1

Mục lục

Mục lục
Lời nói đầu
Chơng I: Các kiến thức cơ bản của tích phân
1.1. Định nghĩa tích phân
1.2. Tính chất của tích phân
1.3. Các phơng pháp tính tích phân
1.3.1. Phơng pháp áp dụng trực tiếp công thức Newton- Leibnitz
1.3.2. Phơng pháp đổi biến số
1.3.3. Phơng pháp tính tích phân từng phần
1.4. ý nghĩa hình học của tích phân
Chơng II. ứng dụng của tích phân trong Toán học
2.1. Tính diện tích hình phẳng
2.2. Tính độ dài cung của đờng cong
2.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
2.3.1. Thể tích của vật thể theo thiết diện ngang đã biết
2.3.2. Thể tích khối tròn xoay
2.4. Tính diện tích của mặt tròn xoay
2.5. Các bài toán vận dụng
Chơng III: ứng dụng của tích phân trong Vật lý
3.1. Sơ đồ tổng quát về ứng dụng của tích phân trong Vật lý
3.2. Moment tĩnh, moment quán tính và toạ độ trọng tâm
3.2.1. Đờng cong phẳng
3.2.2. Hình phẳng
3.4. Bài tập áp dụng
Kết luận
Tài liệu tham khảo

sản xuất ô tô, máy bay và ngành hàng không và với mong muốn tìm hiểu, làm rõ
hơn về khả năng cách thức vận dụng phơng pháp dạy học: Tăng cờng tính
ứng dụng của Toán học trong thực tiễn, ngoài ra để góp phần nâng cao chất
lợng dạy học nội dung tích phân ở trờng phổ thông tôi trình bày đề tài:
Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân trong chơng trình trung học
phổ thông bằng cách đa ra các kiến thức cơ bản cần nhớ và trên cơ sở đó xây
dựng hệ thống bài tập có ứng dụng của tích phân trong Toán học và Vật lý.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của khoá luận đợc trình bày trong 3 chơng:

3

Chơng 1. Các kiến thức cơ bản của tích phân
Chơng 2. ứng dụng của tích phân trong Toán học
Chơng 3. ứng dụng của tích phân trong Vật lý
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Công Tấn cùng
toàn thể các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán, trờng Đại học Hùng Vơng đã
tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. Mặc dù đã rất cố gắng nhng
tôi cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận đợc những ý kiến
đóng góp chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự quan tâm của bạn bè để đề tài đợc
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008
Tác giả
x x x x
sao cho
0 1 2 1

n
n
a x x x x x b

= < < < < < =
. Mỗi phép chia nh vậy gọi là một phép
phân hoạch đoạn
[
]
;
a b
. Ký hiệu bởi chữ

. Mỗi phân hoạch

, đoạn
[
]
;
a b

đợc chia thành n đoạn con
1
;
k k
x x




=

Trong mỗi đoạn con
1
;
k k
x x
lấy tuỳ ý một điểm
k

:
1
k k k
x x



và lập
tổng
1 2 1
1
( , , , ) ( )( )
n
n k k k

( ) 0 ( ) 0
1
lim lim ( )( )
n
k k k
d d
k
I f x x

=
= =


không phụ thuộc vào phép phân hoạch

và cách lấy các điểm
k

trên mỗi đoạn
thì ta gọi số I là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Ký hiệu:
( )
b
a
I f x dx
=

.

f x dx F x F a F b
= =


(Đây là công thức Newton- Leibnitz)
1.2. Tính chất của tích phân
Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn
[
]
;
a b
. Khi đó theo định nghĩa
của tích phân ta chứng minh đợc các tính chất sau:
+)
( )
b
a
f x dx

=
( )
a
b
f x dx



+)
. ( )
b

0
f x

trên đoạn
[
]
;
a b
thì
( )
b
a
f x dx

0

.
+) Nếu
( ) ( ), [ ; ]
f x g x x a b

thì
( )
b
a
f x dx

( )
b
a

3 3
x
x x dx x dx xdx x+ = + = +
63
2
63
2.(4 1) 21 14 35
3
= + = + =

1.3.2. Phơng pháp đổi biến số
Định lý: Giả sử
( )
x t

=
là hàm số liên tục có đạo hàm trên
[
]
;và
ba

Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
1
3
2 3
0
.
( 1)
x
dx
x +

Giải: Đặt
2
1 2
2
dt
x t dt xdx xdx
+ = = =

Khi
0 1
x t
=

=
;
1 2
x t
=

1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
. .
2 2 2 4
dt dt
t
t t t
= = +

=
1 1 1 1 1
1 .
2 8 2 2 16

+ + =
b)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+

2 2
4
3
2
3
0 1 1
1
( ) 1
1 2
3
.
3
3 1
t
x t t
dx t dt dt
t
x

+
+ +
= =
+


=
2
2
4 5 2 5 2
1

0 0 ; 1
2
x t x t

= = = =

1
2 2
2 2
0 0 0
1 1 sin cos cos cos .
x dx t t dt t t dt

= =


2 2
2
2
0 0
0
1 cos2 1 1
cos sin 2 0
2 2 4 4 4
t
tdt dt t t



+


1 2 2
2 2 2
2
1
1 1
2
2 2
1 .
1 1
1 1
. 1
dt t dt
dx
x x t
t
t t
= =
+ +
+


( ) ( )
1
2
2 2
2
1
2
2 2 2

= Hay:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

; Hoặc:
. . .
b b
b
a
a a
v du u v u dv
= Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
2
1
ln
e
x
dx
x

x x x
dx dx
x x x
x x
= + = =
ln 1 1 1 2
1 1 1
e
e e e e e
= + = + =

b)
1
0
x
xe dx

Giải:
Đặt
u x du dx
=

=
;
x x
dv e dx v e
= =

=2 2
2
2 2
0 0
0
sin cos 2 cos 0 2
x xdx x x x xdx I


= + = + Tính
2
0
.cos .
x x dx


. Đặt
u x du dx
= =
;
cos . sin
dv x dx v x
= =


bản từ đó dễ dàng tính đợc tích phân đã cho .
1.4. ý nghĩa hình học của tích phân

9

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục dơng trên đoạn
[
]
;
a b
. Ta đã chứng minh
đợc diện tích S(x) của hình thang cong AAMM giới hạn bởi cung AM của đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đờng song song với trục Oy đi qua các điểm
A, M có hoành độ theo thứ tự là a và x là một nguyên hàm của hàm số f(x).
S (x) = F (x) + C
Y

Xác định hằng số C:
+ Với x = a ta có S (a) = 0.
A M B
Vậy F (a) + C = 0

C = - F (a)

S (x) = F (x) - F (a).
+ Với x = b ta có S (b) = F (b) - F (a)
Mà S (b) chính là diện tích của hình
0 A
/
M B


10

Chơng 2
ứng dụng của tích phân trong toán học
Trong chơng này chúng ta sẽ xét tính ứng dụng của tích phân trong toán
học mà cụ thể là trong hình học để tính diện tích các hình phẳng, độ dài cung
của đờng cong, thể tích của vật thể tròn xoay, diện tích các mặt tròn xoay
Để vận dụng đợc tích phân xác định vào tính diện tích hình phẳng, độ dài
cung của đờng cong, thể tích của vật thể tròn xoay, diện tích các mặt tròn
xoay trớc hết ta cần phải nắm đợc các phơng pháp tính tích phân, các công
thức tính diện tích hình phẳng, độ dài cung của đờng cong, thể tích của vật thể
tròn xoay, diện tích các mặt tròn xoay
2.1. Tính diện tích hình phẳng
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
( )
( )
0
b
a
y f x
x a
S f x dx
x b
y
=


=


=


=



(loại 2)
+ Diện tích hình hỗn hợp: Nếu nó không phải là hình phẳng loại 1, loại 2.
Với hình hỗn hợp tuỳ thuộc vào các cung, các đoạn, cấu tạo hình mà phân chia
thành hình loại 1, loại 2 để có thể tính đợc diện tích từng hình bộ phận.
Y Y

y = f(x)

a 0 b X a 0 b X
y = f(x
1a 1b11Y Y

(x)

y = f
1
(x) a 0 b X

a 0 b X 2b 2c

Lo¹i 1: H×nh 1a, 1b, 1c.
Lo¹i 2: H×nh 2a, 2b, 2c.
+ DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong cho d−íi d¹ng tham sè

2
1
( )
( )
( ) '( )
t
t
x x t
y y t
S y t x t dt
x a
x b

∫

+ DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong cho trong to¹ ®é cùc:

12

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định gọi là cực và một trục Ox gọi
là trục cực. Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng đợc hoàn toàn xác định bởi
hai số
OM
r =

gọi là bán kính vectơ của điểm M và
(Ox ,OM)

=
gọi là góc
giữa trục cực Ox và vectơ
OM

gọi là góc cực. Cặp số
( , )
r

đợc gọi là các toạ
độ cực của điểm M (

gọi là góc định hớng, chiều dơng là chiều ngợc chiều
quay của kim đồng hồ).
- Nếu có một hệ thức liên hệ thức giữa 2 biến r,

( )
2
S d



=

(

<
).
2.2. Tính độ dài cung của đờng cong
+ Độ dài cung của đờng cong trong hệ toạ độ vuông góc (đề các)
Độ dài cung của đoạn đờng cong trơn (khả vi liên tục)
( ) ; ( )
y f x a x b
=
:

2
1 ( ') ( )
b
a
L y x dx
= +


+ Độ dài cung của đờng cong cho dới dạng tham số:



+ Độ dài cung trong toạ độ cực:
( ) ;

= 13

Trong đó
( )

là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục với


thì độ
dài cung của đoạn đờng cong tơng ứng sẽ bằng:
2 2
( ) ' ( )
b
a
L d

= +


2.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
2.3.1. Thể tích của vật thể theo thiết diện ngang đ biết.
Nếu thể tích V của vật thể tồn tại và S = S(x),
( )


quay quanh Ox

2
( )
b
Ox
a
V f x dx

=


+ Kiểu 2: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi:
( )
0
y f x
x a
x b
y
=


=


=


=

quay quanh Oy

2 2
( )
d d
Oy
c c
V x dy g y dy

= =
14

+ Kiểu 3: Thể tích của khối tròn xoay đợc tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn
bởi
(
)
(
)
1 2
;
y x y y x a x b

, trong đó
(
)
1
y x

+ =
quanh Ox, giáo viên có thể
liên hệ tới việc tính thể tích khối không khí trong một chiếc săm xe ô tô, săm xe
đạp,
2.4. Tính diện tích của mặt tròn xoay
Diện tích của mặt đợc tạo nên khi quay đờng cong trơn có phơng trình
( ) ; ( )
y f x a x b
=
, quanh trục Ox là:
2
2 ( ) 1 ( ') ( )
b
a
P f x f x dx

= +


Chú ý: Nếu đờng cong có phơng trình là
( )
x y

=
, trong đó
( )
y

đơn trị và
có đạo hàm liên tục trên đoạn [c ; d] thì diện tích mặt tròn xoay đợc sinh ra bởi


15

Bài giải
* Ta tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị trên đoạn
[
]
0 ;


Ta có:
cos sin cos sin 0
4
x x x x x

= = =

* Vậy diện tích ta cần tính là:
4
0 0
4
cos sin cos sin cos sin
S x x dx x x dx x x dx



= = +


=


1
xy sin
=

=
2
2
2
2
10
2
2
2
2
++++

22=

0
4


2




X


3
* Tìm hoành độ giao điểm của các đờng:
Khi
3
1 ( 1) 1
x y
=

= =
Toạ độ giao điểm là A (-1 ; -1).
Khi
3
2 (2) 8
x y
= = =


Toạ độ giao điểm là B (2 ; 8). -
1 0 2 X

* Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta có:
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0
( )
S x dx x dx x dx x dx x dx


y = x
2
Y y = x+2
* Tìm hoành độ giao điểm của
hai đờng
2
; 2
y x y x
= = +

2 2
1
2 2 0
2
x
x x x x
x
=


= + =

=


Toạ độ giao điểm là:
( 1 ; 1)

và
(2 ; 4)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:

1
2 1
x khi x
y
x khi x


=

>

và
2
10
3
y x x
=

Bài giải

Y
* Tìm hoành độ giao điểm:
y = -x y = x-2
.
1,
3
10
2

= >
2
7
2 0 ; 1
3
x x x
= >

y=
10
3
x-x
217

3
x
=


Toạ độ giao điểm B(3 ; 0)

áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:
1 3
2 2
0 1
10 10
2

6 3 6 3
x x
x x x

+ +



=
13 1 7 7 1
.9 9 6 2
6 3 6 6 3

+ + +
13
2
=
(đvdt)
Bài toán 5:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
2
;
y x
=

2

64 4
8
x
x x
x
= = =

y =
2
8
x
Toạ độ giao điểm là(-4 ; 2).
4* Vậy diện tích hình cần tính là:
2

2 0
2 2
2
4 2
8
8 8
x x
S dx x dx
x

=
8ln 2
(đvdt).
Bài toán 6
:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng sau:

18

( sin )
(1 cos ), 0 2
0
x a t t
y a t t
y

=


=


=

Bài giải
Y


a t dt

+

= +2
2
0
3 1
2cos cos 2
2 2
a t t dt


= +

2
2
0
3 1
. . 2sin sin 2
2 4


Bài giải

Ta có khi
0
t
=
và
2
t
=
thì
0
x
=
và
0
y
=
.
Để tính diện tích hình phẳng này ta áp dụng công thức:
[ ]
2 2
2 2 2 3
0 0
1 1
( ) '( ) ( ) '( ) ( 2 )( 4 3 ) (2 )( 2 2 )
2 2
S x t y t y t x t dt t t t t t t t dt


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
.sin 3
a

=

Bài giải

19

Ta tính một phần ba diện tích của hình hoa hồng 3 cánh:
( )
2 2 2
6 6
0 0
sin 3
2 1 cos6
3 2 2
S a a
d d



= =
2 2
8
0


=
Bài toán 9
:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cacdioit:
(1 cos )
r a

= +

Bài giải
Vì hình cacdioit nhận trục cực làm trục đối xứng nên diện tích của nó
bằng 2 lần diện tích của hình quạt OAB. Hình quạt đó ứng với khoảng biến thiên
của

từ
0
đến

.
áp dụng công thức tính diện tích đối với đờng cong cho trong toạ độ cực
ta có:
( )
2
2 2
0 0
1

A X
2 2
1 3
0 .0
2 4 2
a a
= + + + =

Vậy

2
2
3
aS =
(đvdt)

Bài toán 10:

20

Tính độ dài cung của đờng cong sau:
3
; 0 4
y x x
-1 0 4 X
Bài toán 11:
Tính độ dài cung của đờng cong giới hạn bởi:
2
1 1
ln
4 2
1
x y y
y e

=






Bài giả
i:
Ta có độ dài cung của đờng cong giới hạn bởi:
( )

e e
y
L y dy dy
y
y

= + = + + ( )
2
2
1
1
1 1 1 1
ln 1
2 2 2 4
e
e
y
y dy y e
y= + = + = +
t
Bài giải
:
áp dụng công thức tính độ dài cung của đờng cong cho dới dạng tham
số. Vì đờng cong đối xứng nhau qua các tục toạ độ nên ta có:
2
2 2
0
4 ( ') ( ) ( ') ( )
L x t y t dt

= +

2
2 4 2 2 4 2
0
4 9 cos sin 9 sin cos
a t t a t t dt

= +


Y


2
a t a a


= = =
Vậy L = 6a (đvđd)
Bài toán 13:
Tính độ dài cung của đờng cong sau:
(1 cos )
a

= +

Bài giải

áp dụng công thức tính độ dài cung của đờng cong cho trong toạ độ cực,
vì đờng cong đối xứng nhau qua trục cực nên:
2 2
0
2 ( ') ( ) ( )
L d


= +


2 2 2 2

4 cos
2
a d



=


0
4 .2.sin 8
2
a a


= =
. Vậy L = 8a (đvđd).
Bài toán 14:
Tính thể tích khối tròn xoay khi cho quay quanh Ox, Oy hình giới hạn bởi các
đờng:
2
0 ; 2
y y x x
= =
,
Bài giải
áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi đờng thẳng y = f(x);
x = a; x = b; y = 0 quay quanh Ox, Oy ta có:

2
2
5
3 4
0
4 32 32
16
3 5 3 5
x
x x
= + = + Y16
15

=
(đvtt).

+)

= = =

(đvtt).
Bài toán 15:
Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo nên bởi phép quay quanh trục Ox hình
phẳng giới hạn bởi các đờng:
2
y x
=
và
2
x y
=23

Bài giải
Y
áp dụng công thức tính thể tích
khối tròn xoay đợc tạo nên khi
y = x
2
cho hình phẳng xoay quanh Ox ta có:




0 1 X

1 1 3
2 5 10



= = (đvtt).
Bài toán 16
:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho quay quanh Ox hình giới hạn bởi
các đờng:
103
+

=
xy
(1) ;
1
y
=
(2) ;
2
y x

V
là thể tích do hình phẳng

AMPB quay quanh Ox.
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm khi quay quanh Ox là:
1 2 3
Ox
V V V V
= +

( )
2
2
5
2
2
1
1
1
32 1
.
5 5 5
x
V x dx


= = =

)
. 81 30.9 100.3 3.8 30.4 100.2 7

= + + =
(đvtt).
3
3
2
3
1
1
(1) . 2
V dx x

= = =

(đvtt).
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đờng (1), (2), (3) quanh trục Ox là:

1 2 3
31 56
7 2
5 5
Ox
V V V V

= + = + =
(đvtt).
Bài toán 17


( )
5 5
5
2
2
1
0
0 0
3
x
V x dx x dx

= = =Y

125
3

=
(đvtt)
y = -x D
( )
1 1
1
2
2
2

3 3
x
V x dx x dx

= = = =-5

B

25



125 1 1 251
3 2 3 6
Ox
V

= + =
(đvtt)

Bài toán 18:
Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn
bởi các đờng:
2
; 2 ; 4 ; 0
2
x

V x dy g y dy

= =

. Ta có:
2
2
2
x
y x y
= =

áp dụng công thức trên ta có thể tích khối tròn xoay sinh bởi phép quay xung
quanh Oy của hình giới hạn bởi các đờng:
Y
2
1
; 2 ; 4 ; 0
2
y x y y x
= = = =
là:
( )

=
b
a
Oy
dyxgV
2

12
=
(đvtt)
8


-2 0 2
8

X

Bài toán 19:
Tính thể tích của khối cầu sinh bởi phép quay xung quanh Ox đờng tròn có
phơng trình:
2 2 2
x y R
+ =

Bài giải
Từ
2 2 2 2 2 2
x y R y R x
+ = =