z
Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải
Đề tài : Ứng dụng số phức vào giải
toán Hình học phẳng
toán Hình học phẳng
1
MỤC LỤC
Trang 2
MỞ ĐẦU
Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải
những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh
mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật . Đối với học sinh bậc
THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh
mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng
của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải
2
các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải
toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học.
Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức
vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài
nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”.

Chương 1: SỐ PHỨC
Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép toán
và tính chất của số phức.
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán
học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo

.
Về sau biểu thức dạng
1, 0a b b+ − ≠
xuất hiện trong quá trình giải phương
trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được
Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là
a ib
+
, trong đó kí hiệu
: 1i
= −
được
L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra
rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu
: 1i = −
là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều
nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung
với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu
tượng thỏa mãn định nghĩa
2
1i = −
.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số
phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì
1i = −
nên
2
1i = −

, đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí vừa
nhắc lại ở trên ta có
2
( 1)( 1) 1i = − + = −
Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy ở
một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II.
Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức
nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương trình
10
50
x y
xy
+ =


=

Cardano đã tìm được nghiệm
5 5± −
và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” và
thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.
Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của
số học”.
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản
chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn
đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa nhận cá đại
lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G. Leibniz
thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh
thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa
cái có thật và cái không có thật”.

rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R nghiệm
i
của phương trình

2
1 0x
+ =
.
Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành
trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số
trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực R (và
do đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với
hệ số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái
niệm về số có thể tóm tắt bởi
N Z Q R C
→ → → →
với các bao hàm thức:
6
N Z Q R C
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
.
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học
K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng
tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã
chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách
ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính
và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức.
Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần
khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tgawcs

¡
. Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong
¡
, người
ta không thể giải thích được tại sao hàm
2
1
( )
1
f x
x
=
+
không thể khai triển được
thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng.
7
Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa
¡
như một
trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói
¡
là trường con
của K nếu các phép toán trên
¡
được cảm sinh bởi các phép toán trên K.
1.2.1 Xây dựng trường số phức
Giả sử trường
£
chứa
¡

1i = −
i) Quan hệ bằng nhau:
( , ) ( , ) ,a b c d a c b d
= ⇔ = =
ii) Phép cộng:
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d
+ = + +
iii) Phép nhân:
( , ).( , ) ( , )a b c d ac bd ad bc
= − +
Tập hợp
£
với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập
thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:
1)
¡
chứa trong
£
như một trường con (qua đồng nhất
a∈¡
với
( ,0)a ∈£
)
2) Tồn tại nghiệm của phương trình
2
1 0x + =
trong
£
.
1.2.2 Định nghĩa

£
được gọi là số phức liên hợp
của số phức z, kí hiệu là
z
.
8
1.3 Các phép toán trên tập các số phức
1.3.1 Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
là số phức
1 2 1 2
( ) ( ) (1)z a a i b b
= + + +

và được kí hiệu là
1 2
z z z
= +
.
Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau:
i) Kết hợp:
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
+ + = + +
ii) Giao hoán:
1 2 2 1
z z z z

= − + −
1.3.3 Phép nhân
Ta gọi tích của hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
là số phức z xác định
bởi

1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) (3)z a a bb i a b b a
= − + +
Và kí hiệu là
1 2
z z z=
.
Từ định nghĩa ta có những tính chất sau:
i) Kết hợp
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
=
.
ii) Giao hoán
1 2 2 1
z z z z=
.
iii) Phép nhân có tình phân phối với phép cộng
1 2 3 1 2 1 3
( )z z z z z z z
+ = +

Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đó khác
không. Giả sử
2
0z ≠
. Khi đó ta có thể tìm được một số phức
z a ib
= +
sao cho
2 1
.z z z=
. Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

2 2 1
2 2 1
(4)
a a b b a
b a a b b
− =


+ =

Vì
2
0z ≠
nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên luôn luôn
có một lời giải duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z
1
và z
2

1
2
z
z
z
=
.
Chú ý: Hệ thức (5) cũng có được bằng cách nhân
1
2
z
z
với
1
2
z
z
1.3.5 Lũy thừa bậc n
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Kí hiệu
n
z
.
1.3.6 Căn bậc n
Số phức w được gọi là Căn bậc n của số phức z nếu
w
n
z
=
. Kí hiệu
w

z z
vi
z
z
vii z z z a z z i z ib z a ib a b
λ λ λ
= ∀ ∈ ⊂
= ∀ ∈
+ = +
= + ≥ ∀ = + ∀ ∈
=
= ∀ ∈ ∀ ∈
 
=
 ÷
 
+ = = − = = ∀ = + ∀ ∈
¡ £
£
¡
¡ £
¡
1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.4.1 Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số
phức
, ,z a ib a b
= + ∀ ∈
¡
bởi một điểm có tọa độ (a,b). Như vậy các số thực sẽ

. Góc cực
ϕ
gọi là argument của số phức z, kí
hiệu là
Argz
ϕ
=
Modun của số phức được xác định một cách duy nhất
2 2
0z a b
= + ≥
.
Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của
2
π
.
ar 2 , ( ) 0
Ar
ar (2 1) , ( ) 0
b
ctg k k khi a
a
gz
b
ctg k k khi a
a
π
ϕ
π


( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;
2 2 2 2
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
.
Ta có các tính chất sau:
1) Nếu
1 2
z z≡
thì modul của chúng trùng nhau và argument của chúng
1 2
;
ϕ ϕ

sai khác nhau một số nguyên lần
2
π
2) Tính chất của modun và argument
12
Hình 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
) . .
) Re
) Im

= + + +
Như vậy, tích
z
của hai số phức viết dưới dạng lượng giác
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
, ở đó
r
là tích của
1 2
rr
, hoặc
1 1 2 1 2
. .z z z z z=
; còn argument
ϕ
là tổng
1 2
( )
ϕ ϕ
+
của
hai argument thừa số, hay nói cách khác
1 2 1 2
arg arg argz z z z= +
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2

c i
r
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ +
+ +
= + + −
= − + −
Do đó,
1
1 1
1 2
2 2 2
àarg arg arg
z
z z
v z z
z z z
= = −
Bây giờ có thể dễ dàng biểu diễn tích
của hai số phức
1 2
z z z=
, với
1 1 1 1
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +

là các số nguyên âm. Thật vậy:
1 1
1
[ os( ) isin( )]
( os isin )
z r c
r c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −
= = − + −
+
Và:
1 1
( ) [ ( os( ) isin( ))]
[ os( ) isin( )]
n n n
n
z z r c
r c n n
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− − −
−
= = − + −
= − + −
Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của số phức:
Cho
( os isin )z r c
ϕ ϕ

và
ϕ
sai khác nhau , hay
2 ,( )n k k Z
θ ϕ π
= + ∈
. Vậy
2k
n
ϕ π
θ
+
=
.
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số
2 2
w ( os isin ), ( ),
n
k k
r c k Z
n n
ϕ π ϕ π
+ +
= + ∈
thì ta được
z
. Như vậy:
2 2
( os isin ) ( os isin ),
n

với
1k n> +
thì những giá trị của
n
z
lại lặp lại một trong
n
giá trị ban đầu.
Do đó, căn bậc
n
của một số phức
có đúng
n
giá trị khác nhau. Những số
này biểu diễn như đỉnh của
n
đa giác đều
nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ
và bán kính là
n
z
.
1.4.4 Dạng mũ của số phức
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt

os isin
i
c e
ϕ
ϕ ϕ

2. ; 0
i
i
z z rr e
z r
e r
z r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
−
=
= ≠
Phép nâng số phức
( os isin )z a ib r c
ϕ ϕ
= + = +
lên lũy thữa bậc n của số
phức được thực hiện theo công thức Moivre
n n in
z r e
ϕ
=
2
w ; 0;1; ; 1
k
i
n n
n
k

| |AB
uur
= |z’ – z| (hay
| |AB
uur
=|A-B|). Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm M
0
(z
0
),
bán kính R là |z – z
0
| = R hay
( )
0
cos isinz z R t t= + +
với tham số t biến thiên trong
đoạn [0; 2
π
] hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung
tương ứng, còn phương trình đường thẳng có dạng:
z x ib
= +
,
onsb c t
=
, đường thẳng song song với trục Ox
z a iy
= +
,

uuur
ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải
không ứng dụng số phức.
Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho.
2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức
Cho trước hai điểm M(m), N(n). Khi đó, độ dài đoạn
( )
MN n m d m;n= − =
.
Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB. Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo
tỷ số
{ }
1k \∈¡
khi và chỉ khi
MA kMB=
uuur uuur
,
( )
a m k. b m− = −
trong đó a, b và m là tọa
vị các điểm A, B và M theo thứ tự đó.
Từ đó, nếu kí hiệu
[ ]
AB
là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) là chỉ đường
17
thẳng AB, kí hiệu
[
)
AB

0 1
M AB
t : m t a tb
arg m a arg b a
m a
t
b a
+
• ∈
• ∃ > = − +
• − = −
−
• = ∈
−
¡
Từ đó, để ý rằng
t t t= ∀ ∈ ¡
, ta thu được phương trình của đường thẳng đi
qua hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
W w ,W w
là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
0 3z w . w w z w . w w
− − − − − =

2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng

OM
với tia
2
OM

bằng
2
1
z
arg
z
.
Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
thì góc định hướng tạo bởi đường
thẳng
1 3
M M
với
2 4
M M
bằng
4 2
3 1
z z
arg
z z

k
z
có modul bằng
k
r
và có argument bằng
k
α
thì

( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
OM .OM r .r .cos rr cos cos sin sin
α α α α α α
= − = +
uuuur uuuur
Do đó
( )
1 2 1 2 1 2
1
2
z ; z . z .z z .z= +
Từ đó suy ra
1 2 1 2
z ; z z ;z=
và do đó
1 2
z ;z ∈ ¡
. Tích vô hướng của hai số phức
cũng có tính chất như tích vô hướng của hai vectơ. Ngoài ra

Diện tích của tam giác ABC định hướng, với các đỉnh
( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c
được tính theo công thức
1
1
4
1
a a
i
S b b
c c
=
Do đó
( ) ( ) ( )
A a ,B b ,C c
thẳng hàng khi và chỉ khi
1
1 0
1
a a
b b
c c
=
.
2.2.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( )
0
M z

.
Từ đó mọi đường tròn đều có phương trình dạng
0zz z z
α α β
+ + + =
, trong đó
,
α β
∈ ∈
£ ¡
. Đường tròn này có tâm với tọa vị
α
−
, bán kính
R
αα β
= −
.
2.2.6 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức
Phép dời hình.
Phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo véc-tơ
( )
v v
=
r
là phép biến hình biến
điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho
MM ' v.=
uuuur r
Do đó, biểu thức của phép tịnh tiến là

l
là trung trực của MM'. Từ đó
•
Phép đối xứng qua trục thực:
( )
z' f z z= =
•
Phép đối xứng qua trục ảo:
( )
z' f z z= = −
•
Do
( ) ( ) ( )
2 Ox; Ox;OM Ox;OM '= +
uur r uur uuur uur uuuur
l
( ở đây
( )
0
z=
r
l
) nên phép đối
xứng qua đường thẳng
l
đi qua gốc tọa độ O và điểm
2
0
i.
z e

20

Phép vị tự.
Phép vị tự tâm
( )
0
C z
, tỷ số
r
∗
∈¡
là phép biến hình biến mỗi điểm M(z)
thành điểm M'(z') mà
CM ' r.CM
=
uuuur uuur
. Do đó, có biểu thức
( )
0 0
z' r. z z z= − +
.
2.2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn
Định lý 2.3. Ba điểm
( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3
M z ,M z ,M z
thẳng hàng khi và chỉ khi
3 1
2 1

z z z z
:
z z z z
− −
∈
− −
¡
Hệ quả 2.1. Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ
khi
3 2 3 4
1 2 1 4
z z z z
và
z z z z
− −
∈ ∈
− −
¡ ¡
Bốn điểm
( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
3 2 3 4 3 2 3 4

α
thì
( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
OM OM r r .sin r r . sin cos cos sin
α α α α α α
× = − = −
uuuur uuuur
Do đó
( )
1 2 1 2 1 2
2
i
z z z .z z .z× = −
. Từ đó, do
1 2 1 2
z z z z
× = ×
nên suy ra
1 2
0Im z z
× =
.
Tích ngoài của hai số phức cũng có các tích chất như tích ngoài của hai véc-tơ trong
mặt phẳng, ngoài ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
zz z z. z z và z zz z. z z
× = × × = ×
.

AE E A= −
uuur
. Từ giả thiết
EB k EC=
uur uuur
( )
1
1
B E kC kE
k E kC B
kC B
E
k
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ =
−
Từ đó ta có
( )
1 1 1 1
k C A
kC B kC B kA A A B
E A A
k k k k
−
− − − + −
− = − = = +
− − − −
22

=
uur uuur
( )
1
1
C F kB kF
k F kB C
kB C
F
k
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ =
−
Từ đó ta có
( )
1 1 1 1
k B A
kB C kB C kA A C A
F A A
k k k k
−
− − − + −
− = − = = − +
− − − −

( ) ( )
1
1 1

uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
2) Ta có
1
kC B
E
k
−
=
−
;
1
kB C
F
k
−
=
−
Suy ra
( ) ( )
1 1
kA kB kC A B C
kC B kB C
A E F A
k k
+ + − + +
− + −
+ + = + =
− −

( ) ( )

0
1
AE BI CD E A I B D C
kC B kA A kA C kB B kB A kC C
k
k A B C k A B C A B C A B C
k
+ + = − + − + −
− − + + − − + + − − +
=
−
+ + − + + + + + − + +
= =
−
uuur uur uuur
Hệ thức
0AE BI CD
+ + =
uuur uur uuur r
được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của
EF. Chứng minh AMK là tam giác đều.
Giải
Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với
đỉnh A của lục giác đều ABCDEF, trục hoành đi qua hai điểm A, D. Gọi I là tâm lục
giác đều ABCDEF. Ta nhận thấy tứ giác BCDI là hình thoi nên K là trung điểm của
CI. Ta có
C E=
.
( )

 
   
= − + − = − + −
   
Vì M là trung điểm của EF, K là trung điểm của CI, nên
24
Hình 8
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 1
60 60 60 60
2 2
M E F C I cos i sin K cos i sin
   
= + = + − + − = − + −
   
Từ đó suy ra
·
0
60M K ,KAM
= =
, do đó tam giác KAM cân ( AK=AM), và có góc
ở đỉnh
·
0
60KAM =
nên KAM là tam giác đều.
Ví dụ 3. (Bất đẳng thức Ptolemy). Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ta luôn có
AB.CD AD.BC AC.BD

   
= −
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm M bất kì trong mặt phẳng.
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2
1 1
3 9
MG MA MB MC AB BC CA= + + − + +
.
Giải
Chọn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn đơn vị và giả sử
( )
( ) ( ) ( )
0
M z ,A a ,B b ,C c
. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ của G xác
25
Hình 9