CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên AB lấy
H sao cho
Ð
ADH = 15
0
.Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so sánh độ các
đoạn thẳng DH và DK
LỜI GIẢI :Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường thẳng DH dựng tam giác đều DHN .Gọi Q là trung
điểmDC ta có :
AD = DQ = QC

0
15ADH QDN= =Ð Ð
DH = HN (
∆
DHN đều )
0 0
90 90( . . ) ( . . )ADH QDN c g c NQD HAD NQC NQD NQC c g c= = = = =Þ D D Þ Ð Ð Þ Ð Þ D D
0 0 0 0 0
15 180 15 15 150( )NCQ NDQ DNC= = = - + =Þ Ð Ð Þ Ð
Từ đó suy ra
CDCHcgcDNCHNCHNC =⇒∆=∆⇒=+−=∠ ) (150)15060(360
0000
Tức là
∆
CHD cân tại C .Mà
0000

CAO CAH BAH BAO> = >Ð Ð Ð Ð
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
0 0
180 180 0( ) ( )AOB ABO BAO AC CAO AOC= - + > - + =Ð Ð Ð Ð Ð Ð
.
Điều này trái giả thiết .
Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và
AOB AOC<Ð Ð
Vậy
AOB AOC OB OC< >Ð Ð Û
Cách 2: Vẽ tia AD sao cho <DAC =<BAO và AD = AO (B, D khác phía với AC.
Ta có tam giác ABO và tam giác ACD bằng nhau( c.g.c) =>OC =OB và <AOB =<ADC
Từ AO = AD => Tam giác AOD cân ở A => <AOD =<ADO.
Mà <AOB < <AOC nên< COD < <ODC=>OC < OD => OC < OB.
BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh
AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG
và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC.
LỜI GIẢI :

Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà D’M cắt
nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’
º
D .Mặt khác BA
^
DC nên
BDCD
vuông cân tại B
.Do
0

Suy ra
( . . )DKB DKE c g c DB DE= =D D Þ
(4)
Từ (1) và (4) suy ra DB = DE
BÀI 4 :
Cho tam giác ABC với
0
36ABC ACB= =Ð Ð
Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao
cho
0
12BCN =Ð
.Hãy so sánh độ dài của CN và CA
LỜI GIẢI :
2

Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B .Vì
0 0
0 0
180 36
36 72
2
ABC nên BCD BDC
-
= = = =Ð Ð Ð
.
Ta lại có
0 0 0
36 36 72DAC ABC ACB= + = + =Ð Ð Ð
(Tính chất của góc ngoài )

. Kẻ DE
^
AM (E
∈
AC) Ta có
0
30DAM DMA DAM= =Ð Ð Þ D
cân tại D từ đó suy ra
0
120ADM =Ð
Và DE là đường phân
giác của góc ADM nên
0
60EDM BDM= =Ð Ð
do đó
( . . )EDC BDC c g c=D D
.
Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC
0
5MCB MCE= =Ð Ð
, MC chung Do đó

0 0 0 0 0
9 180 180 180 55 125. . )BMC EMC c g c BMC EMC DME DAE= = = - = - = - =D D Þ Ð Ð Ð Ð
BÀI 6:
3
Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD. So sánh số đo 2 góc
BADÐ
Và
1

ACAE
⊥
và AE = AC . So
sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC.
LỜI GIẢI :

Ký hiệu S
ABC
là diện tích tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB = AB’,ta có
'ADB∆
vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD
⊥
AB’.
Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC ,
ABCDAE
SSACBDAEACBDAE =⇒∆=∆⇒∠=∠ ''
(1) .Mặt khác 2 tam giác B’AC và ABC
có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó S
B’AC
= S
ABC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra S
ADE
= S
ABC
BÀI 8:
Cho tam giác ABC có AB> AC .Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM = AN
gọi K là giao điểm của BN và CN .Hãy so sánh độ dài của KB và KC .
4

KNKMKNMKMN >⇒∠<∠
(4)
Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN
⇒
BN –KN .> CM – KM
⇒
BK > CK
BÀI 9:
Cho tam giác ABC có góc ACB = 45
0
và góc A tù Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại D sao
cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD.
LỜI GIẢI :

Gọi tia đối của tia AB là tia Ax .Xét tam giác ABH ta có :
1
0
290 BABHAHBHAx ∠+=∠+∠=∠
. Xét tam giác ABC ta có :

HAxBBCA ∠=∠+=∠+∠=∠
2
1
45
1
0
112
suy ra AC là tia phân giác của góc Hax.
Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của góc ABH suy ra HC là phân giác góc AHD
Do góc AHD = 90

(1)
Dễ thấy
AHCBKAcgcACHBAK ∠=∠⇒∆=∆ ) (
. 2 Tam giác vuông AQN và CHN có AN
= NC ,
CHAQCNHANQCNHANQ =⇒∆=∆⇒∠=∠
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ
⇒
AH là tia phân giác của góc KHQ
000
13513545 =∠⇒=∠⇒=∠⇒ BKAAHCAHQ
Từ
00
135360 =∠⇒=∠+∠+∠ BKHAKHBKHBKA
Tam giác AKH có
0
45=∠KHA
Nên nó
vuông cân tại K suy ra KA = KH . Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung ,
0
135=∠=∠ BKHBKA
, KA = KH
BHBAcgcBKHBKA =⇒∆=∆⇒ ) (
hay tam giác
ABH cân tại B .
Cách 2:Kẻ AK vuông góc với MC. Ta chứng minh được tam giác MKA bằng tam giác NKC
suy ra KC = AK. Ta có AK //NH , NA = NC => KH = HC =>AK = KH.
Ta có ME //AC, HK = HN => HE cắt KA ử trung điểm I của AK.
Xét tam giascMAB có M là trung điểm của AB, I là trung điểm của AK => MI là đường trung

6
( Vẽ tia Am sao cho<BAm =30
0
, vẽ BK, CH cùng vuông góc Am. Ta có BK = AB: 2, CH =
3
AC:2; BK + CH <BC ).
BÀI 13 : Cho góc xOy bằng 60
0.
Trên Ox, Oy lấy A, B bất kỳ. Chứng minh
OA + OB < 2AB .
( Gợi ý: Vẽ Oz là phân giác góc xOy. Kẻ AH, BK cùng vuông góc với Oz Ta có AH= AO:2,
BK= OB :2)
7