Đề 1:
Câu 1: Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
X=x-2, Y=y-1
f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)
2
-(X/3 +Y/3)
3
+ o(ρ
3
)]
= + X - Y - X
2
+ Y
2
+ XY + X
3
- Y
3
- XY
2
+ o(ρ
3

∞
=1n
n
n
v
u
với u
n
=
n
n






+
2
1
2
và v
n
=
2
2
1
n
n


−
−
∑
ρ= = =1/4
=> -4<x
2
<4 => -2<x<2
x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ: [-2;2]
Câu 5: Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥
x=rcosφ, y=rsinφ
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+

, với C là giao của
2 2
1+ =x y
và
1z y= +
, chiều kim đồng hồ
theo hướng dương trục 0z.
Công thức Stokes
I = = =
= = =
Câu 8: Tính tích phân mặt loại một
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
, trong đó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y= +
, nằm
giữa hai mặt phẳng
0, 1z z= =
.
D=pr
xOy
S là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x
2
+y
2

(2,1)= 4e
2
f’’
xy
= 4xy + 2x
2
y
3
=> f’’
xy
(2,1)=16e
2
f’
y
=2x
2
y
f’’
yy
= 2x
2
+4x
3
y
2
=> f’’
yy
(2,1)=40e
2
 d

v x= ,y=0, λ=-3e
-3
f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1
f(0,2)= f(0,-2)=4e
5
f(2,0)= f(-2,0)=-4e
-3
Maxf=4e
5
x
2
+y
2
4
Minf=-1
x
2
+y
2
4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1
+
∞
=
∑


)2(
2
2
1
+
∞
=
∑






+
−
nn
n
n
n
hội tụ theo tc Cauchy
b) = = 6>1

1
1
3.
)2 (6.4.2
)12 (5.3.1
+
∞

D
I e dxdy
− −
=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
= = (e
-4
-e
-1
)
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
, với C là phần đường cong
siny x x= +
, từ
(0,0)A

Rx}
S= dxdy = rdr =2R(
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
2 2 2 2 2
4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y
, phía trong.
Các đk công thức Gauss thỏa
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
= -
=-3 = (
Đề 3:
Câu 1. Cho hàm
( , ) (2 )ln
x
f x y x y
y
= +
. Tính
2
(1,1)d f

= 1 C=z’’
yy
=18/y
3
Δ=AC-B
2
= -1
x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
× × −
∑
−
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n
n
n
n x
n
∞

C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn
bởi
2
2 ,y x y x= − = −
, chiều kim đồng hồ.
S là biên của miền phẳng giới hạn bởi
2
2 ,y x y x= − = −
Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước
( ) ( )
2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
= = -2 = -9
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
S là phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2

I xdS
= + = 2 dydz + 2 dydz =0
Đề 4:
Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + −
. Tính
2
(0,0)d f
f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y)
f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2
f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2
f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y)
f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10
 d
2
f(0,0)=2dx
2
-4dxdy+10dy
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2
12 8 .z x y x y= + −
Điểm dừng:
 x=2, y=-4
A=z’’
xx
=6xy+24 B=z’’
xy
= C=z’’

× × −
∑
× × −
L
L
hội tụ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
∑
+ +
= =1/8
=> -8<x+1<8 => -9<x<7
x=-9: phân kỳ theo tc tích phân
x=7: hội tụ theo tc Leibnitz
 Miền hội tụ (-9,7]
Câu 5. Tính tích phân
)2222
ln(. yxyx
D

2
+9y
2
=36, chiều ngược
kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó
 = => h(y) =y+c
h(1)=1 => c=0
 h(y)= y
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
=
= = -2e
2
+2
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y= +
.
S là phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2

2
rdr =
I= =
Đề 5
Câu 1. Tính
2
f
x y
∂
∂ ∂
, với
3
( ) sin ;
2

= = +


= +


x
f f u u u
u xy e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2 2 2
( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + =
L(x,y,λ)= 2x
2
+12xy+y

3
1
2
2
1
n
n
n
n
n
∞
=
 
+
∑
 ÷
−
 
= = 8 >1

3
3
1
2
2
1
n
n
n
n

Câu 5. Tính tích phân
(
)
dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
với D là hình tròn: x
2
+y
2

≤
3
I=
(
)
dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
= = 2 = 2
Câu 6. Chứng tỏ tích phân
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy

Câu 8. Tính
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy
, với S là phần mặt phẳng
4+ + =x y z
nằm trong hình
trụ
2 2
2x y y+ =
, phía trên.
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy
=
=
=
x=rcosφ, y-1=rsinφ
I=
=
=
= =
Đề 6
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) =

+ 18x
3
y
5
=>
)1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
= 36e
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x
3
+ y
3
+ 3x
2
- 3xy +3x-3y +1
Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0
A= z’’
xx
=6x+6 B=z’’
xy
=-3 C=z’’
yy
=6y
Δ=AC-B
2
=36(x+1)y-9

−
+
−
∑
∞
=
+
+
ρ= = =3/4
=> -4/3<x-1<4/3 => -1/3<x<7/3
x= -1/3: phân kỳ
x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (-1/3,7/3]
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1,x y y x+ = ≤
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
= =
Câu 6. Tính tích phân
2 2

và
0x y z+ + =
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của C là giao của
2 2 2
4+ + =x y z
và
0x y z+ + =
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
= (S có n=( )
= = = - S = - = -4
Đề 7
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x
2
- y
2
). Tính dz(
)1,2
và
2
2
x
z
∂
∂
(
)1,2

x=-4,y=1, λ=-1/2 => d
2
L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)
x=4,y=-1, λ=1/2 => d
2
L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 !
n
n
n
n
n
∞
=
∑
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
( )( )
∑
∞
=
+
+
++
0
62
1.5
12
n

.
∫∫
++
0
22
3 yx
dxdy
=
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye
xy
+ e
x
α
cosy, Q(x,y)= 2xe
xy
- e
x
α
siny trong đó
α
là hằng số. Tìm
α
để biểu
thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với
α
vừa tìm được, tính tích phân đường
dyxyxQdxyyx ]),([]),[(
33
++−
∫

I x y dx y z dy z x dz
, với C là giao của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của của
2 2
= +z x y
và
2 2z y= −
, n= (0,
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −
∫Ñ
C
I x y dx y z dy z x dz
=
= =
Đề 8
Câu 1. Tìm
' '
,
x y
z z
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình
3 2
lnx y yz z+ + =
F(x,y)= x

2
12
2
−
∞
=
∑






+
nn
n
n
n
b/
2
1
2
5.
!)12 (5.3.1
9.4.1
+
∞
=
∑
−

n
x
n n
∞
+
=
− −
+ +
∑
ρ=
=>-3<x-2<3 => -1<x<5
x=-1 hội tụ
x=5 hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ [-1,5]
Câu 5. Tính tích phân kép
∫∫
−−
D
yx
22
9
dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường
tròn x
2
+ y
2
= 9, y
0≥
và các đường thẳng y = x, y = -x
∫∫

x
[ ]
∫
+
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()(
= 3e
-3
+ 3e
3
Câu 7. Tính
2=
∫∫∫
V
I zdxdydz
, với V giới hạn bởi
2 2 2
2+ + ≤x y z z
và
2 2
1+ + =z x y
.
D= pr
xOy
V , D={x
2
+ y
2
=1/2}
2=

=
=
=
Đề 9
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của
2 2
1
, if ( , ) (0,0)
( , )
3, if ( , ) (0,0)
x y
e x y
f x y
x y
−
+


≠
=


− =

Miền xác định: {R\ xy=0}
f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)
 lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0)
 , (x,y) khác (0,0)

 0<f(x,y)<1

14
14
+






+
−
=
nn
n
n
n
u
,
!).13 (10.7.4
).2 (6.4.2
nn
nn
v
n
n
+
=
=> hội tụ theo tc Cauchy
=> phân kỳ theo tc D’alembert


 Miền hội tụ [-7,1)
Câu 5. Tính J=
∫∫
D
dxdy
với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x
2
+y
2
= 2x, x
2
+y
2
= 6x và các đường
thẳng y = x, y = 0.
J=
∫∫
D
dxdy
=
Câu 6. Tìm hàm h(x
2
- y
2
), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I=
][
dxyxydyyxxyxh
AB
)()()(

.
( )
V
I x yz dxdydz= +
∫∫∫
=
=
Câu 8. Tính tích phân mặt
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
, với S là phần mặt
2 2 2
2+ + =x y z x
, phần
0z
≤
, phía dưới.
Thêm mặt z=0
Công thức Gauss
( ) ( )
2 3 2 4= + + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
=
=
Đề 10