MỤC LỤC
Trang 1
MỞ ĐẦU
Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải
những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh
mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật . Đối với học sinh bậc
THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh
mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng
của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải
các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải
1
toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học.
Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức vào
giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên
cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”.

Chương 1: SỐ PHỨC
Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép toán
và tính chất của số phức.
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán học
châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo
1, 1, 1b a b
− − + −
xuất hiện
đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ
đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số”
2
(1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã
đánh giá công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã
chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”.

+
, trong đó kí hiệu
: 1i = −
được
L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra rất
chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu
: 1i = −
là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều nỗi
băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với
số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu tượng
thỏa mãn định nghĩa
2
1i = −
.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số
phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì
1i = −
nên
2
1i = −
, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của
phép toán khai căn bậc hai lại thu được
2 2
1 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 1i
= − − = − − = − = =
Như vậy
1 1
− =

10
50
x y
xy
+ =


=

Cardano đã tìm được nghiệm
5 5± −
và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” và
thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.
Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của
số học”.
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản chất
hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí
ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa nhận cá đại lượng ảo
và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G. Leibniz thì thốt lên
rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng
tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa cái có thật và
cái không có thật”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là
nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép
tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào thế kỉ
4
XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng
ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L. Euler (1777 – 1855)
nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre

Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành
trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số
trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực R (và do
đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với hệ
số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm
về số có thể tóm tắt bởi
N Z Q R C
→ → → →
với các bao hàm thức:
N Z Q R C
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
.
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học
5
K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng
tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã
chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách
ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và
mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức.
Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần khi
đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tgawcs thực
hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó các nhà Toán học luôn luôn cố
gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của phép cộng và phép nhân,
luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số). Tuy nhiên sự bảo
toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng trường số
phức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong trường số thực.
Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức
L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:
“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình sáng

1
f x
x
=
+
không thể khai triển được thành
chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng.
Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa
¡
như một
trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói
¡
là trường con
của K nếu các phép toán trên
¡
được cảm sinh bởi các phép toán trên K.
6
1.2.1 Xây dựng trường số phức
Giả sử trường
£
chứa
¡
như một trường con mà phương trình
2
1 0x
+ =

có nghiệm trong nó, khi đó
£
phải có một phần tử i để

ii) Phép cộng:
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d
+ = + +
iii) Phép nhân:
( , ).( , ) ( , )a b c d ac bd ad bc
= − +
Tập hợp
£
với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập
thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:
1)
¡
chứa trong £ như một trường con (qua đồng nhất
a∈ ¡
với
( ,0)a ∈£
)
2) Tồn tại nghiệm của phương trình
2
1 0x + =
trong £ .
1.2.2 Định nghĩa
• Trường
£
được xây dựng như trên được gọi là trường số phức
• Mọi phần tử của
£
được gọi là số phức
• Vậy
z

7
1 2 1 2
( ) ( ) (1)z a a i b b
= + + +

và được kí hiệu là
1 2
z z z
= +
.
Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau:
i) Kết hợp:
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
+ + = + +
ii) Giao hoán:
1 2 2 1
z z z z
+ = +
Đặc biệt khi
1 2
;z z
là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với định nghĩa phép cộng các
số thực.
1.3.2 Phép trừ
Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức
1 1 1 2 2 2
;z a ib z a ib
= + = +
ta có thể tìm được số phức z sao cho

Và kí hiệu là
1 2
z z z=
.
Từ định nghĩa ta có những tính chất sau:
i) Kết hợp
1 2 3 1 2 3
( ) ( )z z z z z z
=
.
ii) Giao hoán
1 2 2 1
z z z z=
.
iii) Phép nhân có tình phân phối với phép cộng
1 2 3 1 2 1 3
( )z z z z z z z
+ = +
.
Nếu
1
z
và
2
z
là hai số thực thì định nghĩa (3) trùng với định nghĩa thông
thường của phép nhân trong tập hợp các số thực.
Đặc biệt khi lấy
1 2
z z i= =

. Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

2 2 1
2 2 1
(4)
a a b b a
b a a b b
− =


+ =

Vì
2
0z ≠
nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên luôn luôn
có một lời giải duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z
1
và z
2
.
Giải hệ (4), ta được

1 2 1 2
2 2
2 2
1 2 1 2
2 2
2 2
(5)

z
z
với
1
2
z
z
1.3.5 Lũy thừa bậc n
Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Kí hiệu
n
z
.
1.3.6 Căn bậc n
Số phức w được gọi là Căn bậc n của số phức z nếu
w
n
z
=
. Kí hiệu
w
n
z=
.
1.3.7 Định lí
Với các số phức
1 2
, ,z z z
, ta có:
9
1 2 1 2

= ∀ ∈ ∀ ∈
 
=
 ÷
 
+ = = − = = ∀ = + ∀ ∈
¡ £
£
¡
¡ £
¡
1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.4.1 Dạng lượng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số
phức
, ,z a ib a b
= + ∀ ∈
¡
bởi một điểm có tọa độ (a,b). Như vậy các số thực sẽ
được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực, các số thuần ảo
được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương ứng
với một số phức
z a ib
= +
Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức
£
với tập hợp tất cả các
điểm của một mặt phẳng.
Vì mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ có bán

π
.
ar 2 , ( ) 0
Ar
ar (2 1) , ( ) 0
b
ctg k k khi a
a
gz
b
ctg k k khi a
a
π
ϕ
π

+ ∈ >


= =


+ + ∈ <


¢
¢
Với
ar [- ; ]
2 2

1 2
;
ϕ ϕ
sai
khác nhau một số nguyên lần
2
π
2) Tính chất của modun và argument
11
Hình 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
) . .
) Re
) Im
) Re Im
)
)
i z z z z
ii z z
iii z z
iv z z z
v z z z z
vi z z z z
=
≥
≥
≤ +
+ ≤ +

. .z z z z z=
; còn argument
ϕ
là tổng
1 2
( )
ϕ ϕ
+
của
hai argument thừa số, hay nói cách khác
1 2 1 2
arg arg argz z z z= +
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
[ ( os isin )].[ ( os isin )]....[ ( os isin )]
....r [ os( ... ) sin( ... )]
n n n
n n n
r c r c r c
r r c i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + +
= + + + + + + +
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1

2 2 2
àarg arg arg
z
z z
v z z
z z z
= = −
Bây giờ có thể dễ dàng biểu diễn tích
của hai số phức
1 2
z z z=
, với
1 1 1 1
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
;
2 2 2 2
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +

12
là một điểm với bán kính véc tơ
1 2
rr
và argument
1 2
ϕ ϕ
+

( ) [ ( os( ) isin( ))]
[ os( ) isin( )]
n n n
n
z z r c
r c n n
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− − −
−
= = − + −
= − + −
Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của số phức:
Cho
( os isin )z r c
ϕ ϕ
= +
, căn bậc n của số phức z là một số phức biểu diễn
dưới dạng lượng giác
w ( os isin )c
ρ θ θ
= +
, sao cho
w
n
z=
, hay
[ ( os isin )] ( os isin )
n
c r c

2 2
w ( os isin ), ( ),
n
k k
r c k Z
n n
ϕ π ϕ π
+ +
= + ∈ thì ta được
z
. Như vậy:
2 2
( os isin ) ( os isin ),
n
n
k k
r c r c
n n
ϕ π ϕ π
ϕ ϕ
+ +
+ = +
với
0,1,2,..., 1k n= −
sẽ nhận được
n
giá trị khác nhau cho
n
z
.

đa giác đều
nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ
và bán kính là
n
z
.
1.4.4 Dạng mũ của số phức
Để đơn giản cách viết số phức ta đặt

os isin
i
c e
ϕ
ϕ ϕ
±
± =
dạng lượng giác được biến đổi thành dạng mũ
14
Hình 4
i
z re
ϕ
=
đó là dạng số mũ của số phức
0z ≠
.
Dễ dàng chứng minh rằng nếu
1 2
1 1 2 2
;

= + = +
lên lũy thữa bậc n của số
phức được thực hiện theo công thức Moivre
n n in
z r e
ϕ
=
2
w ; 0;1;...; 1
k
i
n n
n
k
z re k n
ϕ π
+
= = = −
Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả của hình
học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học.
15
2.1 Phương pháp giải toán
Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức
z x iy
= +
với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là
tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M;
đồng thời cũng đồng nhất số phức
z x iy

0
cos isinz z R t t= + +
với tham số t biến thiên trong đoạn [0; 2
π
] hay
một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung tương ứng, còn
phương trình đường thẳng có dạng:
z x ib
= +
,
onsb c t
=
, đường thẳng song song với trục Ox
z a iy
= +
,
onsa c t
=
, đường thẳng song song với trục Oy
z x iy
= +
,
tany x
ϕ
=
,
ϕ
là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox.
Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành
vectơ

uuur uuur
,
( )
a m k. b m− = −
trong đó a, b và m là tọa vị
các điểm A, B và M theo thứ tự đó.
Từ đó, nếu kí hiệu
[ ]
AB
là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) là chỉ đường
16
thẳng AB, kí hiệu
[
)
AB
là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau
Cho trước hai điểm
( ) ( )
A a ,B b
phân biệt và điểm
( )
M m
. Khi đó
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
0 0 1 1 1M AB t : z m t. b m t ; : m t a tb
∈ ⇔ ∃ ≥ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +
( ) ( ) ( ) ( )

Từ đó, để ý rằng
t t t
= ∀ ∈
¡
, ta thu được phương trình của đường thẳng đi
qua hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
W w ,W w
là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1
0 3z w . w w z w . w w
− − − − − =

2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

( ) ( )
1 1 2 2
M z ,M z
và
1 2
k k
arg z ,k ,
α
= =
. Khi đó, do
( ) ( ) ( )

( )
1 2 3 4
k k
M z ,k , , ,=
thì góc định hướng tạo bởi đường
thẳng
1 3
M M
với
2 4
M M
bằng
4 2
3 1
z z
arg
z z
−
−
.
Định lý 2.2. Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi
c a c' a'
b a b' a'
− −
=
− −
17
Hình 5