Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
1
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (G,ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G
bởi:
x y (g G, g
1
xg = y).
Với mỗi x G, đặt H
x
= {g G | g
1
xg = x} và O
x
= {g
1
xg | g
G}.
a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.
b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng
tỏ rằng O
1
G
= {1
G
},H
x
là một nhóm con của G và |G| = |H
x
| .|O

bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến
tính của A.
b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính
A


x
1
.
.
.
x
n


=


b
1
.
.
.
b
n


,b
i
K ().

g fg

gf

trong đó f

,g

là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng.
a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker
và chứng tỏ rằng
(V
r+1
)=(V
r
).
b) Tìm dim((V
r+1
)).
2
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm


n=1
1
n

atb
|x(t) y(t)| ,x,y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, d là một metric trên C
[a,b]
và với metric d, C
[a,b]
là một
không gian đầy đủ.
b) Đặt
(x, y)=

b
a
|x(t) y(t)| dt, x, y C
[a,b]
.
Chứng minh rằng, là một metric trên C
[a,b]
và với metric đó C
[a,b]
là
một không gian không đầy đủ.
Câu 3.
a) Đặt
C
0
[0, 1] = {x C
[0,1]

, ta có y

A X

. Chứng minh
rằng, A L(X, Y ).
Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.
a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,


A
2


= A
2
, với A = A A.
b) Cho (A
n
)
nN
L(H) thỏa mãn điều kiện
sup
nN
|A
n
x, y| < +
với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup
nN
A < +.

i
i
= e
và a
p
r
i
1
i
i
= e. Suy ra a
i
có bậc là p
r
i
i
.
Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt
R = {I | I là idean cực đại của A},
N =

IR
I.
Chứng tỏ:
a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng.
b) N = {x A |y A,z A, (1 xy)z =1}.
c) Giả sử A có tính chất: x A,n>1 thuộc N sao cho x
n
= x.
Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.

n
) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là
một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R
n
).
b)
á
nh xạ
f : GL(n, R
n
) R

A det(A)
từ nhóm GL(n, R
n
) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.
Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R
n
)/SL(n, R
n
) đẳng cấu với nhóm R

.
Câu 2. Cho R = Z
p
[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số
trong tr-ờng Z
p
các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét
f Rvới:

vector con của V và x
0
V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của
D. Chứng tỏ rằng
7