Đại học Q u ốc gi a H à N ộ i
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000
Môn thi cơ cở: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Chứng minh rằng hàm số một biến số liên tục trên đoạn [a, b] thì liên tục đều trên
đó.
2. Cho hàm số f(x) =

1 cos x
x
. Hãy xét sự liên tục đều của nó trên các tập d-ới
đây:
(a) Trên (0, 1).
(b) Trên (1, 0).
(c) Trên (1, 0) (0, 1).
Câu II.
1. Chứng minh rằng nếu một dãy số đơn điệu có một dãy số con hội tụ thì nó cũng là
một dãy hội tụ.
2. Chứng tỏ rằng dãy số {x
n
} với
x
n
= 1 +
1
2
+ ã ãã +
1
n
ln(n) , n 1

(b) Xét tính khả vi của tổng chuỗi hàm trong miền hội tụ.
2. Cho f (x) là hàm liên tục trên (, +). Với n nguyên d-ơng đặt
f
n
(x) =
1
n

f(x +
1
n
) + f (x +
2
n
) + ããã + f(x +
n
n
)

.
Chứng minh rằng dãy hàm {f
n
(x)} hội tụ đều trên mọi đoạn hữu hạn bất kỳ.
Đại học Q u ốc gi a H à N ộ i
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000
Môn thi cơ cở: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của dãy số (còn gọi là tiêu
chuẩn Cauchy).

2. Xét tính khả vi của hàm số
S (x) =
+

n=0
e
n
2
x
.
Câu IV.
1. Tính tích phân

D
(x
2
+ y
2
) dxdy với D = {(x, y) R
2
: x
4
+ y
4
1}.
2. Cho f(x) xác định và có đạo hàm hữu hạn f

(x) trên khoảng (a, b). Chứng minh
rằng nếu f


1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weirestrass về giới hạn của dãy số.
2. Giả sử a
0
là số thực thoả mãn 0 a
0
1 và {a
n
} là dãy số thực xác định theo
quy tắc
a
1
= a
0
, a
2n
=
1
2
a
2n1
, a
2n+1
=
1
2
(1 + a
2n
) , n 1
Chứng minh rằng dãy {a
n

xy

x
2
+y
2
nếu (x, y) = (0, 0) ,
0 nếu (x, y) = (0, 0) .
Chứng minh rằng trong một lân cận của điểm (0, 0) hàm f liên tục và có các đạo hàm
riêng giới nội nh-ng f không khả vi tại điểm (0, 0).
Câu IV.
1. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
+

0
sin
2
2x
x
dx.
2. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm
+

n=0
x
2
e
nx
, 0 x < +.
Câu V. Chứng minh rằng độ dài l của đ-ờng elip

F (x) =

f (x) với x 0,
ax
2
+ b x + c với x > 0,
có đạo hàm F

(x), F

(x) trên khoảng (, +).
Câu III. Chứng minh rằng nếu hàm số f (x, y) liên tục theo từng biến x và y trong
miền D, đơn điệu theo một trong hai biến đó thì nó liên tục theo hai biến (x, y) trong
D.
Câu IV.
1. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
+

n=1
4
n
+ (3)
n
n
(x 1)
n
.
2. Xét sự hội tụ đều của dãy hàm f
n
(x) = n


1 + x
3
1
.
2. Tìm cực trị của hàm số u = xyz với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 3 trong miền
x > 0, y > 0, z > 0.
Câu IV.
1. Tìm miền hội tụ và xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
(1)
n
1
n + 1 sin 2x
2. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng


0
x

sin 2x
1 + x

n
2
x
2
+ n
2

x
2
n
2
+
(1)
n
n

.
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm và xét tính liên tục của tổng chuỗi hàm đó trên
miền hội tụ của nó.
Câu II.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Lagrange về hàm khả vi.
2. Chứng minh rằng một hàm khả vi trên khoảng hữu hạn (a, b) và không giới nội
trên khoảng đó thì đạo hàm của nó cũng không giới nội trên khoảng đó.
3. Tính
lim
x0

cos x
3


này không liên tục tại điểm (0, 0).
2. Xét tính khả vi của hàm số tại (0, 0).
Câu IV. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
+

0

x ln
2
x
1 + x

dx
trong đó là một tham số.
Câu V. Cho f là hàm liên tục trên (, ). Với n nguyên d-ơng đặt
f
n
(x) =
1
n

f (x +
1
n
) + f (x +
2
n
) + ããã + f(x +
n
n

x0
(1 + x)
x
1
x
2
2. Xét tính khả vi của hàm số
f (x, y) =





x
4
y
2

x
4
+ y
4
nếu x
2
+ y
2
> 0,
0 nếu x = y = 0.
Câu III.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện chuyển qua giới hạn của một chuỗi

1. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
+

1
ln
2
x
x

dx
trong đó là một tham số.
2. Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm khả vi trên (a, +) và lim
x+
f

(x) = 0 thì
lim
x+
f (x)
x
= 0.
Đại học Q u ốc gi a H à N ộ i
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 đợt 2
Môn thi cơ cở: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Rolle về hàm khả vi.
2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm liên tục y = y(x), x (, +)
thoả mãn ph-ơng trình y = x + sin y, 0 < 1.
Câu II.

2
)
.
1. Xác định miền hội tụ của chuỗi hàm.
2. Xét tính liên tục của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu IV.
1. áp dụng tích phân hai lớp tính diện tích của hình giới hạn bởi các đ-ờng cong
xy = a
2
, xy = 2a
2
, y = x, y = x trong đó 0 < < .
2. Tính tích phân

V

x
2
+ y
2

dxdydz
trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt z
2
= x
2
+ y
2
, x
2


sin x
2
sin x
3
nếu x

1
2
, 1

,
a nếu x = 1,
liên tục trên

1
2
, 1

.
Câu II.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về tính khả vi của hàm giới hạn của một dãy
hàm.
2. Cho chuỗi hàm
f (x) =
+

n=1
|x|
n


0
arctg
2
xdx

x
2
+ 1
.
Câu IV.
1. Tìm các giới hạn riêng của dãy số {a
n
} với
a
n
=

1 +
1
n

n

1
2
+ (1)
n

sin

z
3
với điều kiện x + 2y + 3z = 6, x > 0, y > 0,
z > 0.
Câu III.
1. Cho chuỗi hàm
+

n=2
x
n1
(1 x
n
) (1 x
n+1
)
.
(a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
(b) Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm trên đoạn [a, a] trong đó a là tham số thoả
mãn 0 < a < 1.
2. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của tích phân suy rộng
+

a
sin x

(x a) (x b)
dx với b > a > 0.
Câu IV. Chứng minh rằng nếu chuỗi số
+

Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Cantor về tính liên tục đều của hàm số trên đoạn
[a, b].
2. Cho hàm số f(x) =

1 cos x
x
. Hãy xét sự liên tục đều của nó trên các tập d-ới
đây:
(a) Trên (0, 1).
(b) Trên (1, 0).
(c) Trên (1, 0) (0, 1).
Câu II.
1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của tích phân suy rộng
+

0

x cos x
3
x + 10
dx.
2. Tính tích phân

D

xydxdy
trong đó D là miền đ-ợc giới hạn bởi các đ-ờng cong y = ax
2

1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Cauchy về tiêu chuẩn hội tụ của dãy số.
2. áp dụng nguyên lý Cauchy xét tính hội tụ của dãy số
a
n
=
+

k=2
1

k ln k
, n 2.
Câu II.
1. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
+

0
x

sin x
1 + x
dx với là tham số.
2. Tính tích phân ba lớp

V


z

x

n=1
|x r
n
|
3
n
, 0 x 1.
Chứng minh rằng
(a) Chuỗi hội tụ với mọi x [0, 1] và tổng S(x ) là một hàm liên tục trong đoạn
[0, 1].
(b) S(x) khả vi tại mọi điểm vô tỷ nh-ng không khả vi tại các điểm hữu tỷ thuộc
[0, 1].
2. Cho dãy hàm f
n
(x) = n

xe
nx
, n 1. Với giá trị nào của thì dãy hàm
(a) Hội tụ trên đoạn [0, 1].
(b) Hội tụ đều trên đoạn [0, 1].
Đại học Q u ốc gi a H à N ộ i
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt 2
Môn thi cơ cở: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Cantor về tính liên tục đều của hàm số trên đoạn
[a, b].
2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a, +), ( < a < +).
Giả thiết tồn tại các giới hạn hữu hạn


e

1
x
2
e

4
x
2

dx.
2. Chứng minh rằng tích phân
+

0
sin (f (x)) dx
hội tụ nếu f

(x) đơn điệu tăng và dần ra + khi x +.
Câu IV.
1. Tính tích phân
I =

V

x
2
+ y

.
Đại học Q u ốc gi a H à N ộ i
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt 1
Môn thi cơ cở: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Phát biểu và chứng minh các định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất và thứ hai về giá
trị trung gian của hàm liên tục trên một đoạn.
2. Cho X là một khoảng số thực: X R, f : X R là một hàm liên tục,
Y = {f (x) : x X} là tập giá trị của hàm f trên X. Chứng minh rằng Y cũng
là một khoảng.
Câu II.
1. Tính tích phân sau

D
(ln x + ln y) dxdy trong đó D là miền đ-ợc giới hạn bởi
các đ-ờng cong sau: x
2
= y, x
2
= 2y, y
2
= x, y
2
= 2x.
2. Xét tính hội tụ của tích phân suy rộng sau
+

0
sin 2x

,
+

n=1
|u
n
(b)|
2
hội tụ.
(b) u
n
(x) là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] và u

n
(x) = 0 với mọi
x [a, b], n = 1, 2,
Chứng minh rằng chuỗi
+

n=1
u
n
(x) sin
x
n
hội tụ đều trên đoạn [a, b].
Câu IV. Cho hàm số
f (x, y) =



đoạn tại điểm (0, 0).
2. Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả vi tại điểm (0, 0).