Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƠNG DỤNG

Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
Đ


Phép đối xứng trục


Đ
ối xứng
Đ
O
Phép đối xứng tâm O
Đ
ối xứng
v
T


Phép tịnh tiến theo vectơ
v


T
ịnh tiến
),(


d

() = {M}
d cắt mặt phẳng () tại M

()  () = 
mp(

) cắt mp(

) theo giao tuyến
S.ABCD Hình chóp S là đỉnh, ABCD là mặt
đáy
ABC.A'B'C' Hình lăng trụ tam giác

d(A,(

)) Khoảng cách từ A đến mp(

) Distance from A to (

)
d(

,()) Khoảng giữa đường thẳng

và mp(

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
oOo


CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Vectơ:
a) Các định nghĩa:
 Độ dài vectơ
AB
kí hiệu
AB
bằng độ dài đoạn thẳng AB.
 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song
song hoặc trùng nhau.
 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.
 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và
cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ
a

kí hiệu là -
a

; vectơ đối của

bình hành thì:

ACADAB 


Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:
ACBCAB 

CBACAB 

 A, B, C thẳng hàng 
ACkAB 
, k  R
 I là trung điểm AB 
0

 IBIA

 G là trọng tâm ABC  0

 GCGBGA
b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:
Cho hai vectơ
u

= (u
1
; u
2
),

1
- v
1
; u
2
- v
2
)
 k
u

= (ku
1
; ku
2
)

v
u


.
= u
1
v
1
+ u
2
v
2

B
), ta có:

AB
= (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
 AB =
AB

 Tọa độ trung điểm của AB: I(
2
;
2
BABA
yyxx


)
 Tọa độ trọng tâm ABC: G(
3
;
3
CBACBA

 B)(A;VTPTcó
)y;M(xqui
00
n
là: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0.
Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến
);( BAn


.
 Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương
);( bau


thì d có một vectơ pháp tuyến
);( abn



. Nếu đường
thẳng  có vectơ pháp tuyến
n

= (A; B) thì  có một vectơ chỉ phương là
);( ABu


Tài liệu lưu hành nội bộ
3
3. Đường tròn:
 Đường tròn (C):



Rkínhbaùn
baItaâm );(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
.
 Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a
2
+ b
2
- c > 0.
Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R =
cba 
22
.


4
§1. PHÉP BIẾN HÌNH
 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được
bao nhiêu điểm M' như thế?
ĐỊNH NGHĨA:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó
được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua
phép biến hình F.
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi
điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình
F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
 Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với
điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?

 Ghi chú:
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

v

thường được kí hiệu là
v
T

,
v

được gọi là vectơ tịnh tiến.
 Vậy:
vMMMMT
v


 '')(

 Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất.
Cho hai tam gi
á
c
đ
ề
u ABE v
à

BCD b

MNNM ''
và từ đó suy ra M'N' = MN. Hay phép
tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của
M qua phép tònh tiến theo vectơ
v

, khi đóù:





byy
axx
'
'
(biểu thức tọa độ của phép tònh tiến
v
T

)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ

H
v
d
v
N
M
v
I
A
C
B
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
 Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AD
.
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác điïnh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AG
. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ
AG
biến D thành A.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:

2
+ (y + 2)
2
= 9. Tìm ảnh của
(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 5).
Bài 6: Chứng minh rằng: M' =
)'()( MTMMT
vv



.
Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao
nhiêu phép tịnh tiến như thế.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho
v

= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d
1

có phương trình 2x - 3y - 5 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua
v
T

.

d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay
phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng
trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ
d
.

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H'
đối xứng với nhau qua d.
* Nhận xét:
 Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vng góc của M trên đường thẳng d. Khi
đó: M' = Đ
d
(M) 
MMMM
00
' 

  M' = Đ
d
(M)  M = Đ
d
(M').
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.
Giải:
0
d
M'
M
d
a
d
M
N
d
A
B
C
d
I
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:





yy
xx

2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Giải:
III- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn
có cùng bán kính.
IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:
Đònh nghóa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H
thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:

B
C
D
A
C F
A
B
C
D
A
B
C
D
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua
phép đối xứng trục Ox.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đường
thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua
phép đối xứng qua đường thẳng CD.

§4. PHÉP QUAY
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành
M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng  được gọi là phép quay tâm O góc .

Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi là góc
quay của phép quay đó.
Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là Q
(O,)
.

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của
đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của
kim đồng hồ. Chiều quay dương Chiều quay âm
2) Với k là số nguyên ta luôn có:
 Phép quay Q
(O; 2k)
là phép đồng nhất.
 Phép quay Q
(O; (2k + 1))
là phép đối xứng tâm O.  Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -90
0

M'
O
M
α
M'
O
M
α
M'
O
M
M'
O
M
R
R
C'
A'
B'
I'
O
I
B
A
C
O
d
d'
α
α

 Ghi chuù:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Tìm
ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam
giác AMN qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60
0
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường

AB
.

 Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép đối xứng qua đường thẳng BD.
II- TÍNH CHẤT:
Phép dời hình biến:
1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;
4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Chú ý:
a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm,
trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm,
tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
A'B'C'.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường
tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam giác OAB qua
phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép quay tâm O, góc 60
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
OE

Tài liệu lưu hành nội bộ
14  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình
biến tam giác AEI thành tam giác FCH.

III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có
một phép dời hình biến hình này thành hình kia.  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.

 Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).
a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép

.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI. Xác định một phép dời hình
biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
§6. PHÉP VỊ TỰ
I- ĐỊNH NGHĨA:
Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho
OMkOM .' 

được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V
(O,k)
.
Ví dụ:

O
M
M'
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
15

Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số

Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm;
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng;
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với
nó, biến góc thành góc bằng nó;
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường
tròn bán kính
k
R.  Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C'.
Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.
Giải:
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0. Hãy viết
phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vò tự tâm O tỉ số k = 2.
Giải:

O'
I
O
A