Một số phương pháp dạy học nội dung bất
đẳng thức trong chương trình trung học phổ
thông theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận
thức của học sinh

Ngô Minh Tuấn

Trường Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Trình bày cơ sở lý luận về các phương pháp dạy học nội dung bất đẳng thức
trong chương trình trung học phổ thông. Nghiên cứu và xây dựng kế hoạch bài dạy nội
dung bất đẳng thức theo hướng tích cực hóa cho học sinh trung học phổ thông. Tiến
hành thực nghiệm sư phạm và làm rõ tính khả thi của các phương pháp dạy học đã đề
xuất.

Keywords: Phương pháp giảng dạy; Toán học; Bất đẳng thức; Giáo dục trung học

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt
Nam ( Khóa VII, 1993) đã chỉ rõ: “ Mục tiêu giáo dục – đào tạo phải hướng vào đào tạo
những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp,
qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã
hội công bằng, dân chủ, văn minh.”
Những sáng tạo trong nghiên cứu toán học phổ thông hiện nay hoặc những kết quả
nghiên cứu mới trong phạm vi kiến thức cơ bản của toán học phổ thông là vô cùng khó khăn.
Chính vì vậy nếu thiếu sáng tạo trong hoạt động giảng dạy thì chắc chắn hiệu quả dạy học sẽ

cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng các hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy
học tự nghiên cứu cho nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông có thể
giúp cho học sinh nâng cao tư duy, hoàn chỉnh các kĩ năng chứng minh bất đẳng thức, hình
thành khả năng tự học, tự nghiên cứu, tập luyện cho học sinh phương pháp làm việc nghiên
cứu và sáng tạo.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu

3
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích các tài liệu về phương pháp
dạy học, dạy học tích cực, lí luận chung về dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự
án và dạy học tự nghiên cứu.
- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, các thầy cô giáo bộ
môn Toán về bất đẳng thức và phương pháp dạy bất đẳng thức trong chương trình trung học
phổ thông.
8. Cấu trúc của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài này gồm có 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài
Chương 2: Xây dựng kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo hướng tích cực.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm và những đề xuất.

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Dạy học tích cực
1.1.1. Khái niệm dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ để chỉ những phương
pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học
1.1.2. Đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực
1.1.2.1. Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh

1.2.1. Khái niệm “Dạy học theo mục tiêu nhận thức”
Dạy học theo mục tiêu nhận thức là một thuật ngữ dùng để chỉ những phương pháp
dạy học, giáo dục sử dụng các thang bậc đánh giá mức độ tư duy của của Bloom, trong đó đặc
biệt chú ý đến việc hình thành, phát triển các mức độ tư duy bậc cao cho học sinh.
1.2.2. Những đặc điểm của bài học thiết kế theo mục tiêu nhận thức
- Ngoài các kiến thức bắt buộc, giáo viên cần thiết kế các hoạt động học tập mang tính
chất nâng cao, buộc học sinh vận dụng những kiến thức đã học ở nhiều điều kiện khác nhau.
- Mỗi bài soạn thiết kế theo mục tiêu nhận thức phải phù hợp với từng loại đối tượng
học sinh.
- Có nhiều hình thức tổ chức lớp học theo mục tiêu nhận thức, tuy nhiên trong tất cả
các hình thức đó thì giáo viên phải giữ đúng vai trò là người hướng dẫn, người tổ chức và cố
vấn các hoạt động học tập.
- Việc tổ chức thiết kế các chuẩn học tập và kiểm tra, đánh giá trong bài dạy theo mục
tiêu nhận thức cũng cần hướng tới chuẩn chung của lớp, cấp học và tạo điều kiện để đánh giá
được mức tiến bộ, thành quả nghiên cứu và quá trình học tập của từng (nhóm) học sinh ở một
mức nhận thức cao hơn.
- Công nghệ có vai trò lớn trong hình thức dạy học này.
1.3. Dạy học theo dự án
1.3.1. Khái niệm “Dạy học theo dự án”

5
Dạy học theo dự án là một mô hình dạy học lấy học sinh làm trung tâm, giúp phát
triển kiến thức và các kỹ năng liên quan thông qua nhiệm vụ mang tính mở, dạy học theo dự
án chứa đựng nhiều kỹ thuật dạy học khác nhau.
1.3.2. Những đặc điểm của bài học được thiết kế theo dự án
Học sinh là trung tâm của quá trình dạy học.
Các nhiệm vụ của dự án kích thích khả năng ra quyết định, niềm cảm hứng, say mê của
học sinh trong quá trình thực hiện và tạo ra sản phẩm cuối cùng
Dự án tập trung vào những mục tiêu học tập quan trọng gắn với các chuẩn.
Dự án được phát triển dựa trên những nội dung cốt lõi của chương trình đáp ứng các

1.3.3.2.Những quan niệm sai lệch về cách tiếp cận dự án
- Dạy học theo dự án dài và khó giữ được trọng tâm.
- Dạy học theo dự án có nghĩa là thay đổi hoàn toàn phương pháp giảng dạy.
- Dạy học theo dự án có nghĩa là có thêm nhiều việc phải làm.
1.3.4. Bộ câu hỏi khung chương trình
1.3.4.1. Đặt những câu hỏi thích hợp
Đặt được những câu hỏi mở, hấp dẫn là một cách hiệu quả để khuyến khích học sinh suy nghĩ
sâu hơn, tạo nên một ngữ cảnh hiệu quả đối với việc học.
1.3.4.2. Sử dụng Bộ câu hỏi khung chương trình
Bộ câu hỏi khung chương trình được thiết kế lồng ghép vào nhau. Câu hỏi nội dung hỗ
trợ cho Câu hỏi bài học và cho cả Câu hỏi khái quát.
1.3.5. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học dự án
1.3.5.1. Vai trò của giáo viên
Nếu lập kế hoạch dự án đòi hỏi giáo viên phải dành nhiều thời gian chuẩn bị trước đó,
thì khi thực hiện dự án, giáo viên sẽ đỡ mất công để chuẩn bị những kiến thức cơ bản hàng
ngày, thực hiện vai trò người hướng dẫn, người trợ giúp trong suốt các hoạt động dự án.
1.3.5.2. Vai trò của học sinh
Học sinh được đưa ra nhiều quyết định, được cộng tác làm việc, được đưa ra sáng
kiến, được trình bày trước đám đông, và trong nhiều trường hợp, học sinh được thiết lập kiến
thức riêng cho bản thân.
1.3.5.3. Vai trò của công nghệ
Cùng học các kỹ năng mang tính kỹ thuật với học sinh hoặc nhờ học sinh giúp đỡ như
một người cố vấn kỹ thuật là một vài cách để vượt qua chướng ngại về mặt công nghệ khi
giáo viên không thành thạo.

1.3.6. Một số chú ý khi thực hiện dạy học dự án
Về hoạt động nhóm.
Làm việc theo nhóm là một kỹ năng sống và là một phần thiết yếu của môi trường dạy
học theo dự án.
Về các chuẩn học tập và Bài kiểm tra.

ra lời giải chi tiết.
- Hướng dẫn học sinh tìm tài liệu tham khảo.
1.4.3.1. Vai trò của học sinh.
Học sinh vừa đóng vai trò người được giảng dạy và được truyền thụ kiến thức vừa đóng vai
trò chủ thể đi tìm hướng giải quyết vấn đề tự nghiên cứu.
1.4.3.1. Vai trò của công nghệ

8
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận với những kiến thức, phương pháp, kĩ
thuật mới bằng cách sử dụng các công nghệ họ có thể có.
1.4.4. Kiểm tra và đánh giá
Trong dạy học tự nghiên cứu, việc kiểm tra, đánh giá diễn ra thường xuyên và có hệ
thống. Liên tục kiểm tra, nhắc nhở và động viên học sinh là điều rất quan trọng để tạo sức ép
cũng như khuyến khích họ tiếp tục công việc tự học của mình.
1.4.5. Một số chú ý khi thực hiện dạy học tự nghiên cứu
- Giáo viên thực sự phải là người hướng dẫn, tố chức và cố vấn trong tất cả các khâu
của quá trình dạy học.
- Học sinh phải là đối tượng chủ động, tích cực tự học và có khả năng cũng như mong
muốn nghiên cứu vấn đề được giáo viên đưa ra.
- Quá trình dạy học cần rất nhiều tài liệu cũng như thời gian để học sinh có thể hoàn
thành các yêu cầu của bài học.
CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI DẠY NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC THEO HƢỚNG
TÍCH CỰC
2.1. Kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo mục tiêu nhận thức
2.1.1. Kế hoạch dạy học, kiểm tra và đánh giá
KẾ HOẠCH DẠY HỌC
a. Môn học: Đại số
b. Chương trình: Nâng cao
c. Bài học: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (4 tiết)

thuyết
Bài tập
Thực
hành
Ôn tập
Kiểm tra
2
2
0
0
0
4

k. Lịch trình chi tiết của bài học:
Dựa theo phân phối chương trình lớp 10 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội.
l. Kế hoạch kiểm tra, đánh giá:
- Kiểm tra thường xuyên: (Có /Không cho điểm) Vấn đáp trên lớp, phiếu học tập, sử dụng các
kĩ thuật kiểm tra, đánh giá nhanh.
- Kiểm tra định kì: Không.
2.1.2. Các phiếu điều tra
Quan điểm của học sinh về nội dung bất đẳng thức.
2.1.3. Bài soạn chi tiết
Tiết 45 - 46. §1 BẤT ĐẲNG THỨC
a. Mục tiêu
a.1. Kiến thức
Hiểu được các khái niệm, tính chất của bất đẳng thức.
Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản và tính chất của chúng.
a.2. Kĩ năng
Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản
Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi, từ đó giải được

a.3. Thái độ:
b. Phương pháp: Luyện tập, thảo luận nhóm, làm phiếu học tập.
c. Phương tiện: Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách tham khảo.
d. Tiến trình dạy học:
d.1. Ổn định tổ chức:
d.2. Bài mới
BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì:
12
; ; ( 2)
n
a a a n
ta luôn có:
12
12n
n
n
a a a
a a a
n
(I)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
12

n
a a a
.
e. Các bài tập

(đpcm).Dấu
bằng xảy ra khi
1; 2.ba

1.2) Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4 1 4
( ) 4 ( )
2 2 2
( )( 1) ( )( 1)
4
b b b
VT a b a b
a b b a b b

Dấu bằng xảy ra khi
1; 2.ba

1.3) Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4
4 2 2
2 2 2
( ) ( )
2
a b a b a b

Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi:
31
4 4 2 3 4 ;
22
x y y x y
.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhờ BĐT Cô – si và kĩ thuật thêm bớt.

13
Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức:
2 2 2
1.a b c

Chứng minh:

3
ab bc ca
S
c a b
.
Giải:
Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) 3( )
2 6( ) 6 3 3
a b b c c a a b a c b c

2.1.4. Kiểm tra, đánh giá
Giáo viên tổ chức việc kiểm tra học sinh trong giờ học không cho điểm thông qua các
bài tập trên. Sau khi kết thúc 2 giờ bài tập, giáo viên phát phiếu học tập ở nhà cho các nhóm
học sinh. Sau khi các nhóm hoàn thành bài tập, giáo viên kiểm tra, chỉnh sửa và yêu cầu các
nhóm trao đổi phiếu học tập và lưu lại thành tài liệu tham khảo.
Hệ thống bài tập trong các phiếu học tập và đáp án của chúng
Hoàn thành các bài tập dưới đây bằng cách sử dụng các công cụ đã được học trong bài
vừa qua và viết thành một bài báo cáo chi tiết. Hạn nộp báo cáo sau 01 tuần.
Bài 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện:
6xy
.
Tìm GTNN của biểu thức:

14
68
32P x y
xy
.
Giải bài 1: Theo BĐT (I) ta có:
3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
P
x y x y

6 4 9 19
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.

Bài 11: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu
1mn
thì ta có BĐT :
2 2 2
.
a b c
a b c
b c a

………………………………………
Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT:
3
2
xy yz zx
xy z yz x zx y
.
Giải bài 20:
Do
( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z
nên theo BĐT (I) ta có:
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
.
Tương tự ta cũng có:
1
2

.
Tìm GTLN của biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y
.
Đáp án
Đáp án bài 1: Theo BĐT Cô – si ta có:

4
3 3 3 3 3 3 2
6
4 6 6a b c a b c a bc
;
Tương tự ta cũng có:
3 3 3 2 3 3 3 2
4 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab

Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy
ra khi a = b = c.
Đáp án bài 2: Theo BĐT (I) ta có:
6 2 6 2 6 2
1 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S

Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Đáp án bài 3: Theo BĐT (I) ta có:
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y

Chuẩn kiến thức cơ bản
Chuẩn nội dung và quy chuẩn
Hệ thống được một số kỹ năng giải quyết các bài toán bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi
đại học hay thi học sinh giỏi các cấp trong nước và phương pháp giải cụ thể được nêu kèm ví dụ
minh họa.
Mục tiêu đối với học sinh/ kết quả học tập
- Tổng kết và phân loại được các kỹ năng cơ bản, các phương pháp giải tổng quát hay một lớp các
dạng bài tập bất đẳng thức đại số hoặc lượng giác.
Bộ câu hỏi định hƣớng:
Câu hỏi khái quát: Làm thế nào để chinh phục được các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi
học sinh giỏi ?
Câu hỏi bài học: Những kỹ năng nào thường được sử dụng khi giải các bài toán bất đẳng thức
trong các bài thi đại học hoặc học sinh giỏi?
Câu hỏi nội dung:
1. Có phương pháp chung để giải các bài toán bất đẳng thức đại số không? Có thể có những dạng
bài toán bất đẳng thức đại số nào có chung một kỹ năng giải giống nhau ? Phương pháp giải của
chúng?
2. Các bài toán bất đẳng đại số có thể quy về các bất đẳng thức lượng giác được hay không? Có
mối liên hệ nào để nhận ra điều đó?
3. Có phân loại được các dạng bài tập bất đẳng thức không và chia chúng theo nhóm phương pháp
hay kỹ năng nào?
Kế hoạch đánh giá

17
Lịch trình đánh giá
Trước khi bắt đầu
dự án
Học sinh thực hiện dự án và hoàn tất
công việc
Sau khi hoàn tất

Giáo viên tổng kết thành cách giải quyết hiệu quả nhất cho dự án.
Nhiệm vụ của học sinh.

18
- Làm bài tập và các nhiệm vụ giáo viên giao.
Điều chỉnh phù hợp đối tƣợng
Học sinh tiếp thu chậm
Không dành cho học sinh tiếp thu chậm
Học sinh học kém tiếng Anh
Giáo viên hỗ trợ trong quá trình đọc hiểu
Học sinh có năng khiếu Toán
Chủ động tìm thêm tài liệu, phát triển hướng nghiên
cứu tiếp theo.
Công nghệ - Phần cứng ( Đánh dấu vào các thiết bị cần thiết )
Công nghệ - phầm mềm ( Đánh dấu vào những phần mềm cần thiết)
Yêu cầu khác
Nếu có
2.2.2. Tài liệu hỗ trợ học sinh (Bài giảng hỗ trợ kĩ năng)
*Kĩ thuật đồng bậc hóa bất đẳng thức
- Khái niệm bất đẳng thức đồng bậc.
- Phương pháp đồng bậc và các ví dụ.
* Kĩ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức
Xét bất đẳng thức dạng
1 2 1 2
, , , , , ,
nn
f x x x g x x x
trong đó f và g là hai đa
thức thuần nhất đồng bậc. Khi đó ta có thể chuyển bất đẳng thức đã cho trở thành dạng:
12

2.2.3.4. Phiếu đánh giá bài báo cáo
2.2.3.5. Phiếu đánh giá bài trình bày báo cáo bằng lời
2.2.3.6. Phiếu hỏi ý kiến học sinh sau dự án.
2.3. Kế hoạch bài dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức
2.3.1. Kế hoạch bài dạy
- Giáo viên tổng kết các nội dung cơ bản cần nắm được về tính chất của tiếp tuyến và hàm lồi,
lõm trên một khoảng.
- Giáo viên gợi ý các tài liệu tham khảo.
- Giáo viên phát phiếu học tập trong đó bao gồm các bài toán cần giải.
- Giáo viên hướng dẫn các kĩ năng giải bài toán.
2.3.2. Hợp đồng học tập, kiểm tra và đánh giá
- Hợp đồng học tập
- Kiểm tra, đánh giá.
- Các bài tập bổ xung
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM VÀ NHỮNG ĐỀ XUẤT
3.1. Thực nghiệm sƣ phạm và các kết quả so sánh đối chứng
3.1.1. Mục đích, nhiệm vụ, phương pháp và hình thức thực nghiệm
3.1.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu quả của đề tài
trên thực tế áp dụng đồng thời bổ xung trở lại nội dung của đề tài cũng như đề xuất các cải
tiến trên các phương diện liên quan đến quá trình dạy học và giáo dục trong nhà trường.
3.1.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
- Thực hiện giảng dạy theo các phương pháp bao gồm dạy học theo mục tiêu nhận
thức, dạy học tự nghiên cứu, dạy học theo dự án nội dung bất đẳng thức ở 3 lớp bao gồm 1
lớp 10 và 2 lớp 12 với những đối tượng có trình độ khác nhau để đánh giá tính khả thi của đề
tài trong thực tế.

- Vệc dạy thực nghiệm đã đạt kết quả tốt và thiết kế bài giảng có tính khả thi.
3.1.2.1. Một số kết quả báo cáo của học sinh sau dự án
* Sử dụng các kĩ thuật đồng bậc, chuẩn hóa, pqr, lượng giác hóa …. để chứng minh một số
bất đẳng thức đại số:
3.1.2.2. Một số kết quả tự nghiên cứu của học sinh
* Sử dụng bất đẳng thức Jensen và các hệ quả để chứng minh một số bất đẳng thức đại số và
lượng giác.
3.2. Các đề xuất
3.2.1. Về phương diện phương pháp, hình thức và quản lí
3.2.1.1. Về phương diện phương pháp

21
Nói chung trong tình hình dạy học hiện nay, các phương pháp dạy học tiên tiến, hiện
đại cũng đã được giáo viên cố gắng khai thác, áp dụng và chỉnh sửa để phù hợp đối tượng học
sinh Việt Nam cũng như cơ sở vật chất, trang thiết bị chúng ta có.
3.2.1.2. Về phương diện hình thức và quản lý
Mỗi hình thức, phương pháp dạy học đều cần một cách quản lí tương thích.
3.2.2. Về phương diện nội dung
Không phải nội dung nào trong chương trình cũng có thể áp dụng một hay tất các các
phương pháp dạy học kể trên, tùy vào tình hình học sinh cụ thể, mức độ đáp ứng của cơ sở vật
chất và khả năng của giáo viên mà ta có thể linh hoạt áp dụng một phương pháp dạy học tích
cực với một nội dung dạy học nào đó.

22
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN
Trong xu thế hội nhập và phát triển mạnh mẽ như hiện nay, phương pháp dạy học
cũng đang tiếp cận chuẩn quốc tế.
2. Luận văn đã trình bày được những khái niệm, tính chất và các đặc điểm của phương
pháp dạy học tích cực cụ thể là phương pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo
dự án và dạy học tự nghiên cứu.

23
13. Lê Quang Sơn. Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học. Đại học Đà Nẵng,
www.ud.edu.vn/bankhcnmt/zipfiles/So9/7_son_lequang_9.doc.