Chơng 2. Hàm Biến Phức
Trang 30 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ6. Hàm mũ

Hàm mũ phức
Hàm mũ phức
w = e
z
= e
x
(cosy + isiny), z (2.6.1)
có phần thực u = e
x
cosy và phần ảo v = e
x
siny thoả điều kiện (C - R) nên giải tích trên
toàn tập số phức, có đạo hàm
w(z) = e
z
(2.6.2)
Hàm mũ phức tuần hoàn chu kỳ T = 2i
e
z+i2

= e
z

và có các tính chất khác tơng tự nh hàm mũ thực.

Hàm mũ phức là hàm đa diệp
1

Suy ra
w = ln| z | + i(argz + k2) với k 9 (2.6.5)
Lập luận tơng tự nh hàm căn phức, điểm gốc là điểm rẽ nhánh của hàm logarit và để
tách nhánh đơn trị cần phải cắt mặt phẳng phức bằng một tia từ 0 ra .

Imz=0

Imz=2


argw=2


argw=0

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Giỏo trỡnh hng dn tỡm hiu cỏc bi toỏn v hm bc cao
Đ7. Hàm lợng giác

Hàm lợng giác phức
Kí hiệu
cosz = )ee(
2
1
iziz
+ sinz = )ee(
i2
1
iziz
tgz =
zcos
zsin
(2.7.1)
Các hàm biến phức w = cosz, w = sinz và w = tgz gọi là các hàm lợng giác phức.
Hàm lợng giác phức đơn trị, tuần hoàn, giải tích, có đạo hàm
(cosz) = - sinz (sinz) = cosz, (2.7.2)
và có các tính chất khác tơng tự hàm lợng giác thực.

Chú ý Với z = x 3, cosz =
2
1
(e
ix
+ e
-ix

.
Hàm hyperbole phức đơn trị, tuần hoàn, giải tích, có đạo hàm
(chz) = shz (shz) = chz, (2.7.4)
và có các tính chất khác tơng tự hàm hyperbole thực.


Ngoài ra, ta có các liên hệ giữa hàm lợng giác và hàm hyperbole
chiz = cosz cosiz = chz shiz = isinz siniz = ishz (2.7.5)

Ví dụ Tìm ảnh của miền -
2

< Rez <
2

qua ánh xạ w = sinz
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

nếu nó là đơn diệp và bảo giác tại mọi điểm thuộc D.
Theo các kết quả ở trên hàm giải tích và có đạo hàm khác không tại điểm a là một song
ánh, R - khả vi và bảo giác trong lân cận điểm a, gọi là một vi phôi bảo giác. Ngợc lại
một vi phôi bảo giác tại điểm a là hàm giải tích và có đạo hàm khác không tại điểm a.

Bài toán Tìm phép biến hình bảo giác f biến miền đơn liên D thành miền đơn liên G.

Để giải bài toán trên ngời ta thờng sử dụng các kết quả dới đây, gọi là các nguyên
lý biến hình bảo giác. Việc chứng minh các nguyên lý biến hình bảo giác là rất phức tạp
và phải sử dụng nhiều kết quả khác. Ơ đây chúng ta chỉ trình bày sơ lợc các ý tởng
của các phép chứng minh. Bạn đọc quan tâm đến các phép chứng minh chi tiết có thể
tìm xem ở phần tài liệu tham khảo.



a

b



1

-
1


/2



-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

= f(z
1
) với z
0D
0
và z
1
D
2. Cho biết w
0
= f(z
0
) và arg f(z
0
) = với z
0
D
0

Chứng minh
Kí hiệu
U = { z : | z | < 1}, S = { g H(D, ) : z D, | g(z) | < 1} và a D
Ta công nhận
f
a
S sao cho | f
a

Cho D là miền đơn liên giới nội, hàm f : D liên tục trên
D
, giải tích trong D và không phải là hàm hằng. Khi đó G = f(D) cũng là miền đơn liên.
Chứng minh

Do hàm f liên tục nên bảo toàn đờng cong suy ra bảo toàn tính liên thông
Với mọi b = f(a) G, do miền D mở và f const nên có hình tròn B(a, R) D sao cho
với mọi z B(a, R), f(z) b.
Kí hiệu
à =
z
Min | f(z) - b | với = B
N
B
[f(z) - b] là số không điểm của hàm f(z) - b trong hình tròn B(a, R)
Với w B(b, à) tuỳ ý, ta có
f(z) - w = f(z) - b + b - w và | f(z) - b | > à > | b - w| với z B(a, R)
Theo định lý Rouché (Đ8, chơng 4)
N
B
[f(z) - w] = N
B
[f(z) - b] = 1
Do đó z B(a, R) sao cho w = f(z) G.
Vì điểm w tuỳ ý nên B(b, à) G và suy ra tập G là tập mở
Nguyên lý tơng ứng biên
Cho D, G là các miền đơn liên giới nội, hàm f : D liên

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e


[f(z) - b] là số gia argument của hàm f(z) - b khi z chạy trên
đờng cong . Theo nguyên lý argument (Đ8, chơng 4)
N
D
[f(z) - b] =

2
1


D
[f(z) - b] =

2
1


G
(w - b) = 1
Do đó a D sao cho b = f(a).
Lập luận tơng tự với b
G

N
D
[f(z) - b] =

2
1


D , giải tích trong D
1
,
biến hình bảo giác miền D
1
thành miền G
1
sao cho cung L
+
thành cung
+
G
1
. Khi đó
có hàm giải tích f : D
1
D
2
biến hình bảo giác miền D
1
D
2
thành miền G
1
G
2

với G
2
là miền đối xứng với G


D
2




, f(z) = f
1
(z), z

D
1


L và f(z) = f
2
(z), z

D
2

là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D
1


D
2
thành miền G
1


=
|
a
|
và

= arg(a). Phân tích
w =

e
i

z + b (2.9.2)
Suy ra phép biến hình tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.