Chơng 7. Thuỷ lực vùng ngập lụt
ảnh. Một ngôi nhà và một con đê bao quanh vùng ngập lụt trung lu sông Trinity. 1991.
7.1
Dòng chảy đều
Chơng này giới hạn bởi dòng chảy trong lòng dẫn hở, bao trùm các bài toán
dòng chảy ổn định gồm dòng chảy đều hoặc dòng chảy không đều. Trong phần này,
không đề cập đến chế độ thuỷ lực của dòng chảy không ổn định trong lòng dẫn, tuy
nhiên độc giả có thể tham khảo nó trong cuốn cơ chất lỏng. Tính toán lòng dẫn và bề
mặt nớc của vùng ngập lụt là để xác định mức độ ngập lụt và nghiên cứu những bài
toán nh dòng chảy ổn định.
Dòng chảy đều trong lòng dẫn hở là dòng chảy xét theo điều kiện thuỷ lực có độ
sâu và diện tích mặt cắt ngang không đổi. Các tiêu chuẩn này đòi hỏi đờng năng
lợng, đờng mặt nớc và đáy lòng dẫn phải song song với nhau. Hay nói cách khác, sự
thay đổi tổng năng lợng trên toàn lòng dẫn nghiên cứu phải bằng năng lợng tổn thất
của ma sát ở lớp biên và chuyển động rối.
Cuối cùng, dòng chảy đều đợc hình thành trong lòng dẫn với lu lợng và diện
421
tích mặt cắt không đổi. Dòng chảy hoàn toàn đều trong sông tự nhiên rất hiếm bởi vì ở
đây điều kiện của lòng dẫn luôn có sự thay đổi. Nhng trong điều kiện tính toán nào
đấy thì chúng ta vẫn có thể coi dòng chảy trong lòng dẫn tự nhiên là đều, với giả thiết
này thì các kết quả tính đợc là gần sát với điều kiện thuỷ lực thực tế. Không nên giả
định dòng chảy là đều nếu nh không tồn tại lòng dẫn đồng nhất hoặc đại lợng dòng
chảy thay đổi gấp. Lòng dẫn nhân tạo thì thờng là rất đồng nhất và việc tính toán
dòng chảy đều là khá chính xác.
Có hai phơng trình dòng chảy đều thờng đợc áp dụng cho các bài toán lòng
dẫn hở là công thức Chezy và phơng trình Manning, trong đó có các giá trị nh:
A = diện tích mặt cắt ngang của lòng dẫn,
V = vận tốc trong lòng dẫn,
P = chu vi ớt của dòng dẫn,
R = bán kính thuỷ lực hoặc bằng diện tích mặt cắt ngang A chia
cho chu vi ớt P.

=
. (7.3)
Đầu tiên hệ số nhám đợc xác định theo hệ thống đo lờng mét (m và s), và nếu
dùng hệ thống đo lờng của Mỹ (inche) thì:

SR
n
V
32
49,1
=
. (7.4)
Hệ số chuyển đổi 1,49 là từ căn bậc ba của 3,28 trong phép biến đổi từ m
3
sang
ft
3
. Phân tích thứ nguyên thì n có đơn vị là TL
1/3
và minh hoạ cho lý thuyết của phơng
trình Manning. Sự hữu dụng của mối liên hệ tự nhiên này là vô hạn, và nó đợc sử
422
dụng rộng rãi cho nhiều dạng bài toán về dòng chảy trong lòng dẫn hở.
Sự lựa chọn hệ số nhám n luôn luôn phải dựa trên yếu tố chủ quan hay mục
đích thiết kế của ngời sử dụng. Hệ số nhám Manning có thể đợc xác định bằng bảng
tra cho mỗi loại lòng dẫn (xem bảng 7.1 hoặc Chow, 1959).
7.2.
Tính toán dòng chảy đều
Các bài toán về dòng chảy đều thờng ứng dụng phơng trình Manning để tính
độ sâu dòng đều y

.
423
Giải
Giả thiết:
Q = 10m
3
/s,
n = 0,010,
S
0
= 0,005
b = 2y
n
.

Hình dạng Mặt cắt
Diện tích
chảy A
Chu vi ớt
P
Bán kính
thuỷ lực R
Hình thang (
)

y

2
cos

y

Hình chữ nhật by b+2y
yb
by
2+

Sông rộng by b y
Hình tròn
()
8
sin
2
D



2
D







Q =

Bảng 7.1. Giá trị hệ số nhám trong công thức Manning.

n
Trạng thái bề mặt
min max
ống kín

Xi măng nguyên chất
0,010 0,013
ống gỗ cong
0,010 0,013
Máng lát phẳng
0,010 0,014
ống tráng men
0,010 0,017
Máng kim loại nhẵn
0,011 0,015
Bê tông
0,011 0,013
Xi măng
0,011 0,015
Máng lát không phẳng
0,011 0,015
Đất sét
0,011 0,017
Ximăng, đá nguyên khối
0,012 0,016
Gạch ximăng


Bãi cỏ
0,025 0,05
Bụi cây nhỏ
0,035 0,16
Cây liễu rậm rạp
0,11 0,20
Bụi cây phát quang
0,03 0,05
Gỗ to
0,08 0,12
425

mặt khác:

P
A
R =

và từ hình vẽ chúng ta có:

,
2
2
nn
ybyA ==

nn
ybyP 42
=

01,0
1
10
32
2
nn
yy=
,

38
909,810
n
y=()
8
3
1225,1=
n
y
y
n
= 1,04 (m).
Suy ra
b = 2,08 (m).

Ví dụ 7.2
Dòng chảy đều trong kênh hình thang
Một kênh hình thang có hệ số mái bằng 2, đợc thiết kế để vận chuyển một

mặt khác từ: Q = V.A, suy ra

SAR
n
Q
32
49,1
=

Theo hình vẽ ta có:

(
)
nnnn
yyyyBWP 525.152
22
+=++=


(
)
525.1 +=
n
yP

và

()
222
5,325.12

Q
32
49,1
=()
()
0006,0586,05,3
025,0
49,1
200
32
2
nn
yy=38
578,3200
n
y=(
)
38
89,55=
n
y








b
S
Qn

4
3
21
622,1








b
S
Qn

Hình chữ nhật
n
yb



b
S
Qn

Hình tam giác b = 2y
n
8
3
21
297,1








b
S
Qn

4
3
21
682,1








b
S
n
b
QHình tròn D = 2y
n
8
3
21
00,1








b
S
Qn



Giải
Nh chúng ta đã biết, mặt cắt
nhất thì chu vi ớt P phải nhỏ nhất.
T
(
)
(
)


sincos LLbyA
n
+
=

và


sin
n
y
L =

do đó:

()(


sincos


suy ra

n
n
y
yA
b







=


sin
cos
2

mặt khác ta lại có chu vi ớt
P = b + 2L
thay b vào ta đợc:

sin

A
dy
dPgiải phơng trình với
ta có:

2
n
y


cos2
n
sin
2
=
A
y

Để tìm đợc giá trị lợi nhất, chúng ta phải lấy đạo hàm
với đối số và đặt
2
n
y
0=

d
dy

()
2
2
cos2
sincos2cos
0




= Agiải phơng trình trên ta đợc:
cos = 1/2
429
= 60
0
.
từ phơng trình viết cho
, chúng ta đợc:
2
n
y
(
)


sin
cos2

2
nn
ybyA

vậy suy ra ta có:







+=


sin
cos
3
22
nnn
ybyy2
3
2
1
3
n
n

b
L
.
7.3.
Năng lợng riêng và dòng chảy giới hạn
ớc vị trí, cột nớc lu tốc cho mọi mặt cắt ngang. Phơng trình
ăng lợng có dạng:

Năng lợng riêng là một trờng hợp đặc biệt của tổng năng lợng, nó có thể
đợc xác định tại mọi vị trí dọc lòng dẫn. Tổng năng lợng đợc biết đến nh là tổng cột
nớc áp suất, cột n
n
g
Vp
zH
2
2
++=

(7.5)
trong đó:
430
y
p
=

=
đối với bề mặt tự do
g.
năng lợng đơn vị E tại một mặt cắt phụ thuộc vào đáy lòng dẫn. Do đó, năng lợng đơn

(7.7)
y
qQ
V ==
, trong đó q là lu lợng
A
đơn
ị, trong lòng dẫn hở thì
b
Q
q =
v
. Vì vậy, E cũng đợc viết dới dạng một hàm của y:
22
2
2 ygb
Q
yE +=

(7.8)
trong đó b là độ rộng của lòng dẫn. Hình 7.3. Đồ thị năng lợng đơn vị
Hình 7.3 biểu diễn sự biến đổi độ sâu nh là một hàm của E ứng với một lu
lợng. Từ hình vẽ có thể thấy rằng với một giá trị lu lợng và năng lợng đơn vị nào
431
đó thì đều có hai giá trị độ sâu y, các độ sâu đó đợc gọi là độ sâu liên hiệp. Với một
đờng cong q không đổi thì có một đờng cong độ sâu tơng ứng với các giá trị của E.
Khi q tăng, thì đờng cong dịch chuyển về bên phải. ứng với mỗi đờng cong trong hình

y
c
(7.10)


g
Tóm lại, đối với kênh hình chữ nhật thì dòng giới hạn có thể đợc mô tả bằng
quan hệ:
c
c
c
y =
22
y
g
V
E +=
3
2
min
,
22
2
cc
y
g
V
=
hoặc 1=
c

trên của đờng cong chậm hơn tại chỗ giới hạn nên đợc gọi là tốc độ dới phân giới,
ợc l
gọi là tốc độ
Điều kiện để hình thành giới hạn là hệ số Froude (Fr) bằng 1, trong đó
ng ại, tốc độ của dòng chảy của nhánh dới nhanh hơn tại chỗ giới hạn nên đợc
trên phân giới.
gy
V
Fr =
. Vì vậy, Fr < 1 ứng với dòng dới giới hạn và Fr > 1 là dòng trên phân giới.
giới hạn hoặc dới giới hạn chỉ đơn giản là so sánh lu tốc cột nớc
Từ phơng trình (7.11) chúng ta có thể thấy rằng điều kiện để hình thành dòng trên
g
V
2
2
và giá trị
2
y
.
Với mọi giá trị của E mà tại đó tồn tại độ sâu giới hạn thì dòng chảy là lớn nhất và với
mọi giá trị của q mà tại đó tồn tại độ sâu giới hạn thì dòng chảy lại là bé nhất. Đối với
mọi điều kiện dòng chảy khác giới hạn thì luôn tồn tại độ sâu liên hiệp mà tại đó có hai
á trị
y đổi lớn,
việc thiết kế kênh dẫn với điều kiện độ dốc gần phân giới.
gi lu lợng khác nhau ứng với một giá trị năng lợng đơn vị. Độ sâu liên hiệp có
thể đợc tìm thấy từ việc giải phơng trình (7.8).
Để tìm đợc độ dốc kênh chúng ta cần xác định đợc dòng phân giới, độ dốc
kênh trong dòng đều dới giới hạn là độ dốc thoải và y > y


=
dy
dA
Ag
Q
dy
dE
3
2
2
2
1hoặc

c
yy
B
A
g
Q
=







=khi y = y
c
.
ừ hình vẽ chúng ta thấy rằng
A = y
2
,
T
yP 22=
,

433

22
y
R =
,
= 2y. B
y
c
ta đợc:

và B = 2y
c
.
do đó:
cho y =

c
=0
32
1
SAR
n
Q =
,

006,0

22


012,0
1
14
2






=
y
y

thì chỉ cần một phép đo độ sâu đơn giản cũng có thể xác định đợc Q.
434
Trong các dòng chảy lớn, một sự thay đổi đột ngột của độ dốc từ nhỏ sang độ dốc
lớn sẽ tác động vào điều kiện dòng chảy để vợt qua trạng thái giới hạn và có thể sẽ
ình thành hiện tợng sóng dừng hoặc nớc bạc. Do đó không nên thiết kế kênh dẫn
mà có độ dốc gần trạng thái giới hạn bởi vì sẽ gây khó khăn cho việc xác định đờng
mặt nớc. Hình 7.4 biểu diễn hai khả năng có thể xẩy ra độ sâu giới hạn trong kênh.

h

Hình 7.4. Độ sâu giới hạn.
(a) sự thay đổi của dòng chảy từ dới giới hạn sang trên giới hạn tại chỗ đổi dốc.
(b) cửa ra tự do, độ dốc thoải.
7.5.
Dòng không đều hay dòng chảy biến đổi chậm
Theo các phần đã thảo luận trớc đây về dòng chảy đều trong kênh có hình
dạng không đổi và độ dốc là một yêu cầu cho điều kiện của dòng chảy đều. Tuy nhiên,
đối với sông thiên nhiên, thì hình dạng, kích thớc hay độ dốc các giá trị đặc thù dọc
theo chiều dài con sông. Nh vậy, các giá trị để hình thành dòng chảy không đều hoặc
dòng chảy biến đổi chậm là những bài toán thú vị lôi cuốn sự quan tâm của các nhà kỹ
thuỷ
ng chảy sẽ là không đều.
s văn. Các phơng trình của dòng chảy đều có thể đợc áp dụng cho dòng không
đều nếu chúng ta chia nhỏ đoạn sông nghiên cứu sao cho trong mỗi đoạn sông đó thì
dòng chảy đợc coi là đều.
Trong kênh dẫn hoặc sông thiên nhiên, ảnh hởng của độ dốc hoặc xu hớng dốc
có thể tạo ra dòng chảy với tốc độ tăng dần dọc theo hớng dòng chảy. Gia tốc trọng
trờng bị cản lại bởi lực ma sát, tốc độ thì tăng lên và nếu là dòng chảy đều thì hai yếu
tố này sẽ đợc cân bằng. Khi hai lực này không cân bằng thì dò
Dòng không đều có thể đợc gọi là dòng chảy biến đổi chậm nếu các điều kiện thay đổi

yzH
2
2

++=
(7.14)
trong đó, z + y là cột nớc thế năng và cột nớc động năng đợc biểu diễn bằng cột nớc
lu tốc. có giá trị từ 1,05 đến 1,40 và là hệ số sửa chữa động năng. Trong nhiều
trờng hợp, có thể nhận giá trị bằng 1,0 (xem hình 7.5).
ơng trình năng lợng cho dòng chảy ổn định giữa hai mặt cắt 1 và 2 với Ph
khoảng cách L là (hình 7.6):
436

L
h
V
yz
V
yz +++=++
2
221
2
11


g
g
22
2211
(7.15)

Độ dốc năng lợng đợc xác định bằng việc
u tốc là nh nhau. Do
Manning và giải với S, chúng ta đợc:

giả thiết rằng tỷ lệ tổn thất cột nớc
tại từng mặt cắt với độ sâu và l đó, sử dụng phơng trình
2
32
49,1








=
m
m
R
nV
S
(7.17)

Hình 7.6
Phơng trình năng lợng dòng không đều. Đối với dòng ổn định giữa hai mặt
cắt 1 và 2, khoảng cách L

L

dH
2
2

++=
(7.18)
Phơng trình (7.18) nói lên rằng giá trị của đờng bề mặt nớc biến đổi dần. S
0

và S có thể đợc thay thế. Dấu hiệu của độ dốc đờng bề mặt nớc phụ thuộc vào kiểu
òng chảy là trên giới hạn hay giới giới hạn và vị trí tơng đối
trình (7.18), chúng ta có thể thay
d giữa S và S
0
. Từ phơng
y
q
V =
và cho = 1 đợc:
()
dxy



3
(7.19)

dy
g
q


=
2
2
2
2
1
2
1
2
1
do đó:








+=
3
2
qdy
0
1
gy
dx
SS
(7.20)



=
(7.21)
đã biết, độ sâu và lu tốc cũng đợc biết, chiều dài L có thể đợc tính theo
công thức:

0
và n
0
SS

Ví dụ 7.5 miêu tả cách tính toán profile bề mặt nớc
2
2
2
2
1
1
22 g
V
y
g
V
y
L





=
(7.22)
bằng việc sử dụng phơng
rình (7.22) và nó đợc coi nh là phơng pháp bớc chuẩn.

Ví dụ 7.5
t
Xác định đờng bề mặt nớc
ờng bề mặt nớc từ điểm cuối của kênh (giả thiết là cửa ra tự do) tới điểm có y
0,9y
n
.
Cho một kênh hình thang có các kích thớc nh hình vẽ E7.5(a) với độ dốc bằng
0,001. Hệ số nhám Manning là 0,025 và lu lợng chảy trong kênh là 1000 ft
3
/s. Tính
và vẽ đ

Hình E7.5(a)
hải chuyển qua độ sâu phân giới. Sử dụng phơng
rình (7.13) để tìm độ sâu phân giới: Giải
Tại cửa ra tự do, dòng chảy p
t
B
A
g
Q

()
()
5
3
3
056,31
320
5,120
ft
y
yy
c
cc
=
+
+

Giải bằng cách thử các giá trị y
c
khác nhau, cuối cùng chúng ta đợc:
y
c
= 3,853 (ft).
Sử dụng phơng trình Manning (7.3) để tìm độ sâu dòng đều:

0
32
49,1
SAR
n

5,120
025,0
49,1
1000
32






+
+
+=
n
nn
nn
y
yy
yycfs

hay

(
)
[]
()
58,530
61,320
5,120

2
chúng ta có thể tính đợc Q theo công thức
A
V
Q =
và sử dụng phơng trình (7.17)
để tính S. Mỗi một cặp lựa chọn y
1
và y
2
, độ dài tính toán L = x có thể đợc xác định từ
phơng trình (7.22). Các giá trị của y, A, P, R, V, V
m
, R
m
, S,
g
V
y
2
2
+
, x và x đợc thể
hiện ở bảng dới.
439
y
(ft)
A
(ft
2

5.30 148.14 39.11 3.79 6.75 7.01 3.70 0.0024 6.01 -135.70 -287.1
5.60 159.04 40.19 3.95 6.29 6.52 3.87 0.0020 6.21 -200.00 -487.1
5.90 170.22 41.27 4.12 5.87 6.08 4.04 0.0016 6.44 -383.30 -870.4
6.20 181.70 42.35 4.29 5.50 5.69 4.21 0.0013 6.67 -766.70 -1673.1
6.50 193.40 43.44 4.45 5.17 5.34 4.37 0.0011 6.92 -2500.00 -4137.1

Các giá trị x mang dấu âm là do có hiện tợng nớc vật. Trong cột 1, các giá trị
y đợc lựa chọn là khoảng chia đều. Có thể sử dụng khoảng chia nhỏ hơn để cho giá trị
y gần với cửa ra hơn bởi vì ở đây có độ dốc lớn và y thay đổi nhanh trên khoảng cách
nhỏ x Profile bề mặt nớc đợc vẽ trong hình E7.5(b) với mối quan hệ với đáy kênh, sử
dụng cửa ra làm số liệu.

7.7.
Phân loại các đờng bề mặt nớc
Phân loại các profile bề mặt nớc cho dòng không đều các thể đợc nghiên cứu
một cách dể dàng trong các kênh có mặt cắt hình chữ nhật. Do đó phơng trình (7.21)
trở thành:

2
0
0
2
0
1
1
1 Fr
S
S
S
Fr

theo đơn vị mét. Từ phơng trình Manning viết cho kênh hình chữ nhật với độ rộng b,
Q là một hàm của độ sâu dòng đều:

n
bySy
n
ASR
Q
nn 0
32
0
32
== (7.23)
giải cho S
0
, ta có:
440

3102
22
0
n
yb
Qn
S =
(7.24)
Bảng 7.2.Các đờng bề mặt đối với dòng chảy biến đổi chậm

Các đờng bề mặt Đờng cong Độ sâu Dòng chảy Độ dốc mặt
Độ dốc thoải, Sb < Sc

> y
n
y
c
> y > y
n
y
c
> y
n
> y
dới giới hạn
trên giới hạn
trên giới hạn
Dâng
Hạ
Dâng
Độ dốc phân giới, Sb = Sc

C1

C3
y > y
c
= y
n

y < y
c
= y

c
y < y
c

dới giới hạn
trên giới hạn

Hạ
Dâng
và

310
0








=
y
y
S
S
n
(7.25)
441
với số Froude là:























=
3
3
10
0
1
1
y

n
= y
c
thì S
0
= S
c
và độ dốc là độ dốc phân giới.
Nếu y
n
< y
c
thì S
0
< S
c
và độ dốc là đứng (trên phân giới).
Ba điều kiện trên liên quan tới ba trạng thái của độ dốc là thoải (M = mild), giới
hạn (C = critical) và đứng (S = steep). Các độ dốc khác có thể là nằm ngang (H =
horizontal) hoặc nghịch (A = adverse). Việc miêu tả ở đây cũng có thể đợc trình bầy để
áp dụng cho một mặt cắt ngang bình thờng.
Đối với độ dốc đáy, hình dạng profile bề mặt nớc phụ thuộc vàp độ sâu thực tế
liên quan tới y
n
và y
c
.Nếu bề mặt nớc nằm trên cả các đờng có độ sâu giới hạn và độ
sâu dòng đều thì nó là loại 1, nếu nó nằm giữa các đờng thẳng đó thì nó là loại 2 và
nếu nó nằm dới các đờng thẳng đó thì nó là loại 3. ở đây có tất cả là 12 trờng hợp có
thể xẩy ra nh đã trình bày trong bảng 7.2. Đối với hầu hết các trờng hợp phân tích về

442
nào trong một mặt cắt ngang hay mặt cắt dọc, hơn nữa, chơng trình tính toán phải
thật tinh xảo mới có thể tính toán đợc profile M1. Trong các phần 7.9 7.15 trình bày
chi tiết và mô hình HEC2, một trong những mô hình đợc sử dụng rộng rãi để tính toán
profile bề mặt nớc. Đây là mô hình đầu tiên đợc sử dụng để tính toán cho các vùng
ngập lụt và các kênh tháo lũ đối với các con sông thiên nhiên.

Hình 7.7. (a) Hình ảnh minh hoạ đờng M1. (b) đờng M2

Đối với đờng M2, y
n
> y > y
c
, và dòng chảy là dới phân giới, với tử số là âm và
mẫu số là dơng trong phơng trình (7.27). Vì vậy,
dx
dy
là âm và độ sâu giảm dần theo
hớng dòng chảy, với một độ cong lớn khi y y
c
, trong đó phơng trình dự báo
dx
dy

. Do đó, phơng trình không hoàn toàn đúng là y = y
c
và phơng trình (7.11) đợc áp
dụng. Đờng cong M2 đợc goi là đờng cong nớc hạ có thể xẩy ra ở thợng lu từ một
mặt cắt nơi mà độ dốc kênh thay đổi từ thoải tới giới hạn hoặc trên giới hạn khi dòng
chảy vợt qua đỉnh tràn hoặc đập (xem hình 7.7b). Đờng M2 đợc tạo ra phụ thuộc

dụ: có một đập tràn với độ dốc thẳng đứng sẽ cho đờng cong S1 mà nó đợc sinh ra
trớc nớc nhảy. Một cửa cống trên một kênh dốc sẽ cho đờng cong S3 mà nó sẽ tiệm
cần dần tới đờng độ sâu dòng đều (y = y
n
). Bảng 7.2 thể hiện trờng hợp độ dốc thẳng
đứng.
Trờng hợp độ dốc nghịch và nằm ngang
Các profile H2 và H3 tơng đơng với các đờng cong M2 và M3 đối với trờng
hợp S
0
= 0. H1 không thể tồn tại bởi vì S
0
= 0 trong trờng hợp này là không xác định.
Độ dốc bề mặt có thể đợc xác định từ phơng trình (7.21), nhng profile này chỉ tồn tại
ở một bộ phận ngắn trong một đoạn sông phức tạp, bởi vì dòng chảy xác định liên tục
trên đáy nằm ngang.
Độ dốc nghịch, S
0
< 0 xẩy ra tại nơi mà dòng chảy thỉnh thoảng di chuyển ngợc
với lực trọng trờng; giống nh trong trờng hợp đáy nằm ngang, độ dốc nghịch cũng
chỉ có thể xẩy ra ở một bộ phận ngắn trong hệ thống phức tạp. Trong thực tế hệ thống
sông thiên nhiên, rất hiếm khi có thể hội tụ đủ các điều kiện để xẩy ra hiện tợng này.
7.8
Bớc nhảy Thuỷ lực
Bớc nhảy thuỷ lực đợc miêu tả khá chi tiết trong hầu hết các cuốn sách cơ
chất lỏng (Daugherty và cộng sự., 1985; Fox và McDonald, 1985). Dòng chảy chuyển
động từ trạng thái dới giới hạn sang trạng thái trên giới hạn tạo ra sự gián đoạn một
cách rõ rệt của bề mặt nớc, đặc trng bởi độ dốc của profile và hiện tợng tổn thất
năng lợng đáng kể qua dòng rối. Nớc nhảy có thể đợc giải thích một cách tốt nhất
bằng việc xét đờng cong M3 trong bảng 7.2 và hình 7.8, phía sau cửa cống. Tại đây,

constAh
Ag
Q
=+
2
(7.28)
đối với kênh hình chữ nhật theo đơn vị độ rộng thì

22
2
22
2
2
2
11
2
1
yVyyV y
gg
+=+

phơng trình liên tục viết cho mặt cắt 1 và 2 là:
2
(7.29)

V
1
y
1
= V

2
1
2
y
y
và giải với
1
2
y
y
, sử dụng công thức bậc hai, chúng ta đợc:

2
181
2
1
1
2
+
=
Fr
y
y
(7.31)
trong đó Fr
1
là số Froude thợng lu. Vì vậy tỷ số
1
2
y