 1)
n
n n
u n n n n
n n
+
= = − + + + − −
+ −
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2


n n
n
S
n
→∞ →∞
+
= = =
+
.
Trang 17
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi
3
1
os 3
( 1)
3
n
n
n
n
c x
∞
=
−
∑
.
Giải:
Số hạng tổng quát của chuỗi là
n

+
−
= − + −
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +1
os3 os3
( 1)
4.3 4
n
n
n
c x c x
+
= − −
.
Khi đó, tổng của chuỗi là: S
1
os3 os3 os3
lim lim ( 1)
4.3 4 4
n

n
n
x
∞
=
∑
.
Giải:
Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:
n
u =
1
tan
2 2
n n
x
.
Trang 18
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Từ đồng nhất thức
cot 2cot(2 ) t anx, ,
2
x x x k k Z
π
= + ≠ ∈
ta suy ra

tanx cot 2cot(2 ), ,
2
x x x k k Z

n n
x
x= − +
.
Như vậy, tổng của chuỗi là
S
1 1
lim lim( 2cot 2 cot ) 2cot 2 , ,
2 2 2
n
n n
n n
x
S x x x k k Z
x
π
→∞ →∞
= = − + = − ≠ ∈
.
Bài toán 2.3.2 Dùng đồng nhất thức
2
(1 )
arctan arctan( ) arctan
1
b x
x bx
bx
−
= +
+

b b x
b x
+
−
+
Từ đồng nhất thức
2
(1 )
arctan arctan( ) arctan
1
b x
x bx
bx
−
= +
+
ta suy ra

2
(1 )
arctan arctan arctan( )
1
b x
x bx
bx
−
= −
+
.
Khi đó

. Do đó tổng của chuỗi là
S
lim lim(arctan arctan ) arctan
n
n
n n
S x b x x
→∞ →∞
= = − =
Tuy nhiên, bài toán 2.3.2 có thể được giải theo một cách khác. Trước hết, ta
xét bài toán tổng quát sau:
2.3.3 Bài toán tổng quát: Cho các hằng số a,b,c khác không, giả sử các hàm
f
và
g
thỏa mãn điều kiện
( ) a ( ) ( )f x f bx cg x= +
.
(a) Chứng minh rằng nếu
lim ( ) ( )
n n
n
a f b x L x
→∞
=
tồn tại thì
0
( ) ( )
( )
n n

=
−
=
∑
.
Chứng minh:
(a) Xét chuỗi số
0
( )
n n
n
a g b x
∞
=
∑
Từ điều kiện
( ) a ( ) ( )f x f bx cg x= +
ta có
2 2
( ) a ( ) ( )af bx f b x acg bx= +
2 2 3 3 2 2
( ) a ( ) ( )a f b x f b x ca g b x= +
………………………
1 1 1 1
( ) a ( ) ( )
n n n n n n
a f b x f b x ca g b x
− − − −
= +
Do đó

∑ ∑
.
(b) Tương tự câu (a), ta có
( ) a ( ) ( )f x f bx cg x= +
1 1 1 1
( ) ( ) ( )a f b x f x a cg b x
− − − −
= +
Trang 20
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
2 2 1 1 2 2
( ) a ( ) ( )a f b x f b x ca g b x
− − − − − −
= +
………………………
1 1
( ) a ( ) ( )
n n n n n n
a f b x f b x ca g b x
− − − − − −
= +
.
Từ đó suy ra
1 1
a ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))
n n n n
f bx a f b x c g x a g b x a g b x
− − − − − −
= − + + +
Vì

(1 )
( ) arctan , ( ) arctan
1
b x
f x x g x
bx
−
= =
+
,
1, 1a c= =
và với
0 1b< <
thì
lim
n→∞
arctan 0
n
b x =
ta được
2 1 2
0
(1 )
arctan arctan
1
n
n
n
b b x
x

trong bài toán tính tổng sau:
Bài toán 2.3.4: Dùng đồng nhất thức Euler
os isin
i
e c
α
α α
= +
tính tổng của hai
chuỗi

1
os
n
n
q c n
α
∞
=
∑
(a) và
1
sin
n
n
q n
α
∞
=
∑

qe q e
U iV qe q e q e
qe
α α
α α α
α
+ +
−
+ = + + + =
−
Vì
1q <
nên
1
i
qe <
, từ đó ta suy ra
1 ( 1)
lim( ) 0
n i n
n
q e
α
+ +
→∞
=
.
Khi đó
U+
i

U+
i
V
2 2
os sin
1 2 cos 1 2 cos
c q
q i
q q q q
α α
α α
 
−
= +
 ÷
− + − +
 
Vậy U
=
2
os
1 2 cos
c q
q
q q
α
α
−
− +
, V

1 2
1
1
( 1)( 1) ( 1)
n
n
n
a
a a a g
∞
=
= −
+ + +
∑
(quy ước
g = ∞
thì
1
0
g
=
).
Chứng minh:
Xét chuỗi số
1
1 2
( 1)( 1) ( 1)
n
n
n

Tổng riêng thứ n của chuỗi:

1 2

n n
S u u u
= + + +

1
1 1 1 2
1 2 1 1 2
1 1
1 1 ( 1)( 1)
1 1

( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)
n n
a
a a a a
a a a a a a
−
= + −
+ + + +
+ + −
+ + + + + +

1 2
1
1
( 1)( 1) ( 1)

∑
.
Giải:
Đặt
2 1,
n
a n n= − ∀
. Khi đó ta được dãy
{ }
n
a
và dãy này thỏa mãn

[ ]
1 2
lim ( 1)( 1) ( 1) lim(2.4 2 )
n
n n
a a a n
→∞ →∞
+ + + = = +∞
.
Áp dụng kết quả bài toán 4.1 trên ta suy ra
1
2 1
2.4 2n
n
n
∞
=

. Khi đó, ta được dãy
{ }
n
a
và dãy này thỏa mãn

[ ]
1 2
2 2 2
1 1 1
lim ( 1)( 1) ( 1) lim (1 )(1 ) (1 )
2 3
n
n n
a a a
n
→∞ →∞
 
+ + + = − − −
 
 

1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1)
lim . .
2.2 3.3 4.4 .
n
n n
n n
→∞
− +

∞
=
− − −
∑
=1.
Bài toán 2.4.2: Cho dãy
{ }
n
a
được xác định bởi
2
1 1
2, 2,
n n
a a a n N
+
> = − ∈
.
Chứng minh rằng
2
1 1
1
1 2
4
1
2n
n
a a
a a a
∞

= −
Tổng riêng thứ n của chuỗi:

1 2

n n
S u u u
= + + +

Trang 24
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

2 3 3 4
1 1 1 2 1 2 1 2 3
1
1 2 1 1 2
2 1
1 1 1 2
1 1 1
( ) ( )
2 2
1
( )
2
1 1 1
2 2
n n
n n
n
n

ta chia hai vế cho
1n
a
−
và cộng hai vế với -1 ta được

2
1
1 1
1 9
( )
2 4
1
n
n
n n
a
a
a a
−
− −
− −
− =
.
Vì
2,
n
a n> ∀
nên
1

+ − − −
− = − = − = −
Khi đó
2
2
1
1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
4
lim 4 lim

n
n n
n n
a
a
a a a a a a
+
→∞ →∞
= − +
.
Vì
{ }
n
a
là dãy tăng và
1
2a >
nên

+
→∞ →∞
= = + − =
2
1 1
4
2
a a− −
.
Đó là điều cần chứng minh.
Bài toán 2.4.3: Cho
1
1
n
n
a
∞
=
∑
phân kì với các số hạng dương cho trước, b>0.
Trang 25