Chuyên đề VI:
Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân .
1. Tích phân
Lý huyết
-


F x
là một nguyên hàm của hàm số


y f x
 liên tục trên đoạn


;
a b
. Khi đó
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
  

.
- Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các nguyên hàm của
hàm số thường gặp.




y g x
 là:






d g x g x dx


Ví dụ 1: Với
3 5
u x
 
, ta có
   
3 5 3 5 .
du d x x dx

   
3
dx


Với
2
1
t x

a)
 
2
2
1
3 2
I x x dx
  

2 2 2
2
1 1 1
3 2
x dx xdx dx
  
  

2 2 2
2
1 1 1
3 2
x dx xdx dx
  
  
2 2
3 2
2
1
1 1
3. 2

2


Có thể tính gộp:
 
2
2
1
3 2
I x x dx
  

3
2
3
1
2
2
x
x x
 
  
 
 

2 2
3 3
2 1
2 2.2 1 2.1
2 2

1
2
0
1
2 1 2 1
2
x d x
  


 
4
1
1
2
0
2 1
1
1
2
1
2
x

 
 


 
 

27 1
3 3
  
Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình thì nên tính tích phân trên bằng phương
pháp đổi biến
2 1
t x
 
2
2 1
t x
  

Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được




2
2 1 2 2
d t d x tdt dx
   
tdt dx
 

Đổi cận: Với
1
x

ta có

Câu 1 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính
1
0
3 1
I x dx
 

.
Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):
Tính tích phân
 
2
2
1
6 4 1
I x x dx
  


Đáp số: Câu 1:
14
9
I 
; Câu 2:
9
I
2. PP đổi biến số.


, ta có sin
dt xdx
 

Khi đó
 
sin
1
sin
b
a
I f t dt


hoặc
 
cos
1
cos
b
a
I f t dt
 



 
2
2




 
3
b
x x
a
I f e e dx


. Đặt
x
t e

, ta có
x
dt e dx


Khi đó
 
3
b
a
e
e
I f t dt



 


 Đặt
cos
t x

, ta có


cos sin
dt d x xdx
   .
 Đổi cận: Với
6
x


, ta có
3
cos
6 2
t

 
Với
3
x



 
 
 

 
2
2
3
1
2
3 1
2
2 2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
3 3 1 1 3 1
8 2 8 2 2 4

x




(có dạng
1
I
)
 Đặt
sin
t x

, ta có
   
sin sin . cos
dt d x x dx xdx

  
 Đổi cận: Với
0
x

, ta có
sin0 0
t
 
.
Với
2






ln 1 3 ln 0 3
    
4
ln4 ln3 ln
3
 
Ghi chú: Với bài này có thể đặt
3 sin
t x
 
.
Ta có
   
3 sin 3 sin cos
dt d x x dx xdx

    
 Đổi cận:
0 3 sin0 3
x t
    

3 sin 3 1 4
2 2
x t

cần vận dụng vi
phân để tính nhanh.
Chẳng hạn


dx d x m
  với mọi m là hằng số.
 
1
dx d mx n
m
 
với mọi m, n là hằng số.
Ví như, trong
1
dx
x


mẫu có dạng
1
u x
 
, nhưng tử chưa phải du do đó cần
biến đổi để tử thành du: thay


1
dx d x
 

 Đặt
1
x
t e
 
 
1
x x
dt e dx e dx

   
 Đổi cận:
0
0 1 1
x t e
    

ln3
ln3 1 3 1 4
x t e
      

 Khi đó
4
4
1
1
2
dt
L t


Đổi cận:
0
0 1 1
x t e
    
;
ln3
ln3 1 3 1 2
x t e
      

Khi đó
2 2
2
1
1 1
2
2 2
tdt
L dt t
t
  
 


2 2 1 2
  
.
Bài tập:

1
x
t e
 
2
1
x
t e
  

Suy ra
2
1
x
e t
 
và
2
x
tdt e dx


Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx



Đáp số: Câu 1:
4
I

; Câu 2:
26
3
I  ; Câu 3:
4
ln
3
I 
Câu 4:
ln2
I

; Câu 5:
32
15
I 
3. PP tích phân từng phần
Lý huyết
b b
b
a
a a
udv uv vdu
 


Cách giải: Đặt




u f x du f x dx

  
Còn sin
dv xdx

, ta có
cos
v x
 

cos
dv xdx

, ta có
sin
v x
x
dv e dx

, ta có

 Khi đó:
     
4
4
1
0
0
2 3 cos cos 2
I x x x xdx


    


  
1
2 3 cos 2.0 3 cos0
4 4
I
 
  
     
  
  
4
0
2 cos
xdx



3 3 2 0
2 2 2

 
 
    
 
 
 
 
2 2
3
2 4

  
Nhận xét: Các em có thể tách
4 4
0 0
2 sin 3sin
I x xdx xdx
 
 
 

Sau đó tính
4 4
0 0
2 sin 2 sin
x xdx x xdx
 


Giải:
 Đặt
 
5 2 5 2 2
u x du x dx dx

      
Với
x
dv e dx

, ta có
x
v e


 Khi đó
   
2
2
2
0
0
5 2 2
x x
I x e e dx
   




 Vậy
2
2
3 7
I e
 

Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta
không đổi cận.

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính
 
1
0
2 1
x
I x e dx
 

.
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):
Tính tích phân
 
2
0
2 1 cos
I x xdx




y f x
 , trục
hoành và hai đường thẳng ;
x a x b
 



a b

.
 
b
a
S f x dx



Cách tính
 
b
a
S f x dx


:
 Giải ph/trình :


a x x
f x dx f x dx f x dx
   
  

Trên mỗi khoảng






1 1 2
; , ; , , ;
n
a x x x x b
thì


f x
có dấu xác định không thay
đổi.
Nên
     
1 2
1

n
x x
b

0 1 0
x x x x
    
0; 1
x x
   

Trên đoạn


0;2
, ta loại bỏ
1
x
 

 Suy ra
1 2
3 3
0 1
S x x dx x x dx
   
 

   
1 2
3 3
0 1
x x dx x x dx
   


0;2
.
Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số


y f x
 và


y g x
 .
Cách giải:
 Giải ph/trình




f x g x
 tìm được các nghiệm
1 2
; ; ,
n
x x x

(Giả sử
1 2

n
x x x

x x

để
tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân.
       
2
1 1

n
n
xx
x x
S f x g x dx f x g x dx

    
 

       
2
1 1

n
n
xx
x x
S f x g x dx f x g x dx

        
   
 

S x x dx
  


 
1
1
4 3
3 2
0
0
4 3
x x
S x x dx
 
   
 
 

1 1
4 3
 
1
12

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
3

e

log 2 ln2
e
x
  

Chú ý:
ln 2 1


Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng
1
ln 2
2
x
S e dx
 

.
Các em tự tính tiếp nhé !
Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
2
6
y x x
  
,
0
y

  
 


Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng


H
giới hạn
bởi đồ thị hàm số
cos
y x

, trục hoành và hai đường thẳng ;
6 2
x x
 
 
quay
quanh trục hoành.
Giải:
 Thể tích cần tìm bằng
 
2
2
6
cos
V x dx



 
1 1 2
sin sin
2 2 2 6 2 3
   

 
 
   
 
 
 
 

1 1 3
.0 .
2 2 2 6 2 2
  
 
 
   
 
 
 
 
 Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các