Hà Văn Tùng
Bài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i): x * y = x + y +xy, với x ,y ∈ ℝ
(ii) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ
a) Tìm - 3 * 4; 0 ⊗ n; 3 ⊗ 4.
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.
B ài làm
a) * : R * R → R
(x,y) x * y = x + y + xy
Tương ứng * là một ánh xạ vì:
∀ x, y ∈ ℝ ta có x + y + xy = x * y ∈ ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.
Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.
- Tính giao hoán:
∀ x, y ∈ ℝ , ta có:
x * y = x + y + xy
→ x* y = y *x
y * x = y + x + yx
Nên phép tính * có tính chất giao hoán.
- Tính kết hợp:
∀ x, y , z ∈ ℝ , ta có:
( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z
= x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1)
x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z)
= x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)
Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp
- Tìm phần tử trung lập:
Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ∀ x ∈ ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x
- Tìm phần tử đối xứng:
Với ∀ x, y ∈ R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = -
Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0

a) Tìm − 4 * 5; 3 ⊕ ; 5 ⊕ .
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó.
Bài làm
Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i) a * b = , với a, b ∈ ℚ
* Q x Q → Q là một ánh xạ vì a, b ∈ ℚ ⇒ ∈ ℚ
Nên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ
Tính − 4 * 5 = =
- Tính chất giao hoán:
∀ x,y ∈ ℚ ta có:
x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x
nên phép toán * có tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp:
∀ x,y, z ∈ ℚ ta có:
(x*y)*z= = = (1)
x *(y*z) = = = (2)
Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp.
. Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó ∀ x ∈ ℚđều không có phần tử đối xứng
đối với phép toán *.
(ii) a ⊕ b = a + b – ab với a, b ∈ ℚ
ℚ ⊕ ℚ → ℚ
( a, b ) ( a + b – ab ∀ a, b ∈ ℚ

a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . =
Trang 2
Hà Văn Tùng
5 ⊕ = 5 + - 5 . = 3
b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó
• Tính chất giao hoán:
∀ x, y ∈ , ℚ ta có:

∀ a, b ∈ R ta có: = a + b ∈ ℝ ⇒ Nên * là một ánh xạ.
- Tính chất giao hoán:
∀ x , y ∈ ℝ, ta có:
x * y = và y * x = suy ra x * y = y * x
Nên phép toán * có tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp :
∀ x , y, z ∈ ℝ, ta có:
(x*y)*z = +z = + z = (1)
x*(y*z) = = = (2)
Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp.
- Tìm phần tử trung lập :
Trang 3
Hà Văn Tùng
Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với ∀ x ∈ ℝ , ta có:
0 * x = x * 0 = = x.
- Tìm phần tử đối xứng:
x * x′ = x′ * x = 0 ⇔ = 0
* Với ∀ x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán *
* Khi x = 0 phần tử của x là 0.
Câu c) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ*
*: Q ∗ Q → Q*
(a,b) ∈ ℚ*
Tương ứng * là một ánh xạ vì với ∀a,b ∈ ℚ* thì ∈ ℚ*
Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*
- Tính giao hoán:
∀ x, y ∈ ℚ*, ta có
x * y =
⇒ ≠ ⇒ x * y ≠y * x
y * x =
Vậy phép toán * không có tính giao hoán.

x ∗ (y ∗ z ) = =

= = (2)
Từ (1),(2) ⇒ ∗ không có tính kết hợp.
Bài 4: Cho phép ⊕ trên ℝ x ℝ được xác định như sau

∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d)
Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép ⊕
Bài làm
∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d)
Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán ⊕ trên ℝ x ℝ vì
∀ (x, y) ∈ ℝ x ℝ ta có:
(x, y) ∗ (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y)
(-1975, 1) ⊕ (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y)
(x', y') đối xứng của (x,y)
(x', y') ⊕ (x,y) = (- 1975, 1) ⇒ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1)
⇒ ⇒

∀ (a, b) ∈ ℝ x ℝ ta có:
(-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua ⊕ trên ℝ x ℝ vì (a, b) ⊕ (-3950-a, ) = a +
(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1)Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa
m
⊗
n = m + n - 1 ,
∀
m, n
∈