Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 105
Nếu F là trờng chất lỏng thì thông lợng chính là lợng
chất lỏng đi qua mặt cong S theo hớng pháp vectơ n
trong một đơn vị thời gian.

Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vô hớng
div F =
z
Z
y
Y
x
X


+


+


(6.4.2)
gọi là
divergence
(nguồn) của trờng vectơ
F
.

Ví dụ Cho trờng vectơ
F

u,
F
>
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.4.2) và các tính chất của đạo hàm riêng.
Giả sử là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng
mảnh, định hớng theo pháp vectơ ngoài
n
. Khi đó công thức Ostrogradski đợc viết lại
ở dạng vectơ nh sau.


><
S
dS, nF
=


dVdivF
(6.4.3)
Chọn là hình cầu đóng tâm A, bán kính . Từ công thức (6.4.3) và định lý về trị trung
bình của tích phân bội ba suy ra.
div F(A) =

><

S

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m
Giỏo trỡnh hng dn nhng phng phỏp trong thuyt
trng toỏn hon lu
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 106 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ5. Hoàn lu

Cho trờng vectơ (D, F ) và đờng cong kín, trơn từng khúc, nằm gọn trong miền D,
định hớng theo vectơ tiếp xúc T. Tích phân đờng loại hai
K =


>< ds, TF
=


++ ZdzYdyXdx
(3.5.1)
gọi là
hoàn lu
của trờng vectơ F dọc theo đờng cong kín .
Nếu F là trờng chất lỏng thì hoàn lu là công
dịch chuyển một đơn vị khối lợng chất lỏng dọc
theo đờng cong theo hớng vectơ T.

Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vectơ

x
Z
z
X
j
+













y
X
x
Y
k
(6.5.2)
gọi là
rotation
(xoáy) của trờng vectơ
F
.


F
+
rot

G

2.
rot
(u
F
) = u
rot

F
+ [
grad
u,
F
]
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng.
Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định hớng theo pháp
vectơ
n
và có biên là đờng cong kín trơn từng khúc, định hớng theo vectơ tiếp xúc
T

1
lim
0
TF
(6.5.4)
Theo công thức trên, cờng độ của trờng vectơ
rot

F
theo hớng pháp vectơ
n
tại điểm
A là công tự quay của điểm A theo hớng trục quay
n
.



Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

x

i
+
y

j
+
z

k
(6.6.1)
với
x

,
y

và
z

tơng ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là
toán tử Hamilton
.

Tác động toán tử Hamilton một lần chúng ta nhận đợc các trờng
grad
, div và
rot
đ

u


k
(6.6.2)
2. Tích vô hớng của vectơ với trờng vectơ
F
là trờng vô hớng div
F

F
= (
x

i
+
y

j
+
z

k
)(X
i
+ Y
j
+ Z
k
) =

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P

k
.
c
o
m
.
.
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 108 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
ìF = (
x

i
+
y

j
+
z

k
) ì (X
i
+ Y
j
+ Z
k
)
=

x
Z
z
X
j
+













y
X
x
Y
k
(6.6.4)

Tác động toán tử Hamilton hai lần chúng ta nhận đợc các toán tử vi phân cấp hai.
4. Với mọi trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C
2
div (

u


+
2
2
z
u


= u (6.6.5)
Toán tử
=
2
2
x


i
+
2
2
y

j
+
2
2
z


j
+
z
u


k
) = 0 (6.6.6)
Tức là
rot
(
grad
u) = ìu = 0
6. Với mọi trờng vectơ (D,
F
) thuộc lớp C
2
div (
rot

F
) = div









+
















k
y
X
x
Y
= 0 (6.6.7)
Tức là div (
rot

F
) = ( ì
F
) = 0

Y
y
Z
i
+











x
Z
z
X
j
+









F
= {X, Y, Z} gọi là
trờng thế
nếu có trờng vô hớng
(D, u) sao cho
F
=
grad
u. Tức là
X =
x
u


Y =
y
u


Z =
z
u


(6.7.1)
Hàm u gọi là
hàm thế vị
của trờng vectơ
F
.

a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.

++ ZdzYdyXdx
=

><
S
dS, nFrot
= 0
với S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D và có biên định hớng theo
pháp vectơ n là đờng cong .
Suy ra với mọi A, M D tích phân


++
AM
ZdzYdyXdx

không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân.
Cố định điểm A D và đặt
u(M) =

++
AM
ZdzYdyXdx
với M D
Do các hàm X, Y, Z có đạo hàm riêng liên tục nên hàm u có đạo hàm riêng liên tục trên
miền D. Kiểm tra trực tiếp ta có
grad u = F
Từ đó suy ra trờng vectơ F là trờng thế và hàm u là hàm thế vị của nó.



= u(N) - u(M) (6.7.4)
u(N)

u(M)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
.