Chơng 6
ứng dụng của Tích phân và vi phân
trong tính toán hình học
6.1 ứng dụng của tích phân xác định.
1. Diện tích hình phẳng
a. Hình phẳng giới hạn bởi đờng cho trong toạ độ Đềcác
Nh đã nêu ra ở phần trớc, miền phẳng là hình thang cong giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x)
với f(x) là hàm liên tục, đơn trị trên [a,b] và
0)( xf

],[ bax
có diện tích tính bởi công thức:

=
b
a
dxxfS )(
Do đó dễ dàng thấy, miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên
tục, đơn trị trên [a,b] và
0)( xf

],[ bax
có diện tích là:

=
b
a
dxxfS )(
Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b]
có diện tích là:


d
c
dyygS )(
(3)
Diện tích của miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, x=g
1
(y), x=g
2
(y) trong đó các hàm
x=g
1
(y), x=g
2
(y) liên tục, đơn trị trên [c,d]
],[ dcy
là:

=
d
c
dyygygS )()(
12
(4)
Ví dụ 6.1: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đờng cong:
a. { y=2-x
2
, y=x}
Trang -1
Ta có:

2
9
23
2
1
2
23
=








=

xx
x
b. {y=(x+1)
2
, x=siny, y=0}
Từ y=(x+1)
2
có x=
1y
, x1
nên y[0,1] . ta có:
S=

Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo một phần t của hình nằm trong
góc phần t thứ nhất. Trong góc phần t thứ nhất, phần hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và cung elip
có phơng trình
22
xa
a
b
y =
. Vậy
dxxa
a
b
dxxa
a
b
S
aa

==
0
22
0
22
44ab
a
xa
xa

1
<t
2
Do ydx=y(t)x(t)dt nên miền phẳng có diện tích là:
S=

2
1
)(').(
t
t
dttxty
(5)
Miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và đờng cong cho cho bởi phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
với c=y(t
1
), d=y(t
2
), t
1
<t

]2,0[

ax
và do y=a(1-cos t), dx=a(1-cos t)dt nên:
dttt
a
dttaS )2coscos43(
2
)cos1(
2
0
2
2
0
22
+==





2
2
0
2
3)2sinsin86(
4
|
attt
a

2
0
2
0
242
cossin12|)(').(|4

tdttadttxtyS

+=
2
0
2
)6cos4cos22cos2(
8
3

dtttt
a

8
3
6
6sin
2
4sin
2
2sin
2
8

trong đó hàm
)(

rr =
là hàm số liên tục trên
đoạn
],[

. Chia đoạn
],[

thành n phần bởi các điểm chia:

=<<<<=
n

210

Khi đó góc
AOB
đợc chia thành n góc nhỏ có số đo
,
1
=
iii


ni , ,1=
và hình quạt đã cho
đợc chia thành n hình quạt con. Goi tên và diện tích của hình quạt con thứ i là

2
Trang -3
Hình 23
Nh vậy diện tích hình quạt cong xấp xỉ là:


=

n
i
ii
rS
1
2
)(
2
1


Do hàm
)(

rr =
liên tục trên đoạn
],[

nên hàm
)(
2


drS )(
2
1
2
(7)
Ví dụ 6.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng hình tim
)cos1(

+= ar
( Hình Cacđiôit)
Do hình phẳng đối xứng qua Ox nên ta có:
Hình 24

++=+=


0
22
0
22
)coscos21()cos1(
2
1
.2 dadaS


++=




=++=
Ví dụ 6.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng Lemnitscat (Đờng hoa hồng hai cánh):
)()(
222222
yxayx =+
Chuyển sang toạ độ cực:




=
=


sin
cos
ay
ax
đờng cong đã cho có phơng trình là

2cos
22
ar =
.
Hình 25
Do hình phẳng đối xứng qua Oy nên ta tính theo nửa bên phải trục Oy, ứng với
44






2. Độ dài đờng cong phẳng
a. Đờng cong trong toạ độ Đềcác
Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Giả sử rằng đồ thị hàm y=f(x) là cung
AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia

ByxAyxAyxAyxAA
nnn
== ),(), ,,(),,(),,(
222111000
sao cho:
bxxxxa
n
=<<<<=
210
.
Trang -4
Khi đó độ dài AB xấp xỉ bằng độ dài của đờng gấp khúc
n
AAA
10
. Khi cho số cạnh của đờng gấp
khúc
n
AAA
10
tăng lên vô hạn sao cho độ dài của cạnh lớn nhất của nó dần tới 0 thì độ dài đờng gấp
khúc
n

ii
AA
1
là độ dài của đoạn thẳng
ii
AA
1
.
Hình 26
Gọi
1
=
iii
xxx
;
)()(
1
=
iii
xfxfy
là chiếu của các đoạn thẳng
ii
AA
1
xuống các trục toạ độ,
theo công thức Pitago ta có:
22
1
)()(
iiii

. Do đó

=

+=
n
i
ii
xfs
1
2
0
)('1lim


Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên
)('1
2
xf+
khả tích trên [a,b], do đó độ dài đờng cong đợc cho bởi công
thức:

+=
b
a
dxxfs )('1
2
(8)
Giả sử M(x,f(x)) là điểm bất kỳ trên đờng cong, khi đó độ dài cung AM là:



s=


+
b
dx
xa
xa
0
222
22
)(
4
1
=


+
b
dx
xa
xa
0
22
22
=
b
ba
ba


++++=+=

yyyydyys
)52ln(
2
1
5 ++=
b. Đờng cong cho bởi phơng trình tham số
Giả sử đờng cong có phơng trình tham số



=
=
)(
)(
tyy
txx

],[

t
Do dx=x'(t)dt và
)('
)('
)('
tx
ty
dx

=
tay
tax
3
3
sin
cos
với
]2,0[

t
Ta có
,sincos3)('
2
ttatx =

ttty cossin3)('
2
=
. Suy ra
ttattayx
tt
24224222
cossin9sincos9'' +=+

2
2sin3
|cossin3|
ta
tta ==

)cos1(
)sin(
tay
ttax
với
]2,0[

t
Ta có
)cos1(' tax
t
=
,
tay
t
sin' =
nên
dttadttatas

=+=

2
0
2
0
2222
cos22sin)cos1(

a
t

=
=


sin)(
cos)(
ry
rx
ta đa phơng trình đờng cong về dạng tham số. Do:
Trang -6


cos)(sin)(')('
sin)(cos)(')('
rry
rrx
+=
=
Khi đó:
)(')()(')('
2222

rryx +=+

cho nên ta có công thức:

+=




da

+=
0
cos222
aada 8
2
sin8
2
cos4
|
0
0
===






3. Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể giới hạn bởi các mặt x=a, x=b(a<b), và một mặt cong kín. Gọi S =S(x) là diện tích
của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
],[ bax
và vật thể đã cho. Giả thiết rằng
S(x) là hàm liên tục trên [a,b].
Hình 27
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
bxxxxa
n

1 ii
xx

hàm S(x) có giá trị thay đổi không đáng kể.
Lấy
],[
1 iii
xx



tuỳ ý, có thể coi
)()(
i
SxS


,
],[
1 ii
xxx


. Xấp xỉ V
i
(i=
n,1
) với hình tru đứng có
đáy là
)(

=


=
n
i
ii
d
n
xSV
1
0
)(lim

Do hàm S(x) đợc giả thiết là liên tục trên [a,b] nên cũng khả tích trên đó vì vậy ta có công thức
Trang -7

=
b
a
dxxSV )(
(12)
Ví dụ 6.10:
a.Tính thể tích của elipxoit:

1
2
2
2
2


1
)1()1(
2
2
2
2
2
2
2
2
=

+

a
x
c
z
a
x
b
y
diện tích thiết diện là







a
a


=








=








=



b. Tính thể tích vật thể là phần chung của hai hình trụ:
x
2
+z

0
3
0
222
3
16
)
3
1
(8)(8
4. Thể tích vật thể tròn xoay
a. Cho hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x)
liên tục trên [a,b]. Khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox ta đợc
một hình tròn xoay. Thiết diện tạo bởi hình tròn xoay với mặt
phẳng
vuông góc với trục
Ox tại điểm
],[ bax
là một hình Hình 30
tròn có bán kính
)(xfR =
cho nên diện tích của thiết diện là
)(.)(
2
xfxS

=
. Từ đó, ta thu đợc công
thức tính thể tích hình tròn xoay:


2
0
3
2
0
2


===

ydyyV
Ví dụ 6.12:
Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và
một nhịp Xyclôit



=
=
)cos1(
)sin(
tay
ttax

]2,0[

t
Do
)cos1( tay =
,




)(sin)sin1()2cos
2
3
cos3
2
5
(
2
0
23
2
0
3
tdtadttta

+=



32
2
0
3
3
2
0
3

== ),(), ,,(),,(),,(
222111000
sao cho
bxxxxa
n
=<<<<=
210
.
Đặt
1
=
iii
xxx
và
i
xd = max
. Khi quay quanh Ox đoạn thẳng
ii
AA
1
sinh ra một mặt nón cụt
tròn xoay có diện tích là:
S
i
=
)]()([
11 iiii
xfxfAA +



)]()([)('1



=
+=
n
i
iii
xff
1
2
)(.)('12

Trang -9
Do f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b] nên :


=

+=
n
i
iii
n
xffS
1
2
)(.)('12lim


2


Ví dụ 6.13:
a. Tính diện tích của mặt tròn xoay tạo bởi cung
2
xy =
giới hạn giữa các giao điểm của nó với đờng
thẳng y=x khi quay quanh trục Ox. Ta có diện tích cần tính là:
dxxxS

+=
1
0
22
412

Đổi biến 2x=sht ta có:
2dx=cht dt, x=0: t=0, x=1:
)52ln( +=t
,
chtx =+
2
41
Do đó: + +

==

=
+

t
tsh
b. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Axtroit:



=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
với
]2,0[

t
quanh trục Ox.
Ta có:
ttatytx cossin3)(')('
22
=+
, do tính đối xứng nên:
S=

==+

=
=


sin
cos
ry
rx
Ta đợc: r=

2cosa
, (0
4

)
Xem đó là phơng trình tham số của x,y theo ta có:


2cos
'''
2
2222
a
rryx =+=+
Vậy
Trang -10

+=
4
0



aada
6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng
1. Độ cong
a. Định nghĩa
Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm. Trên L chọn một chiều làm chiều
dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của L và gọi là tiếp tuyến dơng.
Nếu tại mỗi điểm M
0
trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi tiếp điểm di chuyển một đoạn

= MMs
0
trên đờng cong, tiếp tuyến dơng sẽ quay một góc nào đấy. Đờng cong L trên cung

MM
0
càng cong nếu góc càng lớn.
Ngời ta gọi tỷ số
s


, là độ cong trung bình của đờng cong trên
cung

MM
0
. Trong đó là góc giữa hai tiếp tuyến dơng tại hai mút
của cung

ds
d
s
C
s
tb
MM

=


=
0
limlim
0
b. Công thức tính độ cong
Nếu gọi là góc của tiếp tuyến tại M
0
của đờng cong L với chiều dơng trục Ox, khi đó:
dx
dy
ytg == '

Hay =arctg y
2
'1
"
y
y
dx


Trang -11
Vậy: C(M)=
2
3
2
)'1(
"
y
y
+
(1)
(ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
Do:
t
t
x
y
dx
dy
'

t
t
x
t
tt
x
xyyx
dx
yd
y
x
yx
y
(2)
Thay vào (1) ta đợc biểu thức phụ thuộc t:
C(M) =
2
3
22
)''(
"'"'
yx
xyyx
+

(3)
(iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực:
r=r()
Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:


2222
rrrrxyyx
rryx
(4)
Thay vào (3) đợc biểu thức phụ thuộc :
C(M) =
2
3
22
22
)'(
"'2
rr
rrrr
+
+
(5)
Ví dụ 6.14:
a. Tính độ cong của đờng Parabol y=ax
2
tại góc O.
Do y=2ax, y=2a nên tại x=0 ta có:
C=
2
3
2
)'1(
"
y
y

2
3
)cos1(.22
1cos
ta
t


=
2
sin4
1
t
a
c. Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôit: r=a(1+cos)
Ta có:
r=a(1+cos) tại =0, r=2a
r=- a sin tại =0, r=0
r=- a cos tại =0, r=-a
Do đó:
C=
2
3
22
22
)'(
"'2
rr
rrrr
+

1
MC
của đờng tròn chính khúc gọi là khúc bán kính.
Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L tại M và tại M chúng có cùng độ cong
C(M)=
R
1
. Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tại
M.
b. Toạ độ của khúc tâm
Giả sử tại M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y). Ta cần tìm biểu thức của (X,Y) qua (x,y). Giả sử L có
phơng trình y=f(x).
Gọi (,) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M, phơng trình pháp tuyến của L tại M là
( )
x
y
y =

'
1
Vì khúc tâm I(X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta có:
( )
xX
y
yY =
'
1
(6)
Vì MI=R nên:
(X-x)

yY
+
+=
Nếu y<0 đờng L lồi nên Y<y, vậy:
"
'1
2
y
y
yY
+
=
=
"
'1
2
y
y
y
+
+
Thay Y vào (6) ta đợc:
Trang -13
"
)'1('
2
y
yy
xX
+

=
=
)(
)(
tyy
txx

Thay các biểu thức (2) vào (8) đợc toạ độ của khúc tâm I là:








+
+=

+
=
"'"'
)''('
"'"'
)''('
22
22
xyyx
yxx
yY

22
22


rr
rrrr
rr
rY
rr
rrrr
rr
rX
(10)
Ví dụ 6.15: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(1,1) và viết phơng trình đờng tròn chính
khúc tại điểm đó.
Từ xy=1, đạo hàm hai vế ta đợc: y+xy=0 hay y=
x
y

. Do đó:
22
2"
"
x
y
x
yxy
y =

=

+
=
2
2
11
1
2
2
)11(1
1
Y
X
Phơng trình của đờng tròn chính khúc là:
(x-2)
2
+(y-2)
2
=2
3. Đờng túc bế. Đờng thân khai
Định nghĩa 2: Ngời ta gọi đờng túc bế của đờng cong L là quỹ tích, nếu có, của các khúc tâm của đ-
ờng đó.
Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có
phơng trình trong toạ độ Đề Các, phơng trình tham số và phơng trình trong toạ độ cực.
Ví dụ 6.16: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bế của Elip



=
=
tby





=
+
==

=
+
=
t
b
ab
ab
tbta
tatbY
t
a
ba
ab
tbta
tbtaX
3
222222
3
222222
sin
cossin
sinsin

3
2
sin
cos
Đó là phơng trình của mặt
axtroit lệch.
Định nghĩa 3: Nếu đờng cong
L nhận đờng cong làm đờng Hình 35
túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của .
Từ ví dụ trên ta thấy Elip



=
=
tby
tax
sin
cos
(a>b>0)
là thân khai của axtroit lệch:







=
=



là số gia của một cung trên , và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính
trên thân khai của nó thì:
R=

6.3 Hình học vi phân trong không gian
1. Đờng cong trong không gian
Tơng tự nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không
gian đều có thể biểu diễn bằng có phơng trình tham số:





=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
],[

t
Ví dụ 6.17: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục Oz bán kính a,
có chuyển động vừa quay tròn đều quanh trục Oz với vận tốc , vừa tịnh tiến dọc theo Oz với vận tốc
không đổi k. Quỹ đạo này đợc gọi là đờng đinh ốc trụ xoay.

Còn nếu dùng góc quay làm tham số ta đợc phơng trình:







==
=
=




b
k
z
ay
ax
sin
cos
2. Độ cong
Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là giới hạn, nếu có:
C(M
0
)=
ds
d
s

3
222
222
)'''(
""
''
""
''
""
''
zyx
xz
xz
zy
zy
yx
yx
++
++
Ví dụ 6.18: tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng đinh ốc.
Sử dụng phơng trình theo ta có:
x=-a sin, y=a cos, z=b
x=-a cos, y=- a sin, z=0
Do:
2
sincos
cossin
a
aa
aa

cossin''' babaazyx +=++=++

Nên ta có:
C(M)=
22
ba
a
+
Vậy độ cong của đờng xoắn đinh ốc tại mội điểm đều bằng nhau.
Trang -16
Bài tập chơng 6
A. ứng dụng tích phân trong hình học
1. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong hệ toạ độ vuông góc
1. {y=x
2
+4, x-y+4=0}
2. {y=2x-x
2
, x+y=0}
3. {y=2
x
, y=2, x=0}
2. {y=x
3
, y=x, y=2x.}
3. { x
2
+y
2
=4x, y




=
=
3
2
3
3
tty
tx
2.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
=


=
)2sinsin2(
)2coscos2(
ttay
ttax
3 . Tính diện tích hình phẳng cho bởi toạ độ cực
1.
2
,
4
,
cos1





==

=
p
r
2.
1
22
=+

r
3.


2. { r=a(1-cos), r=a (Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
3. {r=a(1- cos) , x
2
+y
2
=2ax(Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
4. {r=a(1+cos), x
2
+y
2
=2ay(Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
5 5. x
4
+y
4
=a x
2
y, (Đặt y=tx)
6. (x
2
+y
2
)
2
=2a
2
xy
7. (x
2
+y

x
xaa
a <
+
0,ln
22
22
6. Tính độ dài đờng cong
Trang -17
1.



=
=
tty
ttax
2sinsin2(
)2coscos2(
2.





=
=
tay
tax
5

4.

20
)cos(sin
)sin(cos




=
+=
t
tttay
tttax
5.







+=
+=
t
tttty
ttttx
0
sin2cos)2(
cos2sin)2(

2
,
cos1




+
=
p
r
8. Tính độ dài đờng cong cho bởi phơng trình
1. 3y
2
=2(x-1)
3
, chắn bởi y
2
=
3
x
8 2. (y - arcsin x)
2
=1-x
2
9 3. 9ay
2
=x(x-3a)
2
10 4. 5y

2. y=sin x (

x0
) khi quay quanh Oy, và khi quay quanh Ox.
3. y=x
2
, y=4 khi quay quanh đờng x=2.
4. (x
2
+y
2
)
2
=a
2
(x
2
-y
2
) khi quay quanh Ox.
11. Tính diện tích mặt tròn xoay
1. Tạo bởi cung y=x
2
giới hạn bởi giao điểm của nó với đờng y=x khi quây quanh Ox.
2. Giới hạn bởi
1
3
2
3
2

x
2
+a
2
y
2
=a
2
b
2
tại (0,b) và (a,0)
Trang -18
2. xy=12 t¹i (3,4)
3.
1
3
2
3
2
=






+




5
sin
cos
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
6.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
−=







=

sin
cos
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
5.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
−=







=
=




+






a
y
a
x
3.
π
20
)cos(sin
)sin(cos
≤≤



−=
+=
t
tttay
tttax
16. TÝnh ®é cong cña c¸c ®êng
1.

=
0
2
3
2
z
ty
tx
Trang -19