PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-
[p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
−
=
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và
A

1.3.1.
( )
x x n x
n n
p x C p q
−
=
, p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +

∫

2.2.3.
( ) ( )
b
a
p a x b f x dx≤ ≤ =
∫

2.3.
Hàm phân phối xác suất (
( )F x
) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên
tục)

2.3.1.
( )F x
=p(
F
<x)

2.3.2.
'( ) ( )
F x f x=

2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞

2 2
( ) ( ) [ ( ) ]
V x x f x dx xf x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= −
∫ ∫

3. Một số phân phối xác suất thông dụng:
3.1.
Phân phối chuẩn tổng quát:
2
~ ( ; )
X N
µ σ

3.1.1.
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−

≤ ≤ = −

3.1.5.
Phân phối chuẩn tắc
2
0, 1
µ σ
= =

3.1.5.1.
~ (0,1)T N

3.1.5.2.
2
2
1
( )
2
t
f t e
π
−
=

3.1.5.3.
Đổi biến
X
T
µ
σ

λ
= =

3.3.
Phân phối nhò thức:
~ ( , )X B n p

3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
n n
p X k p k C p q p q
−
= = = + =

3.3.2.
0
( ) 1
n
k
p X k
=
= =
∑

3.3.3.
( )E x np=
,
0 0
,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ +

k k n k
n
p x k C p q e
k
λ
λ
− −
= = =

3.3.5.2.
Bằng phân phối chuẩn:
0.5, 0.5, ,np nq np npq
µ σ
≥ ≥ = =
.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ
−
= =
; p(
1
k
<X<
2 1
2

= =

3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N
= =
;
( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N
−
= = −
−

3.4.2.
Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhò thức:
0.05 ~ ( , )n N X B n p≤
⇒
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p

=

PHẦN 2: THỐNG KÊ
1. Tổng thể và mẫu
1.1.
Thực hành tính toán trên mẫu:

1.1.1.
Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n
n i
i
X x
n
=
=
∑

1.1.2.
Tính tỷ lệ mẫu: (
n
f
);
A
n

2 2
( ) , ( ) , ( )
n n
E X E f p E S
µ σ
= = =

1.2.2.
Ước lượng khoảng:

1.2.2.1.
Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1-
α
cho trước, 1 mẫu kích
thước n.

30n ≥
,
2
σ
biết

30n ≥
,
2
σ
chưa biết

X
,

2
u
α
)

2
.
s
u
n
α
ε
=

(
1
α
−
0.5-
2
α

2
u
α
)

n
<30,
2

Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1
α
−
cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu
n
f
. Tìm 2 số
1 2
,p p
thoả:
1 2
( ) 1p p p p
α
≤ ≤ = −
,
1,2 n
p f
ε
=
m
Công thức:
2
(1 )f f
u
n
α
ε
−
=

( 1, )
2
n
α
χ χ
= −
,
2 2
2
( 1,1 )
2
n
α
χ χ
= − −

TH2:
µ
biết. Khi đó
2
2 2
1 2
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x
µ µ
σ
χ χ
− −

2
σ
biết

Giả thuyết thống kê
W
α
:
2
σ
biết (miền bác bỏ
0
H
)

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
≠
0
µ

0
{ ,
X

σ
−
= =
,u<-
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
>
0
µ

0
{
X
W u n
α
µ
σ
−
= =
,u>

0
µ

0
{ ,
X
W u n u
s
α
µ
−
= =
>
2
u
α
}

0 0
:H
µ µ
=

1
:H
µ
<
0
µ


s
α
µ
−
= =
,u>
u
α
}1.2.3.1.3.
TH3:
n
<30,
2
σ
không biết

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)

0 0
:H
µ µ

=

1
:H
µ
<
0
µ

0
{
X
W t n
s
α
µ
−
= =
,
t
<-
( 1, )
2
n
t
α
−
}

0 0

1.2.3.2.
Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho tỷ lệ:

Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)

0: 0
H p p=

1:
H p
≠
0
p

0
0 0
{ ,
(1 )
f p
W u u
p p
n
α
−

u
<-
u
α
}

0: 0
H p p=

1:
H p
>
0
p

0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
−
,
u
>

σ
≠
2
0
σ

2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ
<
2
1
χ
hoặc
2
χ
>